復雜應力狀態2020/12/151一、前言二、應力分析三、應變張量及其不變量四、屈服條件、屈服曲面五、兩種常用的屈服條件七、加載條件八、塑性本構關系六、屈服條件的實驗驗證2020/12/152精品資料3你怎么稱呼老師？如果老師最后沒有總結一節課的重點的難點，你是否會認為老師的教學方法需要改進？你所經歷的課堂，是講座式還是討論式？教師的教鞭“不怕太陽曬，也不怕那風雨狂，只怕先生罵我笨，沒有學問無顏見爹娘……”“太陽當空照，花兒對我笑，小鳥說早早早……”45個基本假設

一、前言②材料是均勻的、連續的。③各向均勻的應力狀態,即靜水應力狀態不影響塑性變形而只產生彈性體積的變化。①忽略時間因素對材料變形的影響。（不計蠕變和松弛）④穩定材料。⑤均勻應力—應變實驗的結果，可以用于有應力梯度的情況。2020/12/155二、應力分析1、應力張量及其不變量（1）一點應力狀態的表示方式（2）斜截面上的應力與應力張量的關系（3）主應力及應力張量的不變量2、偏應力張量及其不變量（1）偏應力張量（2）偏應力張量的不變量（3）引入與J2′有關的幾個定義2020/12/1561、應力張量及其不變量應力狀態的概念：受力物體內某點處所取無限多截面上的應力情況的總和，就顯示和表明了該點的應力狀態。考慮到剪應力互等,一點的應力狀態用六個應力分量來表示。二、應力分析xyzO2020/12/157應力張量的概念：0階張量：

30=11階張量：31=32階張量：32=93階張量：33=27xyzO數學上，在坐標變換時，服從一定坐標變換式的九個數所定義的量，叫做二階張量。根據這一定義，物體內一點處的應力狀態可用二階張量的形式來表示，并稱為應力張量，而各應力分量即為應力張量的元素，且由剪應力互等定理知，應力張量應是一個對稱的二階張量，簡稱為應力張量。2020/12/158（1）一點應力狀態的表示方式一點的應力狀態由一個二階對稱的應力張量表示，在直角坐標系中由九個應力分量表示。xyzOx面的應力：y面的應力：z面的應力：用矩陣形式寫成2020/12/159工程力學的習慣寫法彈性力學的習慣寫法采用張量下標記號的應力寫法把坐標軸x、y、z分別用x1、x2、x3表示，或簡記為xj(j=1,2,3)。應力張量為對稱張量，有6個獨立分量。2020/12/1510（2）斜截面上的應力與應力張量的關系在xj坐標系中，考慮一個法線為N的斜平面。N是單位向量，其方向余弦為則這個面上的應力向量SN的三個分量與應力張量之間的關系2020/12/1511說明i）重復出現的下標叫做求和下標，相當于這稱為求和約定；ii）不重復出現的下標i叫做自由下標，可取i=1,2,3采用張量下標記號,可簡寫成2020/12/1512（3）主應力及應力張量的不變量①主應力(Principalstress)若某一斜面上，則該斜面上的正應力稱為該點一個主應力；②應力主向主應力所在的平面——稱為主平面；主應力所在平面的法線方向——稱為應力主向；根據主平面的定義，設SN與N重合。若SN的大小為λ,則它在各坐標軸上的投影為2020/12/1513代入2020/12/1514即

將這個行列式展開得到由幾何關系可知由于l1、l2、l3不能同時為零。對于包含這三個未知量的線性齊次方程，若有非零解，則此方程組的系數行列式應當等于零。或2020/12/1515其中2020/12/1516當坐標軸方向改變時,應力張量的分量均將改變,但主應力的大小不應隨坐標軸的選取而改變。因此,方程的系數的J1、J2、J3值與坐標軸的取向無關，稱為應力張量的三個不變量。③應力張量的不變量可以證明方程有三個實根，即三個主應力當用主應力來表示不變量時2020/12/1517應力張量不變量及其應用應力張量是二階實對稱張量，有3個獨立的主不變量。利用應力張量的3個主不變量，可以判別應力狀態的異同。例：判別以下兩個應力張量是否表示同一應力狀態？2020/12/1518兩個應力張量表示同一應力狀態。判別兩個應力狀態是否相同，可以通過判別對應的三個主應力不變量是否相同實現。2020/12/1519靜水“壓力”在靜水壓力作用下，應力~應變間服從彈性規律，且不會屈服、不會產生塑性變形，則應力分量分成兩部分。應力不產生塑性變形的部分產生塑性變形的部分平均正應力2、偏應力張量及其不變量（1）偏應力張量2020/12/1520應力張量可作如下分解：用張量符號表示：應力球張量應力偏張量應力球張量2020/12/1521——單位球張量或——應力球張量使微分單元體三個方向作用相同的正應力，這使單元體發生變形時，只能產生導致體積的均勻膨脹或收縮。因而只能改變單元體體積，而不能改變單元體形狀。

