第三章矩陣的初等變換與線性方程組本章先討論矩陣的初等變換，建立矩陣的秩的概念,并提出求秩的有效方法。

再利用矩陣的秩反過來研究齊次線性方程組有非零解的充分必要條件和非齊次線性方程組有解的充分必要條件，并介紹用初等變換解線性方程組的方法．2023/7/231§1矩陣的初等變換與一、線性方程組求解矩陣初等變換2023/7/232引例消元法解線性方程求解線性方程組分析：用消元法解下列方程組的過程．2023/7/233解2023/7/234用“回代”的方法求出解：2023/7/235于是解得（2）2023/7/236小結(jié)：1．上述解方程組的方法稱為消元法．2．始終把每一個(gè)方程看作一個(gè)整體變形，用到如下三種變換（1）交換方程次序；（2）以不等于０的數(shù)乘某個(gè)方程；（3）一個(gè)方程加上另一個(gè)方程的k倍．（與相互替換）（以替換）（以替換）2023/7/2373．上述三種變換都是可逆的．由于三種變換都是可逆的，所以變換前的方程組與變換后的方程組是同解的．故這三種變換是同解變換．2023/7/238因?yàn)樵谏鲜鲎儞Q過程中，僅僅只對(duì)方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，未知量并未參與運(yùn)算．若記則對(duì)方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)換為對(duì)矩陣B(稱為方程組（1）的增廣矩陣）的變換．2023/7/239定義1下面三種變換稱為矩陣的初等行變換:二、矩陣的初等變換2023/7/2310定義2矩陣的初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱為初等變換．

初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．

同理可定義矩陣的初等列變換(所用記號(hào)是把“r”換成“c”)．逆變換逆變換逆變換2023/7/2311等價(jià)關(guān)系的性質(zhì)：具有上述三條性質(zhì)的關(guān)系稱為分類關(guān)系．例如，兩個(gè)線性方程組同解，兩個(gè)線性方程組對(duì)應(yīng)的矩陣等價(jià)2023/7/2312求解線性方程組方程的增廣矩陣為：2023/7/2313用矩陣的初等行變換解方程組（1）：2023/7/23142023/7/23152023/7/23162023/7/2317特點(diǎn)：（1）、可劃出一條階梯線，線的下方全為零；（2）、每個(gè)臺(tái)階只有一行，臺(tái)階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個(gè)元素為非零元，即非零行的第一個(gè)非零元．2023/7/23182023/7/2319例如，行最簡(jiǎn)形矩陣再經(jīng)過初等列變換，可化成標(biāo)準(zhǔn)形．2023/7/2320特點(diǎn)：

所有與矩陣等價(jià)的矩陣組成的一個(gè)集合，稱為一個(gè)等價(jià)類，標(biāo)準(zhǔn)形是這個(gè)等價(jià)類中最簡(jiǎn)單的矩陣.2023/7/2321三、小結(jié)1.初等行(列)變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．3.矩陣等價(jià)具有的性質(zhì)2.初等變換2023/7/23223.矩陣的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)型2023/7/2323思考題已知四元齊次方程組及另一四元齊次方程組的通解為2023/7/2324思考題解答解2023/7/2325§2

矩陣的秩2023/7/2326一、矩陣秩的概念矩陣的秩2023/7/23272023/7/2328例1解2023/7/2329例2解2023/7/2330例3解計(jì)算A的3階子式，2023/7/2331另解顯然，非零行的行數(shù)為2，此方法簡(jiǎn)單！2023/7/2332問題：經(jīng)過變換矩陣的秩變嗎？證二、矩陣秩的求法2023/7/23332023/7/23342023/7/2335經(jīng)一次初等行變換矩陣的秩不變，即可知經(jīng)有限次初等行變換矩陣的秩仍不變．2023/7/2336證畢2023/7/2337初等變換求矩陣秩的方法：把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩.例4解2023/7/23382023/7/23392023/7/23402023/7/2341由階梯形矩陣有三個(gè)非零行可知2023/7/2342則這個(gè)子式便是的一個(gè)最高階非零子式.2023/7/23432023/7/2344例5解分析：2023/7/23452023/7/23462023/7/2347三、小結(jié)(2)初等變換法1.矩陣秩的概念2.求矩陣秩的方法(1)利用定義(把矩陣用初等行變換變成為行階梯形矩陣，行階梯形矩陣中非零行的行數(shù)就是矩陣的秩).(即尋找矩陣中非零子式的最高階數(shù));2023/7/2348思考題(放到齊次方程組后)2023/7/2349經(jīng)常不斷地學(xué)習(xí),你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量StudyConstantly,AndYouWillKnowEverything.TheMoreYouKnow,TheMorePowerfulYouWillBe寫在最后ThankYou