2022年河南省商丘市劉聯合中學高二數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.極坐標方程ρ=cos（﹣θ）表示的曲線是（）A．雙曲線 B．橢圓 C．拋物線 D．圓參考答案：D【考點】極坐標系和平面直角坐標系的區別．【分析】分析根據極坐標系與直角坐標系的關系，把極坐標方程方程轉化為直角坐標系下的方程，再分析其所表示的曲線是什么．【解答】解：原坐標方程可化簡為即又有公式所以可化為一般方程．是圓的方程故答案選擇D．2.已知x，y滿足不等式組若當且僅當時，z=ax+y（a＞0）取得最大值，則a的取值范圍是(

)A．（0，） B．（，+∞） C．（0，） D．（，+∞）參考答案：D【考點】簡單線性規劃．【專題】數形結合；數形結合法；不等式的解法及應用．【分析】作出不等式組對應的平面區域，利用目標函數的幾何意義，利用數形結合進行求解即可．【解答】解：由z=ax+y（a＞0）得y=﹣ax+z（a＞0）直線y=﹣ax+z（a＞0）是斜率為﹣a＜0，y軸上的截距為z的直線，要使（3，0）是目標函數z=ax+y（a＞0）取最大值的唯一的最優解，則滿足﹣a＜kAB=﹣，解得a＞．故選：D．【點評】本題主要考查線性規劃的應用，利用數形結合是解決線性規劃問題中的基本方法，要熟練掌握目標函數的幾何意義．3.算法的三種基本結構是（

）.順序結構、條件結構、循環結構

.順序結構、流程結構、循環結構.順序結構、分支結構、流程結構

.流程結構、循環結構、分支結構參考答案：A略4.若是離散型隨機變量，，且，又已知，，則=（A）

或1

（B）

（C）

（D）參考答案：C5.關于x的不等式的解集中，恰有3個整數，則a的取值范圍是（）A.[－3,－2)∪(4,5] B.(－3,－2)∪(4,5) C.(4,5] D.(4,5)參考答案：A【分析】不等式等價轉化為，當時，得，當時，得，由此根據解集中恰有3個整數解，能求出的取值范圍。【詳解】關于的不等式，不等式可變形為，當時，得，此時解集中的整數為2，3，4，則；當時，得，，此時解集中的整數為-2，-1，0，則故a的取值范圍是，選：A。【點睛】本題難點在于分類討論解含參的二次不等式，由于二次不等式對應的二次方程的根大小不確定，所以要對和1的大小進行分類討論。其次在觀察的范圍的時候要注意范圍的端點能否取到，防止選擇錯誤的B選項。6.正四棱錐的側棱長與底面邊長都是1，則側棱與底面所成的角為(

)A．75° B．60° C．45° D．30°參考答案：C【考點】棱錐的結構特征；與二面角有關的立體幾何綜合題．【專題】數形結合．【分析】先做出要求的線面角，把它放到一個直角三角形中，利用直角三角形中的邊角關系求出此角．【解答】解析：如圖，四棱錐P﹣ABCD中，過P作PO⊥平面ABCD于O，連接AO則AO是AP在底面ABCD上的射影．∴∠PAO即為所求線面角，∵AO=，PA=1，∴cos∠PAO==．∴∠PAO=45°，即所求線面角為45°．故選C．【點評】本題考查棱錐的結構特征，以及求直線和平面成的角的方法，體現了數形結合的數學思想．7.已知=(2，1，﹣3)，=(4，2，λ)，若⊥，則實數λ等于（）A．﹣2 B． C．2 D．參考答案：B【考點】空間向量的數量積運算．【分析】利用向量垂直的性質直接求解．【解答】解：∵，⊥，∴=8+2﹣3λ=0，解得．故選：B．8.某人要制作一個三角形支架，要求它的三條高的長度分別為則此（

） A．不能作出這樣的三角形 B．能作出一個銳角三角形 C．能作出一個直角三角形 D．能作出一個鈍角三角形參考答案：D略9.曲線上的點到直線的最短距離是(

)