其中：2020/12/1522應力偏張量——應力偏張量應力偏張量sij將不改變微分單元體的體積，僅產生形狀的畸變。它描述的是實際應力狀態與平均應力狀態的偏離程度，所以它對描述問題的塑性變形是十分重要的。2020/12/1523說明材料進入塑性后，單元體的體積變形是彈性的，只與應力球張量有關；而與形狀改變有關的塑性變形則是由應力偏張量引起的，應力張量的這種分解在塑性力學中有重要意義。σzσxσyσxσyσzσmσmσm-σm-σm-σm=+2020/12/1524（2）偏應力張量的不變量偏應力張量的主軸方向與應力主軸方向一致，而主值（稱為主偏應力）為：或應力偏張量也有三個不變量2020/12/1525其中應力偏張量的第二不變量今后用得最多。說明再介紹它的其他幾個表達式：在后面章節中我們將看到，在屈服條件中起重要作用。至于可以注意它有這樣的特點：不管的分量多么大，只要有一個主偏應力為零，就有。這暗示在屈服條件中不可能起決定作用。2020/12/1526（3）引入與J2′有關的幾個定義①等效應力如果假定相等的兩個應力狀態的力學效應相同，那么對一般應力狀態可以定義：——在塑性力學中稱為應力強度或等效應力，它代表復雜應力狀態折合成單向應力狀態的當量應力。注意：這里的“強度”或“等效”都是在意義下衡量的。2020/12/1527等效應力隨應力狀態不同而變化，即等效應力是衡量材料處于彈性狀態或塑性狀態的重要依據，它反映了各主應力的綜合作用。簡單拉伸時2020/12/1528②等效應力的特點ⅰ）與空間坐標軸的選取無關；ⅱ）各正應力增加或減少同一數值（也就是疊加一個靜水應力狀態）時數值不變，即與應力球張量無關；ⅲ）全反號時的數值不變。2020/12/1529標志著所考察的偏應力狀態與材料未受力（或只受靜水應力）狀態的距離或差別的大小。可以看出代表空間的中的廣義距離③空間空間指的是以的九個分量為坐標軸的九維偏應力空間；2020/12/1530④等效剪應力T——在塑性力學中稱為剪應力強度或等效剪應力在純剪時：⑤八面體上的剪應力等斜面：通過某點做平面，該平面的法線與三個應力主軸夾角相等。2020/12/1531設將坐標軸x、y、z取與應力主方向一致，則等斜面法線的三個方向余弦為滿足上式的面共有八個，構成一個八面體，如圖所示。應力向量正應力剪應力2020/12/1532八面體的剪應力說明八面體面上的應力向量可分解為兩個分量：i)垂直于八面體面的分量，即正應力，它與應力球張量有關，或者說與有關；ii)沿八面體面某一切向的分量，即剪應力與應力偏張量的第二不變量有關。2020/12/1533⑥八面體剪應力、等效應力和等效剪應力之間的換算關系說明這些量的引入，使我們有可能把復雜應力狀態化作“等效”（在意義下等效）的單向應力狀態，從而有可能對不同應力狀態的“強度”作出定量的描述和比較。2020/12/1534例:設某點的應力張量為，試求其主應力及主方向，并寫出應力偏量，畫出應力狀態分析簡圖。解：主應力σ由下式給出解三次方程得到因此可求得2020/12/1535將求得的代入下式可求得相應于σ1的主方向余弦為同理，可求得相應于σ2的主方向余弦為同理，可求得相應于σ3的主方向余弦為2020/12/1536又對于應力張量σij

應力偏張量用主應力表示的應力狀態分析圖如下：-20104010101030-30=+2020/12/1537三、應變張量及其不變量1、應變張量2、主應變及應變張量的不變量3、偏應變張量及其不變量2020/12/1538三、應變張量及其不變量設物體內一點(x，y，z)，這一點的三個位移分量是u，v，w顯然它們是x，y，z的函數。在小變形條件下，應變和位移的關系(幾何方程)如下：1、應變張量（與應力張量一樣，為二階張量）2020/12/1539與工程剪應變相差一半，即

