第七講分式方程分式方程一、定義:分母中含有_______的方程.二、解分式方程的一般方法分式方程整式方程未知數去分母方程兩邊同乘___________最簡公分母三、解分式方程的步驟1.去分母:方程兩邊同乘___________,約去分母將分式方程化為_____方程.2.求解:解這個_____方程.3.檢驗:將求得的整式方程的根代入所乘的____________,使__________________的根是原方程的根.使________________的根不是原方程的根,必須舍去.最簡公分母整式整式最簡公分母最簡公分母不等于0最簡公分母等于0四、應用列分式方程解應用題的一般步驟:審、設、列、解、驗、答.【自我診斷】(打“√”或“×”)1.+1=0,-2=3均為分式方程.()2.若x=1是分式方程的根,則k=()3.分式方程的解為x=1.()×√×4.將分式方程化為整式方程后為x+2(x-2)=1.()5.甲每小時比乙多加工10個零件,若甲、乙分別加工300個零件,甲比乙少用1小時,若設甲每小時加工x個零件,則列出方程為()××考點一分式方程的解法【例1】(1)(2017·隨州中考)解分式方程:

(2)(2017·濟寧中考)解方程:【思路點撥】去分母化為整式方程,解整式方程,代入最簡公分母檢驗.【自主解答】(1)原方程可化為:3+x2-x=x2,解得x=3.檢驗:當x=3時,x(x-1)≠0,所以,原分式方程的解為x=3.(2)方程兩邊乘(x-2),得2x=x-2+1,解得x=-1,檢驗:當x=-1時,x-2≠0,2-x≠0.所以原分式方程的解為x=-1.【名師點津】解分式方程的一般步驟【備選例題】(2016·潛江中考)解方程:【解析】去分母得:3(x-1)=x(x+1)-(x+1)(x-1),解得:x=2,檢驗:當x=2時,(x+1)(x-1)≠0,∴原分式方程的解是x=2.【題組過關】1.(2017·濱州中考)分式方程的解為()世紀金榜導學號16104091A.x=1B.x=-1C.無解D.x=-2【解析】選C.去分母,得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3,去括號、合并同類項,得x=1,檢驗:當x=1時,(x-1)(x+2)=0,所以x=1不是原分式方程的根,所以原分式方程無解.2.(2016·十堰中考)用換元法解方程時,設=y,則原方程可化為()A.y--3=0 B.y--3=0C.y-+3=0 D.y-+3=0【解析】選B.∵可轉化為y-=3,即y--3=0.3.(2017·威海中考)方程的解是____.【解析】去分母得,3-x-1=x-4,解得x=3,檢驗知x=3是原分式方程的解.答案:x=34.(2017·杭州中考)若則m=________.世紀金榜導學號16104092【解析】當m=3時,等式成立;當m≠3時,得|m|=1,得m=±1,又因為m-1≠0,所以m的值為3或-1.答案:3或-15.(2017·無錫中考)解方程:【解析】方程兩邊都乘以(2x-1)(x+2),化為整式方程5(x+2)=3(2x-1).解這個整式方程得x=13.經檢驗,x=13是原分式方程的解,∴原分式方程的解是x=13.【知識拓展】可化為一元二次方程的分式方程的解法可化為一元二次方程的分式方程的解法與可化為一元一次整式方程的解法相同,化為一元二次方程后,解這個一元二次方程,然后檢驗.考點二與分式方程的解有關的字母取值問題【例2】(1)(2017·瀘州中考)關于x的分式方程=3的解為正實數,則實數m的取值范圍是________.世紀金榜導學號16104093(2)(2017·攀枝花中考)若關于x的分式方程無解,則實數m=________.