一、交錯級數及其審斂法二、絕對收斂與條件收斂三、小結 思考題第三節 任意項級數的絕對與條件收斂一、交錯級數及其審斂法定義:正、負項相間的級數稱為交錯級數.nn

n

￥

￥n-1(-1)

u(-1)

u

或n=1

n=1定理

1

萊布尼茨定理

如果交錯級數滿足條件:nfi

￥(ⅰ)un

?

un+1

(n

=

1,2,3,);(ⅱ)lim

un

=

0,則級數收斂,且其和s

￡

u1,其余項rn的絕對值￡

un+1.rnn(其中u

>

0)證明

s2n

=

(u1

-

u2

)

+

(u3

-

u4

)

+

+

(u2n-1

-

u2n

)數列s2n是單調增加的,又

s2n

=

u1

-

(u2

-

u3

)

-

-(u2n-2

-

u2n-1

)

-

u2n￡

u1

un-1

-

un

?

0,\

lim

s2n

=

s

￡

u1

.nfi

￥nfi

￥

lim

u2n+1

=

0,數列s2n是有界的,\

lim

s2n+1

=

lim(s2n

+

u2n+1

)

=

s,nfi

￥

nfi

￥\

級數收斂于和

s,

且s

￡

u1

.余項

rn

=

–(un+1

-

un+2

+),rn

=

un+1

-

un+2

+,滿足收斂的兩個條件,\

rn

￡

un+1

.定理證畢.=

u

(n

=

1，2，）n n

+

1解

u

=

1

>1n+1n又lim

un

=

0nfi

￥故級數收斂.的斂散性.1

-

1

+

1

-

1

+

2

3

4例1

判別交錯級數例2

判別級數￥n=2n

-

1(-1)n

n的收斂性.解x

-

1

2

x(

x

-

1)2-

(1

+

x)(

x

)￠=<

0

(

x

?

2)x

-

1故函數

x

單調遞減,n+1n\

u

>

u

,nnfi

￥

n

-

1nnfi

￥又lim

u

=

lim=

0.原級數收斂.注意1.萊布尼茨判別法是判定級數收斂的充分而非必要條件；思考：萊布尼茨判別法的條件其中之一不成立，結果如何？2.判定un+1

<un的方法1)un+1

-

unn<

0；

2

un+1

<

1；）u3）相應函數的單調性.二、絕對收斂與條件收斂任意項級數正項級數定義:正項和負項任意出現的級數稱為任意項級數.任意項級數的各項取絕對值問題:如何研究任意項級數的斂散性問題？n=1n=1任意項級數的斂散性￥

￥1.

un絕對收斂

un

收斂；￥n=1￥

￥n=1

n=12.

un條件收斂

un

發散，

un收斂；￥3.

un發散.n=1￥

￥定理

2

若

un

收斂,則

un

收斂.n=1

n=1證明2nn

n令

v

=

1

(u

+

u

)

(n

=

1,2,),￥n=1顯然

vn

?

0,

且

vn

￡

un

,\vn收斂,￥

￥n=1

n=1又

un

=

(2vn

-

un

),￥\

un

收斂.n=1例3

判別級數￥n=1n2sin

n

的收斂性.解2nnsin

n

1￡

2

,收斂,12而￥n=1n收斂,n=1n2sin

n￥\

故由定理知原級數收斂.定理

3

如果任意項級數￥

un

=

u1

+

u2

+

+

un

+n=1滿足條件nfi

￥unlim

un+1

=r

（其中r

可以為+￥

）￥￥則當r

<1時，級數

un

收斂，且絕對收斂；n=1當r

>1時，級數

un

發散n=1例

4

判別下列級數的收斂性:(1)￥n=0

n!

;xn(2)￥n=1x2nn

(-1)

(2n)!;(3)

nxn!a

(a

-

1)

(a

-

n

+

1)￥n

=

1解=

0|

x

||

x

|n+1=

limn!nfi

￥

n

+

1n

=

limun

nfi

￥

(n

+

1)!

|

x

|(1)

limnfi

￥un+1則此級數對一切x(-￥<x

<+￥

)絕對收斂|

x

|2(2)

lim

un+1|

x

|2

=

0(2n)!1=

limnfi

￥

(2n

+

2)(2n

+

1)nfi

￥=

limun

nfi

￥

(2n

+

2)!un

n

+

1n

fi

￥n

fi

￥(3)

lim

un

+1

=

lim

a

-

n

x

=|

x

|則此級數對一切x(-￥<x

<+￥

)絕對收斂則當|x

|<1時，級數收斂；當|x

|>1時，級數發散，而x

=–1時，級數是否收斂取決于a

為何值.三、小結任意項級數審斂法若Sn

fi

S

,則級數收斂;當n

fi

￥

,un

fi

0,則級數發散;按基本性質;絕對收斂交錯級數(萊布尼茨定理)思考題1n=1￥

￥n=1設級數|

un

|收斂,能否推得

un

收斂?反之是否成立?思考題1解答n=1￥

￥n=1由級數|

un

|收斂，可以推得

un

收斂,反之不成立.例如：￥(-1)n=1n

1n收斂,￥n=11n發散.思考題2若收斂是條件收斂還是絕對收斂？判斷級數

是否收斂？￥（-

1）nn

+（-

1）nn=2思考題解答而

發散，n

+（-

1）n￥\

un發散；n=1￥n=1>un

=12n2n11下面判斷是否條件收斂，首先認定是交錯級數，但因不滿足un+1

￡

un，所以萊布尼茨判定法無效.此處可用定義證明.112n-

)

s

=

(

1

-

1

)

+

(

1

-

1

)

+

+

(3

2

5

42n

+

1

2n12n

+

11-

)

+2

3

4 2n

-

1

2n12n或

s

=

-

1

+

(

1

-

1

)

+

+

(\s2

n為單調減少有下界數列，nfi

￥nfi

￥\原級數收斂.從而lim

s2n

=

s；

lim

u2n+1

=

0,所以nfi

￥lim

sn

=

s條件收斂.n

+（-

1）n（-

1）n￥\級數n=2￥1.

(-1)n=1n-1n；3n-12.-11ln

3 ln

4 ln

51ln

2+

- +

；1練習題一、判別下