這樣取的目的是使構成一個二階對稱張量，即應變張量。2020/12/1540注：以下標之間的逗號表示微商公式的張量形式：2020/12/15412、主應變及應變張量的不變量平均正應變類似地，應變張量有三個主應變和三個不變量：2020/12/15423、偏應變張量及其不變量應變張量也可以分解為應變球張量和應變偏張量，即應變球張量它與彈性的體積改變部分有關應變偏張量只反映變形中形狀改變的那部分①偏應變張量2020/12/1543②偏應變張量的不變量其中和分別是主應變和偏應變張量的主值。2020/12/15444、引入與I2′有關的幾個定義①等效應變在簡單拉伸時，如果材料不可壓縮，則2020/12/1545②等效剪應變在純剪時2020/12/1546四、屈服條件、屈服曲面1、屈服條件2、應力空間和主應力空間3、屈服曲面、屈服曲線4、π平面上的幾何關系2020/12/1547四、屈服條件、屈服曲面簡單應力狀態下的屈服極限：復雜應力狀態下，設作用于物體上的外載荷逐步增加，在其變形的初始階段，每個微元處于彈性階段。材料初始彈性狀態的界限稱為初始屈服條件，簡稱為屈服條件。一般地：受六個應力分量、應變分量、應變速率、時間、溫度等因素的綜合影響。1、屈服條件2020/12/1548當不考慮時間效應且接近常溫時，在初始屈服前材料處于彈性狀態，應力和應變間有一一對應的關系。幾何意義屈服條件在以應力分量為坐標的應力空間中為一曲面。稱為屈服曲面。屈服曲面是區分彈性和塑性的分界面。①當應力點位于曲面之內，即時，材料處于彈性階段。②當應力點位于曲面之上，即時，材料開始屈服，進入塑性狀態。2020/12/1549②靜水應力不影響材料的塑性性質。這時，屈服條件只與應力偏量有關：兩點假設①材料是初始各向同性的，即屈服條件與坐標的取向無關。可表示為三個主應力的函數：也可由應力偏張量的不變量表示：或用應力不變量來表示：2020/12/15502、應力空間和主應力空間①應力空間一點的應力張量有九個應力分量，以它們為九個坐標軸就得到假想的九維應力空間。考慮到九個應力分量中只有六個是獨立的，所以又可構成一個六維應力空間來描述應力狀態。一點的應力狀態可以用九維或六維應力空間中的一個點來表示。②主應力空間2020/12/1551它是以為坐標軸的假想的三維空間，這個空間中的一個點，就確定了用主應力所表示的一個應力狀態。③主應力空間的性質L直線：主應力空間中過原點并與坐標軸成等角的直線。其方程為顯然，L直線上的點代表物體中承受靜水應力的點的狀態，這樣的應力狀態將不產生塑性變形。2020/12/1552

平面：主應力空間中過原點而與L直線垂直的平面。其方程為由于平面上任一點的平均正應力為零，所以平面上的點對應于只有應力偏張量、不引起體積變形的應力狀態。

主應力空間中任意一點P所確定的向量總可以分解為：O2020/12/1553所以向量是在平面上這樣任意應力狀態就被分解為兩部分，分別與應力球張量和應力偏張量部分對應。應力球張量應力偏張量O2020/12/1554O3、屈服曲面、屈服曲線對應于應力狀態的球張量部分，即靜水壓力部分；由于靜水應力不影響屈服，即屈服與否與無關。因此當P點達到屈服時，線上的任一點也都達到屈服。2020/12/1555屈服曲面是一個等截面柱面，其母線平行于L直線。并且此柱面垂直于平面。屈服曲線：屈服曲面與π平面相交所得的一條封閉曲線，或稱屈服軌跡。屈服曲線屈服曲面2020/12/1556①由于材料是初始各向同性的，屈服條件不因坐標變換而變化，因此屈服曲線關于三軸對稱。屈服曲線的方程屈服曲線的主要性質:②對于大多數金屬材料，初始拉伸和壓縮的屈服極限相等，因此屈服曲線關于三軸的垂線也對稱。2020/12/1557①分別在主應力空間的三根坐標軸上截取長度為1的線段。