【思路點撥】(1)解分式方程→求得方程的解→方程的解為正實數→不等式→求得m的范圍→方程的解不等于2→不等式→m的范圍.(2)分式方程無解包括兩種情況,一是分式方程變形后的整式方程無解.二是整式方程的解不是原分式方程的根,分別求出m的值.【自主解答】(1)x+m-2m=3x-6,x=.由題意得x=>0,解得m<6,又x=≠2,∴m≠2,∴m<6且m≠2.答案:m<6且m≠2(2)將分式方程化為整式方程得7+3(x-1)=mx,整理得(m-3)x=4,∵分式方程無解分為整式方程無解和整式方程的解不是分式方程的根,∴當整式方程無解時,則m-3=0,即m=3;當整式方程的解不為分式方程的根時,則x=1,∴m-3=4,即m=7.答案:7或3【名師點津】與分式方程的解有關問題的兩種類型一是根據方程的解的性質討論字母的取值,其解題策略是化分式方程為整式方程,用含有字母的代數式表示方程的解,根據題意列不等式求出字母的取值范圍,注意考慮滿足分母不等于零的限制條件;二是分式方程無解,分式方程無解有兩種情況:1.由分式方程所化為的整式方程ax=b,出現a=0,b≠0的情況,此時整式方程無解,所以分式方程也無解;2.由分式方程化為整式方程,整式方程的解使得分式方程的分母為零,此時分式方程無解.【題組過關】1.(2017·聊城中考)如果關于x的分式方程=1時出現不適合原方程的根,那么m的值為()A.-2B.2C.4D.-4【解析】選D.去分母得,m+2x=x-2①,把增根x=2代入①得,m=-4.2.(2016·賀州中考)若關于x的分式方程的解為非負數,則a的取值范圍是()世紀金榜導學號16104094A.a≥1 B.a>1C.a≥1且a≠4 D.a>1且a≠4【解析】選C.去分母得:2(2x-a)=x-2,解得x=由題意得≥0且≠2,解得a≥1且a≠4.考點三分式方程的應用【考情分析】分式方程的應用的層級為能列分式方程解決實際問題,在各地中考試題中均有體現,是分式方程的一個重要考向,考查的內容一般為行程問題、工程問題、和差倍分問題等,有時涉及方案設計問題,結合方程組、不等式組一起考查,各種題型均有體現.命題角度1:行程問題【例3】(2016·哈爾濱中考)早晨,小明步行到離家900米的學校去上學,到學校時才發現眼鏡忘在家中,于是他立即按原路步行回家,拿到眼鏡后立即按原路騎自行車返回學校.已知小明步行從學校到家所用的時間比他騎自行車從家到學校所用的時間多10分鐘,小明騎自行車速度是步行速度的3倍.(1)求小明步行速度(單位:米/分)是多少.(2)下午放學后,小明騎自行車回到家,然后步行去圖書館,如果小明騎自行車和步行的速度不變,小明步行從家到圖書館的時間不超過騎自行車從學校到家時間的2倍,那么小明家與圖書館之間的路程最多是多少米?【思路點撥】(1)設步行速度為x米/分,根據“步行到校的時間=騎自行車到校的時間+10”列方程求解.(2)設小明家與圖書館之間的路程為y米.根據小明“步行從家到圖書館的時間≤騎自行車從學校到家的時間×2”列不等式求解.【自主解答】(1)設小明步行的速度為x米/分,根據題意,得=10,解得x=60.經檢驗x=60是原方程的解,小明步行速度為60米/分.(2)設小明家與圖書館之間的路程為y米,根據題意,得×2,解得y≤600,∴小明家與圖書館之間的路程最多是600米.【母題變式】(改變問法)其他條件不變,問小明從家步行去學校的時間為多少?提示:15分.設小明從家步行去學校的時間為x分,則3×解得x=15.經檢驗知:x=15是原方程的解.答:小明步行從家去學校的時間為15分.【知識歸納】行程問題一般有三個量:路程、速度和時間.一般題目告訴一個量,我們設一個量,然后再根據第三個量的關系列方程.