數字信號與圖像處理研究室

北京交通大學電子信息工程學院數字信號處理(Digital

Signal

Processing)離散信號與系統分析基礎離散信號與系統的時域分析離散信號的頻域分析離散系統的頻域分析雙邊z變換系統函數全通濾波器與最小相位系統信號的抽樣與重建為什么引入雙邊z變換？單邊z變換存在局限：無法描述非因果系統只能分析單邊序列雙邊z變換z變換雙邊z變換定義及收斂域雙邊z變換的主要性質雙邊z反變換雙邊z變換z變換雙邊z變換定義及收斂域￥X

(z)

=

x[k

]z-kk

=-￥序列雙邊z變換的定義為z變換能夠使上式收斂的z值區域稱為z變換的收斂域(Region

of

Convergence,

ROC)收斂域(ROC):

Rx-<

|z|<Rx+(1)有限長序列N2X

(z)

=

x[k]z-kk

=N1ROC 0

<

z

<

￥雙邊z變換定義及收斂域N0

￡

k

￡

N

-1=

R

[k

]0

其他例：x[k

]=1X

(

z

)

=

1

+

z

-1

+

+

z

-(

N

-1

)

=z

>

01

-

z

-1z變換1

-

z

-

N(2)右邊序列￥X

(z)

=

x[k

]z

-kk

=N1z

>

Rx-若N1

?0:若N1

<0:Rx

-

<

z

<

￥雙邊z變換定義及收斂域ROCRx-Re

zIm

z例：x[k

]=a

k

u[k

]1=1

-

az

-1a

k

z

-k￥X

(

z

)

=

k

=0z

>

az變換(3)左邊序列k

=-￥x[k

]z

-kX

(z)

=

N2z

<

Rx+0

<

z

<

Rx+雙邊z變換定義及收斂域ROCRx+Im

zRe

z例：x[k

]=-bk

u[-k

-1]1=1

-

bz

-1-

bk

z

-k-1X

(

z

)

=

k

=-￥z

<

bz變換(4)雙邊序列￥X

(z)

=

x[k]z-kk

=-￥x+x-ROC

R

<

z

<

R雙邊z變換定義及收斂域ROCRx-Rx+Im

zRe

z例：x[k

]=a

k

u[k

]-bk

u[-k

-1]1

11

-

az

-1

1

-

bz

-1X

(

z

)

=

+a

<

z

<

ba

<

bz變換雙邊Z變換的主要性質1={z;

Rx1-

<

z

<

Rx1+}ROC

=

RxX1

(z)X

2

(z)x1[k

]

?x2

[k

]

?ROC

=

Rx

={z;

Rx

2-

<

z

<

Rx

2+}2ROC

=

Rx時間翻轉(time

reversal)x[-k

]?

Z

fi

X

(z-1

)位移特性x

[k

-

n]

?

z-nX(z)

1

<

z <

1

Rx

+

Rx

-z變換rx

[n]

=

x[k

]x[n

+

k

]kkxx[k]X

(z)zkZ

{r[n]}

==

X

(z

-1

)

X

(z)解：Z

{rx[n]}

=

x[k]Z

{x[n

+

k]}k利用雙邊z變換的時域位移性質，可得例：兩個序列的自相關定義為，求

Z

{rx[n]}系統函數與系統穩定性LTI系統時域穩定的充要條件：￥h[k

]

<

￥k

=-￥H(z)的收斂域包含單位圓穩定因果系統不穩定非因果系統Re(z)Im(z)單位圓ROC:

|z|<R+Im(z)Re(z)單位圓z變換Im(z)單位圓LTI系統穩定的充要條件：Re(z)穩定非因果系統系統函數與系統穩定性￥h[k

]

<

￥k

=-￥H(z)的收斂域包含單位圓z變換雙邊z反變換cX

(

z

)

z

dz2πj1k

-1x[k

]

=C為X(z)的ROC中的一閉合曲線部分分式法留數法z變換部分分式法求z反變換雙邊z反變換a

k

u[k

]?

fi1z

>

a-

a

k

u[-k

-

1]?

fi1

-

az

-11z

<

a1

-

az

-11(

k

+

1)a

k

u[k

]?

fiz

>

a-

(

k

+

1)a

k

u[-k

-

1]?

fi(1

-

az

-1

)21(1

-

az

-1

)2z

<

az變換2求所有不同收斂情況下的h(1

-

2z-1

)(1

-

3z-1

):已知H

(z)=61

-

3z-1H

(

z)

=

-

4

+(1)

|z|>31

-

2z-1系統不穩定、因果h[k

]

=

(-4

2k

+

6 3k

)u[k

](2)

2<|z|<3(3)

|z|<