由于等斜面與π平面平行，所以角β為π平面與主應力空間的夾角，也即的夾角。4、π平面上的幾何關系其中：O等斜面1112020/12/1558把S投影到π平面上，可得到其（x,y）坐標為：OxyS②在π平面上取x、y軸，如圖。則屈服曲線上任一點S在π平面上的坐標為：2020/12/1559當采用極坐標表示時：三種特殊情況單向拉伸純剪切單向壓縮就是Lode應力參數2020/12/1560平面的定義。問題③什么叫屈服條件？④屈服條件在什么假定下變為。⑤⑥為什么平面上的屈服曲線有六條對稱軸。⑦的幾何意義是什么？①應力張量狀態的三個不變量的表達方式？偏應力張量狀態的三個不變量的表達方式？②偏應變張量狀態的三個不變量的表達方式？2020/12/1561五、兩種常用的屈服條件1、Tresca屈服條件(1864年)2、Mises屈服條件3、π平面上Mises圓同Tresca六邊形的幾何關系2020/12/1562五、兩種常用的屈服條件1、Tresca屈服條件(1864年)基于實驗觀測，Tresca假設材料在某處出現屈服是由于該點的最大剪應力達到某一極限值k。當已知Tresca屈服條件可以表示為—也就是材料力學的第三強度理論由對稱性拓展后，得到π平面上的一個正六邊形。2020/12/1563如不規定在主應力空間中，它們構成一母線平行于L直線的正六邊形柱面2020/12/15642020/12/1565對于平面應力狀態，當時，變為即在平面上，其屈服軌跡呈斜六邊形，這相當于正六邊形柱面被的平面斜截所得的曲線。式2020/12/1566常數k1一般由實驗確定：在單向拉伸時：在純剪切時：比較這二者可知，采用Treca條件就意味著2020/12/1567Treca屈服條件的適用范圍1、在主應力方向和大小順序都已知時，Tresca屈服條件求解問題是比較方便的，因為在一定范圍內，應力分量之間滿足線性關系。2、在主應力方向已知，但其大小順序未知時，不失一般性，屈服條件可寫為：然后可用應力偏張量的不變量的形式寫成3、主應力方向未知，很難用表達式描述。Treca屈服條件一般僅適用于主應力方向已知的情況。2020/12/1568Tresca條件的局限：①主應力未知時表達式過于復雜；②未考慮中間主應力的影響。1913年Mises指出:Tresca條件在π平面上的截跡是一個正六邊形,因此不能用一個簡單的方程來表示;此外,六角形的六個頂點是由實驗得到的,但是連接這六個點的直線卻包含了假定(認為中間主應力不影響屈服),這種假定是否合適,需經實驗證明。Mises認為：用一個圓來連接這六個點似乎更合理，并且可以避免因曲線不光滑而引起的數學上的困難。Mises條件在應力空間中的軌跡是外接于Tresca六角柱體的圓柱體。2020/12/15692020/12/1570Mises屈服條件假定屈服曲線的一般表達式具有如下的最簡單形式：2、Mises屈服條件由屈服曲線上的點在π平面上投影可知因此，在π平面Mises屈服條件可用一個圓來表示。2020/12/15712020/12/1572常數K2

一般由實驗確定：在單向拉伸時：在純剪切時：比較這二者可知，采用Mises條件應有：2020/12/1573確定常數K2以后，Mises屈服條件可寫成以下常用的形式：或在主應力空間中是一個母線平行于L直線的圓柱面。2020/12/1574Mises屈服準則為：即所以，米塞斯屈服準則也可以表述為：在一定的變形條件下，當受力物體內一點的等效應力達到某一定值時，該點就開始進入塑性狀態。2020/12/1575在平面上，這是一個橢圓。為主應力空間中的Mises圓柱面被平面斜截所得。對于平面應力狀態，當時，有：MisesTresca由于上式中右端常數由單向拉伸實驗確定，所以圖中Mises橢圓外接于Tresca斜六邊形。2020/12/15763、π平面上Mises圓同Tresca六邊形的幾何關系①如果假定在簡單拉伸時兩種屈服條件相重合，則Tresca六邊形將內接于Mises圓。