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（滬教版2023必修第二冊）

第9章復數

9.3實系數一元二次方程

在初中課程中已學過了實系數一元二次方程，它具有標準

形式

９．３實系數一元二次方程

我們已經知道可用判別式來判定這個方程實根

的存在性．具體地說，在實數范圍內考慮：

（１）當Δ＞０時，該方程有兩個不相等的實根

（２）當Δ＝０時，該方程有兩個相等的實根（二重根）

（３）當Δ＜０時，該方程沒有實根

我們現在再來討論實系數一元二次方程的求根問題，但將根

的取值范圍從實數拓廣到復數．也就是說，我們不僅要討論實

根，還要討論虛根．我們要解決的問題實際上有兩個：

（Ａ）當Δ≥０時，除了已經找到的實根外，方程在復數范圍

還有其他的根嗎？

（Ｂ）當Δ＜０時，方程在復數范圍有根嗎？怎樣求出它的根？

回答這兩個問題，關鍵是對Δ（它是一個實數）在復數范圍的

平方根問題有個準確的把握．

1實數的平方根

設c∈R，并設是它的一個平方根，即

將上式左邊展開，得到再根

據復數相等的條件，就得到

從第二個等式可知，a與b中至少有一個為零．

當c≥０時，必須b＝０，否則a＝０，從而推出，

與假設矛盾．于是必是c的一個實平方根．這說明，

除了已知的實平方根非負實數犮在復數范圍沒有其他

的平方根．

而當c＜０時，必須a＝０，否則b＝０，從而推出

與假設矛盾．于是，，從而此時犮的平

方根有兩個：它們是兩個共軛的純虛數．

例１在復數范圍求25與－25的平方根．

解因為25＞０，它在復數范圍的平方根與實數范圍的平方

根是一樣的，都是±５；因為－２５＜０，它沒有實平方根，而在復

數范圍其平方根是

２實系數一元二次方程

我們現在在復數范圍求解實系數一元二次方程

．用配方法，得到

這就是說，是實數Δ的平方根．由前面關于實數平方根

的討論，就可以回答本節引言中所提的兩個問題了，其答案是：

在復數范圍內，

（１）當Δ＞０時，方程有兩個不相等的實根

（２）當Δ＝０時，方程有兩個相等的實根（二重根）

（３）當Δ＜０時，方程有一對共軛虛根

例２在復數范圍內解方程：

解該方程的判別式Δ＝（－４）２－４×２×５＝－２４＜０，所以

此方程有一對共軛虛根

如果實系數一元二次方程有實根

與，由必修課程第２章已經知道這兩個根與方程的系數有如

下關系（韋達定理）：

實系數一元二次方程的根與系數的關系在虛根的情況下仍然成

立，這只要直接把根代入驗證就可以了．

例３如果p、q都是實數，而關于x的方程

p＝０有一個根，求p、q的值．

解方程有一個虛根－２＋３ｉ，則它的另一

個根必為其共軛復數－２－３ｉ．由根與系數的關系，有

從而

例４在復數范圍將分解因式．

解例２中已經求出方程的兩個根

與所以

課本練習

練習９．３

１．已知k是一個實常數，而關于x的一元二次方程

有兩個虛根．求k的取值范圍．

２．在復數范圍內解方程：

３．若和是方程的兩個根，求

的值．

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