命題角度2:工程問題【例4】(2016·呼和浩特中考)某一公路的道路維修工程,準備從甲、乙兩個工程隊中選一個隊單獨完成,根據兩隊每天的工程費用和每天完成的工程量可知,若由兩隊合作此項維修工程,6天可以完成,共需工程費用385200元,若單獨完成此項維修工程,甲隊比乙隊少用5天,每天的工程費用甲隊比乙隊多4000元.從節省資金的角度考慮,應該選擇哪個工程隊?世紀金榜導學號16104095【思路點撥】(1)設甲隊單獨完成此項工程需x天,“根據甲隊一天的工作量+乙隊一天的工作量=”列方程求解.(2)分別計算甲乙兩隊每天的工程費用,再乘以各自完成這項工程的天數,比較得出結論.【自主解答】設甲隊單獨完成此項工程需x天,乙隊單獨完成需要(x+5)天.依據題意可列方程:解得:x1=10,x2=-3(舍去),經檢驗x=10是原方程的解,設甲隊每天的工程費用為y元,依據題意可列方程:6y+6(y-4000)=385200,解得:y=34100.∴甲隊完成此項工程費用為:34100×10=341000元,乙隊完成此項工程費用為:30100×15=451500元.答:從節省資金的角度考慮,應該選擇甲工程隊.【母題變式】(改變問法)因工程需要,此項工程必須在8天之內完成,問應如何安排甲乙兩隊的工作時間,才能使總費用最低.提示:由原題解題過程知,甲隊單獨完成這項工程比乙隊單獨完成這項工程的費用低,故安排甲做8天,剩下的工程量乙做,所以乙還需的天數為:即甲做8天,乙做3天可使總費用最低.【名師點津】列分式方程解應用題的一般步驟1.審審清題意,分清題中的已知量、未知量2.設設適當的未知數,可以直接設未知數,有的題目需要間接設未知數3.列用含未知數的代數式表示相等關系列出方程4.解解分式方程5.驗檢驗是否是增根,是否符合題意6.答寫出答案(包括單位)【題組過關】1.(2017·新疆生產建設兵團中考)某工廠現在平均每天比原計劃多生產40臺機器,現在生產600臺機器所需的時間與原計劃生產480臺機器所用的時間相同,設原計劃每天生產x臺機器,根據題意,下面列出的方程正確的是()【解析】選B.原計劃平均每天生產x臺機器,根據題意得,2.(2017·泰安中考)某服裝店用10000元購進一批某品牌夏季襯衫若干件,很快售完;該店又用14700元錢購進第二批這種襯衫,所進件數比第一批多40%,每件襯衫的進價比第一批每件襯衫的進價多10元,求第一批購進多少件襯衫?設第一批購進x件襯衫,則所列方程為世紀金榜導學號16104096()【解析】選B.第一批購進x件襯衫,根據第二批每件襯衫的進價比第一批每件襯衫的進價多10元,列方程得3.(2017·揚州中考)星期天,小明和小芳從同一小區門口同時出發,沿同一路線去離該小區1800米的少年宮參加活動,為響應“節能環保,綠色出行”的號召,兩人都步行,已知小明的速度是小芳的速度的1.2倍,結果小明比小芳早6分鐘到達,求小芳的速度.世紀金榜導學號16104097【解析】設小芳的速度為x米/分,由題意可得=6,解方程得,x=50經檢驗,x=50是原方程的解且符合實際.答:小芳的速度為50米/分.4.(2017·黃岡中考)黃麻中學為了創建全省“最美書屋”,購買了一批圖書,其中科普類圖書平均每本的價格比文學類圖書平均每本的價格多5元.已知學校用12000元購買的科普類圖書的本數與用9000元購買的文學類圖書的本數相等.求學校購買的科普類圖書和文學類圖書平均每本的價格各是多少元?世紀金榜導學號16104098【解析】設文學類圖書平均每本的價格為x元,則科普類圖書平均每本的價格為(x+5)元,依題意可列方程:解得:x=15.經檢驗:x=15是所列分式方程的解.∴x+5=15+5=20.答:科普類圖書和文學類圖書平均每本的價格分別為20元和15元.5.(2017·廣州中考)甲、乙兩個工程隊