內接Tresca六邊形Mises圓Mises:Tresca:純剪切時，Tresca六邊形同Mises圓之間的相對偏差最大，為單向拉伸2020/12/1577外接Tresca六邊形Mises圓②如果假定在純剪切時兩種屈服條件相重合，則Tresca六邊形將外切于Mises圓。Mises:Tresca:純剪切單向拉伸時，Tresca六邊形同Mises圓之間的相對偏差最大，為2020/12/1578試判斷下圖中的主應力狀態是彈性狀態還是塑性狀態。解：利用Mises屈服準則判別：（圖1）（圖2）（圖3）對圖1，用代入得滿足Mises屈服條件，所以處于塑性狀態。2020/12/1579對圖3用（圖2）（圖3）解：利用Mises屈服準則判別：對圖2用代入滿足Mises屈服條件，所以處于塑性狀態。解：利用Mises屈服準則判別：不滿足Mises屈服條件，所以處于彈性狀態。代入2020/12/1580設某點的應力張量為

材料的σs=25Mpa

①求出其主應力及最大切應力；②根據Tresca屈服條件和Mises屈服條件判斷材料處于彈性狀態還是塑性狀態；③畫出兩種屈服條件在主應力空間的屈服曲面和л平面上的屈服曲線；④畫出平面應力狀態下的Tresca屈服準則及Mises屈服準則圖形，并進行比較。[應用]：根據兩種屈服準則，由任意應力狀態確定材料處于彈性狀態還是塑性狀態。2020/12/1581主應力的大小為：[σ1σ2σ3]=[47.848234.088120.0637]最大切應力為：[τ12τ23τ31]=[7.0122-13.89226.8801]根據Tresca屈服條件和Mises屈服條件判斷材料狀態結果為：經Tresca屈服條件判斷,材料處于塑性階段經Mises屈服條件判斷,材料處于彈性階段2020/12/1582畫出兩種屈服條件在主應力空間的屈服曲面和л平面上的屈服曲線；其中，圖中‘*’表示任意點的應力狀態，‘*’若在屈服曲線內則表示材料處于彈性階段，‘*’若在屈服曲線外則表示材料處于塑性階段。2020/12/15832020/12/1584畫出平面應力狀態下的Tresca屈服準則及Mises屈服準則圖形，并進行比較（如圖所示）。2020/12/1585[解]由于殼體幾何形狀和受力都是對稱于球心,是球對稱問題。這樣殼體內剪應力分量必為零，否則就不是球對稱了。各點只有正應力分量，并且有qoxyz主應力排序為例：一內半徑為a，外半徑為b的球形殼，在其內表面上作用均勻的壓力q。試寫出其屈服條件。2020/12/1586代入Tresca屈服條件發現它們有一樣的屈服條件。代入Mises屈服條件2020/12/1587問題①兩種屈服條件的物理解釋。③兩種屈服條件分別在平面，主應力空間和對應于的平面應力狀態的圖形（畫出）。②兩種屈服條件的函數表示形式（寫出具體的表達式）2020/12/1588六、屈服條件的實驗驗證試驗二、薄圓管受拉力T和扭矩M的作用。試驗一、薄圓管受拉力T和內壓p的作用。Tresca屈服條件與Mises屈服條件的適用范圍：2020/12/1589六、屈服條件的實驗驗證試驗一、薄圓管受拉力T和內壓p的作用。TTp設圓管的平均半徑為R，壁厚為h，h《R，在拉力T和內壓p的作用下，圓管近似地處于均勻應力狀態。在柱坐標中其應力分量為2020/12/1590由此求得Lode應力參數為單向拉伸純剪切此時：如果則可取減去靜水應力后：2020/12/1591在的范圍內改變拉力T和內壓p的比值時，就可以得到范圍內的任意應力狀態。Lode（1925）拉伸~內壓試驗：代入Mises屈服條件得到：2020/12/1592為了使兩種屈服條件便了比較，可以將它們改寫成統一的形式。在主應力大小次序已知時，屈雷斯加屈服條件可寫成：在單向拉伸時：2020/12/1593鐵-111.101.21Mises屈服條件對于Tresca屈服條件Tresca屈服條件銅鎳Lode用鐵、銅、鎳等金屬薄管做出的實驗結果，同Mises屈服條件曲線比較接近。可見，Mises屈服條件更適合于金屬材料。對于Mises屈服條件2020/12/1594試驗二、薄圓管受拉力T和扭矩M的作用。TTMM相應的主應力2020/12/1595因而Lode應力參數是單向拉伸純剪切只要P≥0，改變T與M的比值，便可得到的任意應力狀態。