/06/6/習題課1運動的合成與分解應用[學習目標]1.[科學思維]理解小船過河模型的特點，會分析過河的最短時間和最短位移問題．2.[科學思維]會對“繩聯物體”的速度進行分解，并能求出分速度的大?。〈珊幽Ｐ图疤攸c1．模型特點：小船參與的兩個分運動：小船在河流中實際的運動(站在岸上的觀察者看到的運動)可視為船同時參與了這樣兩個分運動：(1)船相對水的運動(即船在靜水中的運動)，它的方向與船身的指向相同．(2)船隨水漂流的運動(即速度等于水的流速)，它的方向與河岸平行．船在流水中實際的運動(合運動)是上述兩個分運動的合成．2．兩類最值問題(1)渡河時間最短問題：若要渡河時間最短，由于水流速度始終沿河道方向，不能提供指向河對岸的分速度．因此，只要使船頭垂直于河岸航行即可．由圖可知，t短＝eq\f(d,v船)，此時船渡河的位移x＝eq\f(d,sinθ)，位移方向滿足tanθ＝eq\f(v船,v水).(2)渡河位移最短問題情況一：v水＜v船最短的位移為河寬d，此時渡河所用時間t＝eq\f(d,v船sinθ)，船頭與上游河岸夾角θ滿足v船cosθ＝v水，如圖甲所示．甲情況二：v水＞v船如圖乙所示，以v水矢量的末端為圓心，以v船的大小為半徑作圓，當合速度的方向與圓相切時，合速度的方向與河岸的夾角最大(設為α)，此時航程最短．由圖可知sinα＝eq\f(v船,v水)，最短航程為x＝eq\f(d,sinα)＝eq\f(v水,v船)d.此時船頭指向應與上游河岸成θ′角，且cosθ′＝eq\f(v船,v水).乙【例1】一小船渡河，河寬d＝180m，水流速度v1＝2.5m/s.船在靜水中的速度為v2＝5m/s，求：(1)小船渡河的最短時間為多少？此時位移多大？(2)欲使船渡河的航程最短，船頭應朝什么方向？用多長時間？[解析](1)欲使船在最短時間內渡河，船頭應朝垂直河岸方向．當船頭垂直河岸時，如圖所示，合速度為傾斜方向，垂直分速度為v2＝5m/s.t＝eq\f(d,v⊥)＝eq\f(d,v2)＝eq\f(180,5)s＝36sv合＝eq\r(v\o\al(2,1)＋v\o\al(2,2))＝eq\f(5,2)eq\r(5)m/sx＝v合t＝90eq\r(5)m.(2)欲使船渡河的航程最短，船的合運動方向應垂直河岸．船頭應朝上游與河岸成某一角度β.如圖所示，由v2sinα＝v1得α＝30°.所以當船頭朝上游與河岸成一定角度β＝60°時航程最短．x＝d＝180mt＝eq\f(d,v′⊥)＝eq\f(d,v2cos30°)＝eq\f(180,\f(5,2)\r(3))s＝24eq\r(3)s.[答案](1)36s90eq\r(5)m(2)偏向上游與河岸成60°角24eq\r(3)s對小船渡河問題，要注意以下三點：(1)eq\x(研究小船渡河時間時)→常對某一分運動進行研究求解，一般用垂直河岸的分運動求解．(2)eq\x(分析小船速度時)→可畫出小船的速度分解圖進行分析．(3)eq\x(研究小船渡河位移時)→要對小船的合運動進行分析，必要時畫出位移合成圖．[跟進訓練]1．(多選)一條寬為L的河流，河水流速為v1，船在靜水中的速度為v2，v1、v2均不等于零．設船頭的指向與上游河岸的夾角為θ，要使船劃到對岸時航程最短，則θ可能滿足()A．sinθ＝eq\f(v1,v2) B．tanθ＝eq\f(v2,v1)C．cosθ＝eq\f(v2,v1) D．cosθ＝eq\f(v1,v2)CD[由題意可知，當船在靜水中的速度大于河水流速，即v2＞v1時，船的合速度垂直于河岸，航程最短，如圖所示，則有cosθ＝eq\f(v1,v2).當船在靜水中的速度小于河水流速，即v2＜v1時，船的合速度垂直于船的速度，航程最短，如圖所示，則有cosθ＝eq\f(v2,v1).故C、D正確．]“繩聯物體”的速度分解問題1．“繩聯物體”指物體拉繩(桿)或繩(桿)拉物體的問題(下面為了方便，統一說“繩”)，注意以下兩點：(1)物體的實際速度一定是合速度，分解時兩個分速度方向應取沿繩方向和垂直繩方向．(2)由于繩不可伸長，一根繩兩端物體沿繩方向的速度分量相等．2．常見的速度分解模型【例2】如圖所示，以速度v沿豎直桿勻速下滑的物體A用輕繩通過定滑輪拉物體B，當繩與水平面夾角為θ時，物體B的速度為()A．v B.eq\f(v,sinθ)C．vcosθ D．vsinθD[將A的速度分解為沿繩子方向和垂直于繩子方向，如圖所示，根據平行四邊形定則得，vB＝vsinθ，故D正確．]上例中，若物體B以速度v向左勻速運動，則物體A做什么運動？[提示]vA′＝eq\f(v,sinθ)由于θ變小，故vA′變大，故物體A向上做加速運動．[跟進訓練]2．如圖所示，AB桿和墻的夾角為θ時，桿的A端沿墻下滑的速度大小為v1，B端沿地面的速度大小為v2，則v1、v2的關系是()A．v1＝v2 B．v1＝v2cosθC．v1＝v2tanθ D．v1＝v2sinθC[可以把A、B兩點的速度分解，如圖所示，由于桿不能變長或變短，沿桿方向的速度應滿足v1x＝v2x，即v1cosθ＝v2sinθ，v1＝v2tanθ，C正確．]1．(多選)已知河水自西向東流動，流速為v1，小船在靜水中的速度為v2，且v2>v1，用小箭頭表示船頭的指向及小船在不同時刻的位置，虛線表示小船過河的路徑，則下圖中可能正確的是()ABCDCD[小船的路徑應沿合速度方向，不可能與船頭指向相同，故A、B錯誤，C、D正確．]2．一輪船以一定的速度垂直河流向對岸行駛，當河水勻速流動時，輪船所通過的路程、過河所用的時間與水流速度的正確關系是()A．水速越大，路程越長，時間越長B．水速越大，路程越短，時間越短C．水速越大，路程和時間都不變D．水速越大，路程越長，時間不變D[輪船渡河的運動是兩個分運動的合成：假設河水不流動，輪船在靜止的河水中垂直對岸行駛；假設輪船不運行，而河水流動，則輪船隨河水一起向下游漂動．這兩個分運動具有獨立性，因而河水流速增大不影響輪船到達對岸的時間，但在相同的時間里，沿水流方向移動的位移要增大，因而選項D正確．]3．如圖所示，在不計滑輪摩擦和繩子質量的條件下，當小車以速度v勻速向右運動到如圖所示位置時，物體P的速度為(