第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.4對數(shù)函數(shù)4.4.2對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)第2課時對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)(二)必備知識·探新知關鍵能力·攻重難課堂檢測·固雙基素養(yǎng)作業(yè)·提技能必備知識·探新知 對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性復合函數(shù)y＝f[g(x)]是由y＝f(x)與y＝g(x)復合而成，若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則其復合函數(shù)f[g(x)]為__________；若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反，則其復合函數(shù)f[g(x)]為__________.對于對數(shù)型復合函數(shù)y＝logaf(x)來說，函數(shù)y＝logaf(x)可看成是y＝logau與u＝f(x)兩個簡單函數(shù)復合而成的，由復合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的規(guī)律即可判斷．另外，在求復合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時，首先要考慮函數(shù)的定義域．增函數(shù)基礎知識知識點1減函數(shù) 對數(shù)型復合函數(shù)的值域?qū)τ谛稳鐈＝logaf(x)(a>0，且a≠1)的復合函數(shù)，其值域的求解步驟如下：(1)分解成y＝logau，u＝f(x)兩個函數(shù)；(2)解f(x)>0，求出函數(shù)的定義域；(3)求u的取值范圍；(4)利用y＝logau的單調(diào)性求解．知識點21．函數(shù)f(x)＝logax在(0，＋∞)上是減函數(shù)，則a的取值范圍是()A．(0，＋∞) B．(－∞，1)C．(0,1) D．(1，＋∞)[解析]

由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)知識易知0<a<1.C基礎自測A3．(2019·大連市高一期末測試)函數(shù)f(x)＝lg(x2－2x－3)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(－∞，－1) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(3，＋∞)[解析]

令x2－2x－3>0，∴(x－3)(x＋1)>0，∴x<－1或x>3.∴f(x)的定義域(－∞，－1)∪(3，＋∞)．令u＝x2－2x－3，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間即為u＝x2－2x－3在(－∞，－1)∪(3，＋∞)上的遞減區(qū)間．故選A．AA關鍵能力·攻重難題型一對數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性 討論函數(shù)f(x)＝loga(3x2－2x－1)的單調(diào)性．[分析]

求復合函數(shù)的單調(diào)性時，必須首先考慮函數(shù)的定義域，單調(diào)區(qū)間必須是定義域的子集．題型探究例1[歸納提升]

1.求復合函數(shù)單調(diào)性的具體步驟是：(1)求定義域；(2)拆分函數(shù)；(3)分別求y＝f(u)，u＝φ(x)的單調(diào)性；(4)按“同增異減”得出復合函數(shù)的單調(diào)性．2．復合函數(shù)y＝f[g(x)]及其里層函數(shù)μ＝g(x)與外層函數(shù)y＝f(μ)的單調(diào)性之間的關系(見下表).函數(shù)單調(diào)性y＝f(μ)增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)μ＝g(x)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)y＝f[g(x)]增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)A[解析]

由題意，得x2－3x－10>0，∴(x－5)(x＋2)>0，∴x<－2或x>5.令u＝x2－3x－10，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間即為函數(shù)u＝x2－3x－10在(－∞，－2)∪(5，＋∞)上的單調(diào)遞減區(qū)間，又u＝x2－3x－10在(－∞，－2)上遞減，故選A．題型二對數(shù)型復合函數(shù)的值域例2[歸納提升]

1.與對數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)值域：求與對數(shù)函數(shù)有關的復合函數(shù)的值域，一方面，要抓住對數(shù)函數(shù)的值域；另一方面，要抓住中間變量的取值范圍，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來求其值域(多采用換元法)．2．對于形如y＝loga

f(x)(a>0，且a≠1)的復合函數(shù)的值域的求法的步驟：①分解成y＝logau，u＝f(x)兩個函數(shù)；②求f(x)的定義域；③求u的取值范圍；④利用y＝logau的單調(diào)性求解．【對點練習】?函數(shù)f(x)＝log2(3x＋1)的值域為()A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)[解析]

∵3x＋1>1，且f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，∴l(xiāng)og2(3x＋1)>log21＝0，故該函數(shù)的值域為(0，＋∞)．A題型三對數(shù)型復合函數(shù)的奇偶性例3[歸納提升]

判斷函數(shù)的奇偶性時，首先要注意求函數(shù)的定義域，函數(shù)具有奇偶性，其定義域必須關于原點對稱．A忽視對數(shù)函數(shù)的定義域 若函數(shù)y＝loga(2－ax)在x∈[0,1]上是減函數(shù)，則a的取值范圍是()A．(0,1) B．(1,2)C．(0,2) D．(1，＋∞)B例4誤區(qū)警示[錯解]

錯解一：因為函數(shù)f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是減函數(shù)，根據(jù)對數(shù)函數(shù)在0<a<1時單調(diào)遞減，知選A．錯解二：令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax為減函數(shù)，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”法則，要使f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上為減函數(shù)，則需y＝logau為增函數(shù)，從而得a>1，故選D．[錯因分析]

在求解時，已經(jīng)掌握了利用復合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”法則進行解答，但是忽視了對數(shù)函數(shù)的定義域問題，考慮問題不全面，犯了知識性和能力性的雙重錯誤．[正解]

令u＝2－ax，由于a>0且a≠1，所以u＝2－ax為減函數(shù)，又根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義域要求u＝2－ax在[0,1]上恒大于零，當x∈[0,1]時，umin＝2－a>0，解得a<2.根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”法則，要使f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上為減函數(shù)，則需y＝logau為增函數(shù)，所以a>1.綜上可得1<a<2，故選B．[方法點撥]對數(shù)型函數(shù)是考查定義域問題的重點函數(shù)．因此，在解決真數(shù)中含參數(shù)的對數(shù)問題時，一定要保證真數(shù)大于0.忽略這一點，可能會使所求參數(shù)范圍擴大致誤．如本例中，u＝2－ax在x∈[0,1]時一定要保證u>0才有意義，請學生重點關注．例5學科素養(yǎng)[分析]

(1)題目給定的關鍵條件是f(x)是奇函數(shù)，一般考慮用f(－x)＝－f(x)，f(－1)＝－f(1)，f(0)＝0(當0、－1在定義域中時)等，它是從反面考查函數(shù)奇偶性的判定．[歸納提升]

(1)已知某函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，求其中某參數(shù)值時，常用方法有兩種：①由f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)直接列關于參數(shù)的方程(組)，解之得結果．②由f(－