2020/12/1596Taylor—Quinney(1931)試驗：對于Tresca屈服條件改寫成：對于Mises屈服條件改寫成：2020/12/1597軟鋼10Mises屈服條件Tresca屈服條件銅鋁0.20.40.60.20.40.60.8在圖上都是橢圓，但長短軸的比值不同。Taylor和Quinney用鋼、銅、鋁薄管進行了試驗，結果也同Mises屈服條件比較接近。2020/12/1598Tresca屈服條件與Mises屈服條件的適用范圍：1、實驗表明，多數金屬材料的屈服性態接近Mises屈服條件。從物理意義上，這兩種屈服條件都表明，材料的屈服與剪應力有密切關系；Tresca屈服條件表明材料的屈服與最大剪應力有關，但它沒有考慮中間主應力對材料屈服的影響，然而實驗表明這種影響確實是存在的。Mises屈服條件表明材料的屈服與均方根剪應力有關，從而考慮到中間主應力對材料屈服的影響。在這一點上，應該說Mises屈服條件更為合理—些。2020/12/15992、在應用上主應力方向已知時用Tresca條件較方便。主應力方向未知時用Mises條件較方便。而無論何種情形，二者的相對偏差不會超過15.5%。外接Tresca六邊形Mises圓純剪切內接Tresca六邊形Mises圓單向拉伸2020/12/15100Tresca屈服條件在偏量平面π上的軌跡是正六邊形，Mises屈服條件的軌跡是正六邊形的外接圓。在六個頂點處兩個軌跡重合，這意味著在廣義單向應狀態情況下，兩種屈服條件是一致的。內接Tresca六邊形Mises圓單向拉伸除六個頂點外，兩種屈服條件都不一致，外接圓在正六邊形之外，表明按Mises屈服條件，需要更大的應力才能使材料屈服。由此可見，兩者差別最大的有六個點，這六個點對應的是廣義純剪切應力狀態。2020/12/15101Tresca屈服條件可表示成主應力的線性函數，在主應力大小次序已經確定的情況下使用是很方便的，因為它的數學表達式簡單。所以，究竟采用那一種屈服條件，要視具體情況而定。此外，按照Tresca屈服條件，要求材料的拉伸和剪切屈服極限之間存在關系σs=2τs；而按照Mises屈服條件要求材料的σs=τs。因此，由材料的τs和σs值；也可判斷采用哪—種屈服條件更為合適。在材料力學中，Tresca屈服條件和密席斯屈服條件作為強度理論使用時，分別稱為第三和第四強度理論。3、在實際問題中，并不限制使用何種屈服條件，二者都可用。2020/12/15102問題①為什么實驗用薄壁結構，能否改用厚壁。②兩種實驗結果結論。③判斷某物體材料適用Tresca屈服條件還是Mises屈服條件，最簡單的辦法是什么？2020/12/15103例：一兩端封閉的薄壁圓筒，半徑為r，壁厚為t，受內壓力p的作用，試求此圓筒內壁開始屈服及整個壁厚進入屈服時的內壓力p(設材料單向拉伸時的屈服應力為σs)解：先求應力分量，在筒壁選取一單元體，采用圓柱坐標，單元體上的應力分量如圖所示。根據平衡條件可求得應力分量為：2020/12/15104沿壁厚為線性分布，內表面，在外表面圓筒的內表面首先產生屈服，然后向外層擴展，當外表面產生屈服時，整個圓筒就開始塑性變形。1）在外表面由Mises屈服準則：可求得：由Tresca屈服準則：可求得：2020/12/151052）在內表面由Mises屈服準則：可求得：由Tresca屈服準則：可求得：2020/12/151062.一薄壁圓管，平均半徑R=50mm，，壁厚t=3mm，σs=390MPa,承受拉力F和扭矩T的作用，在加載過程中保持σ/τ=1，試求此圓管開始屈服時的F和T的值。（按兩種屈服準則分別計算）1.設某點的應力張量為，該物體的材料在單向拉伸時的屈服點為，試用Mises和Tresca準則來判斷改點是處于彈性狀態，還是處于塑性狀態。2020/12/15107七、加載條件1、等向強化（各向同性強化）模型2、隨動強化模型3、組合強化模型2020/12/15108七、加載條件理想塑性材料:（初始）屈服曲面是固定不變的，是材料未經受任何塑性變形時的彈性響應的界限。