A．

B．

C．

D．0參考答案：B設為曲線上的任意一點，則由，所以，所以點（1,0）到直線的距離最短，最短距離為。10.在公比為整數的等比數列中，如果那么該數列的前項之和為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知對稱軸為坐標軸的雙曲線有一條漸近線為2x﹣y=0，則該雙曲線的離心率為．參考答案：或【考點】雙曲線的簡單性質．【專題】計算題．【分析】當雙曲線焦點在x軸上時，可設標準方程為（a＞0，b＞0），此時漸近線方程是，與已知條件中的漸近線方程比較可得b=2a，最后用平方關系可得c=a，用公式可得離心率e==；當雙曲線焦點在y軸上時，用類似的方法可得雙曲線的離心率為．由此可得正確答案．【解答】解：（1）當雙曲線焦點在x軸上時，設它的標準方程為（a＞0，b＞0）∵雙曲線的一條漸近線方程是2x﹣y=0，∴雙曲線漸近線方程是，即y=±2x∴?b=2a∵c2=a2+b2∴==a所以雙曲線的離心率為e==（2）當雙曲線焦點在y軸上時，設它的標準方程為（a＞0，b＞0）采用類似（1）的方法，可得?∴==所以雙曲線的離心率為e==綜上所述，該雙曲線的離心率為或故答案為：或【點評】本題用比較系數法求雙曲線的離心率的值，著重考查了雙曲線的漸近線和平方關系等基本概念和雙曲線的簡單性質，屬于基礎題．12.不論a為何實數，直線（a+3）x+（2a﹣1）y+7=0恒過定點．參考答案：（﹣2，1）【考點】恒過定點的直線．【分析】由直線系的知識化方程為（x+2y）a+3x﹣y+7=0，解方程組可得答案．【解答】解：直線（a+3）x+（2a﹣1）y+7=0可化為（x+2y）a+3x﹣y+7=0，由交點直線系可知上述直線過直線x+2y=0和3x﹣y+7=0的交點，解方程組可得∴不論a為何實數，直線（a+3）x+（2a﹣1）y+7=0恒過定點（﹣2，1）故答案為：（﹣2，1）13.設等差數列的前n項和為成等差數列。類比以上結論有：設等比數列的前n項積為，則

參考答案：成等比數列14.如圖，網格紙的小正方形的邊長是1，在其上用粗線畫出了某多面體的三視圖，則這個多面體最長的一條棱的長為

.參考答案：15.數列中，已知上，則的通項公式為_____________參考答案：略16.若成等比數列，且不等式的解集為，則=

。參考答案：

17.若雙曲線的離心率為2，則的值為

．參考答案：3略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數f（x）=|x﹣m|，（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）若m=1且時，對任意正數a，b，c恒成立，求實數x的取值范圍．

參考答案：（I）；…（4分）（II）∵根據柯西不等式，有（a+b+c）（12+22+32）≥（）2，∴（8分）＞2，∴從而∴x的取值范圍是（12分）19.在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求bc的最大值．參考答案：【考點】余弦定理；同角三角函數基本關系的運用；二倍角的余弦．【專題】計算題．【分析】（Ⅰ）把所求的式子利用二倍角的余弦函數公式及三角形的內角和定理化簡后，得到一個關于cosA的關系式，把cosA的值代入即可求出值；（Ⅱ）根據余弦定理表示出cosA，讓其等于，然后把等式變為，利用基本不等式和a的值即可求出bc的最大值．【解答】解：（Ⅰ）====；（Ⅱ）根據余弦定理可知：∴，又∵，即bc≥2bc﹣3，∴．當且僅當b=c=時，bc=，故bc的最大值是．【點評】此題考查學生靈活運用二倍角的余弦函數公式及余弦定理化簡求值，靈活運用基本不等式求函數的最值，是一道中檔題．20.已知函數f（x）=sin+2sin2（x﹣）（x∈R）．（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函數f（x）的遞增區間．參考答案：【考點】三角函數中的恒等變換應用；正弦函數的圖象．【分析】（Ⅰ）利用差角三角函數，結合輔助角公式，化簡函數，即可求函數f（x）的最小正周期；（Ⅱ）由已知，即可求函數f（x）的遞增區間．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin+1﹣cos=2[]+1=2sin+1=2sin（2x﹣）+1．∴T==π．…（6分）（Ⅱ）由已知得：所以函數f（x）的遞增區間為…（12分）【點評】本題考查三角函數的圖象與性質，考查學生的計算能力，屬于中檔題．21.如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，點E為棱AB的中點． 求：（1）點C到面BC1D的距離； （2）D1E與平面BC1D所成角的正弦值． 參考答案：【考點】直線與平面所成的角；點、線、面間的距離計算． 【專題】計算題；轉化思想；綜合法；空間位置關系與距離；空間角． 【分析】（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，由此能求出點C到面BC1D的距離． （2）求出和平面BC1D的法向量，由此能求出D1E與平面BC1D所成角的正弦值． 【解答】解：（1）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系， ∵正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2， ∴C（0，2，0），B（2，2，0），D（0，0，0），C1（0，2，2）， =（0，2，0），=（2，2，0），=（0，2，2）， 設平面BC1D的法向量=（x，y，z）， 則，取x=1，得=（1，﹣1，1）， ∴點C到面BC1D的距離：d===． （2）D1（0，0，2），E（2，1，0），=（2，1，﹣2）， 設D1E與平面BC1D所成角為θ， sinθ===． ∴D1E與平面B