應力狀態不能落在屈服曲面之外。理想塑性材料由于屈服極限不能再增加，因而屈服面也不能繼續擴展。2020/12/15109強化材料：對于強化材料，由于應力達到屈服極限后仍能繼續增長，因此屈服面仍能繼續變化，其屈服面稱為后繼屈服曲面，或加載曲面。2020/12/15110以參數來刻劃材料的塑性加載歷史，則后繼屈服條件可表示為：后繼屈服條件與材料塑性變形的歷史有關。實際材料的加載曲面的演化規律非常復雜，在應用中使用簡化模型。1、等向強化（各向同性強化）模型認為后繼屈服曲面（加載曲面）就是屈服曲面在應力空間的相似擴大。等向強化模型的表達式可寫成：2020/12/15111其中f

是初始屈服函數，是的單調遞增函數。在加載過程中

逐漸加大。從幾何上看，后繼屈服曲面（加載面）與初始屈服曲面形狀相似，中心位置也不變。后繼屈服曲面對加載歷史的依賴性只表現在：后繼屈服曲面僅由加載路徑中所曾達到的最大應力點所決定。如右圖所示Mises初始屈服面及其后繼屈服面。屈服面加載面A加載面B1232020/12/151122、隨動強化模型等向強化模型未考慮包氏效應，在分析應力作反復變化的問題時，往往誤差較大。隨動強化模型認為：后繼屈服曲面就是初始屈服曲面隨著塑性變形的過程而在應力空間作剛性移動，而其大小和形狀都沒有改變。初始屈服面隨動強化隨動強化模型的表達式可寫成：2020/12/151133、組合強化模型將等向強化模型同隨動強化模型結合起來，就構成更一般的組合強化模型。組合強化模型的表達式可寫成：具體到π平面上考察Mises屈服圓，那么在加載過程中后繼屈服曲線始終是一個圓，但其半徑和圓心位置都不斷發生變化。組合強化初始屈服面隨動強化2020/12/15114等向強化組合強化初始屈服面隨動強化2020/12/15115問題①何為加載條件？什么叫后繼屈服面？②兩種模型在Mises屈服條件下對應于π平面上的圖形表示。2020/12/15116八、塑性本構關系1、廣義Hooke定律、彈性應變能2、Drucker公設3、加載、卸載準則4、理想塑性材料的增量本構關系5、簡單加載時的全量理論2020/12/15117八、塑性本構關系1、廣義Hooke定律、彈性應變能①直角坐標系下表示：其中張量寫法：其中為平均正應力。2020/12/15118將三個正應變相加，得：記：平均正應變體積彈性模量則平均正應力與平均正應變的關系：②可用應力偏量表示應變偏量2020/12/15119③由等效應力和等效應變的關系：或可得：④當應力從加載面（后繼屈服面）卸載時：應力和應變的全量不滿足廣義Hooke定律，但它們的增量仍滿足廣義Hooke定律。2020/12/15120Mises屈服條件的物理解釋中將彈性應變能分解為體積應變能和形狀改變比能。這里，由彈性本構關系將三者表示為：⑤彈性應變能2020/12/151212、Drucker公設兩類力學量外變量：能直接從外部可以觀測得到的量。如總應變，應力等。內變量：不能直接從外部觀測的量。如塑性應變，塑性功。內變量只能根據一定的假設計算出來。關于塑性應變和塑性功的假設：①材料的塑性行為與時間，溫度無關。②應變可分解為彈性應變和塑性應變。③材料的彈性變形規律不因塑性變形而改變。2020/12/15122根據以上假設，內變量可以由外變量表示出來。對于各向同性材料：將總功分解為彈性功和塑性功。這樣，內變量也可以由外變量表示出來。2020/12/15123對于各向同性材料：Drucker公設對于處于在某一狀態下的材料質點（或試件），借助一個外部作用，在其原有的應力狀態之上，緩慢地施加并卸除一組附加應力，在這附加應力的施加和卸除的循環內，外部作用所做的功是非負的。2020/12/15124應力循環1(4）23單元體在應力狀態下處于平衡。在單元體上施加一附加力，使應力達到，剛好在加載面上，即開始發生塑性變形。繼續加載至，在這期間，將產生塑性應變。最后，將應力又卸回到。完成應力循環。1234加載面2020/12/15125在應力循環中，應力在彈性應變上的功為0，即1234以表示應力循環過程中任一時刻的瞬時應力狀態。按Drucker公設，附加應力在應力循環中所作的功非負。2020/12/15126在整個應力循環中，只在應力從到的過程中產生塑性應變。1234當為小量時，上述積分變為：即圖所示的陰影部分面積。2020/12/15127兩個重要的不等式：①當處于加載面的內部，即，由于是高階小量，則②當正處于加載面上，即，則由此可對屈服面形狀與塑性應變增量的特性導出兩個重要的結論。①屈服曲面的外凸性。②塑性應變增量向量與加載面的外法線方向一致~正交性法則。2020/12/15128可見，應力增量向量與塑性應變增量向量之間的夾角必須小于90°。①屈服曲面的外凸性。oA0AoA0A用矢量表示，用矢量表示,用矢量表示，用矢量表示。加載面加載面表示為屈服曲面必須是凸的。2020/12/15129可表示為：即應力增量向量與塑性應變增量向量之間的夾角必須大于90°。如果與n不重合，則總可以找到A0，使式不成立。②塑性應變增量向量與加載面的外法線方向一致—正交性法則。A0Ann—加載面在A點的法向矢量。加載面因此，必須與加載面的外法線n重合。2020/12/151303、加載、卸載準則Drucker穩定性條件：由于與外法線n同向，上式改寫成：只有當應力增量指向加載面外部時，材料才能產生塑性變形。判斷能否產生新的塑性變形，需判斷：加卸載準則卸載：材料產生從塑性狀態回到彈性狀態的應力改變。①是否在上。②是否指向的外部。加載：材料產生新的塑性變形的應力改變。2020/12/15131用表示屈服面，則可以把加卸載準則用數學形式表示如下：(1)理想材料的加載、卸載準則理想材料的加載面與初始屈服面是一樣的。2020/12/15132n加載卸載由于屈服面不能擴大，所以當應力點達到屈服面上，應力增量不能指向屈服面外，而只能沿屈服面切線。加載卸載在應力空間中，上述加載準則可用矢量乘積表示為對于Tresca屈服面：加載卸載nlnm加載加載卸載應力點2020/12/15133加載卸載在應力空間中，上述加載準則可用矢量乘積表示為總之只要應力增量保持在屈服面上就稱為加載;返到屈服面以內時就稱為卸載。2020/12/15134n加載曲面(2)強化材料的加載、卸載準則強化材料的加載面在應力空間不斷擴張或移動。這里，中性變載相當于應力點沿加載面切向變化，應力維持在塑性狀態但加載面并不擴張的情況。加載卸載中性變載2020/12/15135上述加載準則的數學表達式為n加載曲面2020/12/151364、理想塑性材料的增量本構關系塑性本構關系即材料超過彈性范圍之后的本構關系。此時，應力與應變之間不存在一一對應的關系，只能建立應力增量與應變增量之間的關系。這種用增量形式表示的塑性本構關系，稱為增量理論或流動理論。進入塑性階段后，應變增量可以分解為彈性部分和塑性部分。2020/12/15137由Hooke定律由Drucker公設流動法則增量形式的塑性本構關系：2020/12/15138②當加載面和塑性應變增量不正交，此時上式稱為與加載條件非關連的流動法則。主要用于巖土材料。①服從Drucker公設的材料，塑性勢函數g就是加載函數φ，即，此時上式稱為與加載條件相關連的流動法則。由于加載面和塑性應變增量正交，也稱為正交流動法則。塑性位勢理論將塑性應變增量表示為塑性位勢函數對應力取微商。兩種情況：其中是塑性位勢函數。2020/12/15139（1）理想塑性材料與Mises屈服條件相關連的流動法則對于理想塑性材料，屈服函數f就是加載函數φ。流動法則寫成：Mises屈服條件：有故理想塑性材料與Mises條件相關連的流動法則為：2020/12/15140①理想彈塑性材料——Prandtl-Reuss關系按照廣義Hooke定律求得彈性應變增量，再與所得的塑性應變增量疊加，就得到理想彈塑性材料的增量本構關系對理想塑性材料，比例系數要聯系屈服條件來確定。2020/12/15141但反過來，如果給定的是則定不出，也就求不出。可見，給定應力和應變增量時從Prandtl-Reuss關系可以求出及應力增量Mises屈服條件此時給