江蘇省南京市江寧區秦淮中學高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若復數，為z的共軛復數，則=（）A．i B．﹣i C．﹣22017i D．22017i參考答案：B【考點】復數代數形式的乘除運算；虛數單位i及其性質．【分析】利用復數的運算法則、周期性即可得出．【解答】解：==i，=﹣i，則=[（﹣i）4]504?（﹣i）=﹣i．故選：B．2.如圖，正△ABC的中心位于點G（0，1），A（0，2），動點P從A點出發沿△ABC的邊界按逆時針方向運動，設旋轉的角度∠AGP=x（0≤x≤2π），向量在=（1，0）方向的射影為y（O為坐標原點），則y關于x的函數y=f（x）的圖象是（）參考答案：C略3.在△中,角A、B、C所對的邊分別為a、b、c,且滿足,則的最大值是(

)

A.

B.

C.

D.

2參考答案：A4.下列命題中真命題的個數是（）①若p∧q是假命題，則p，q都是假命題；②命題“?x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“?x0∈R，x03﹣x02+1＞0”；③若p：x≤1，q：＜1，則￢p是q的充分不必要條件．④設隨機變量X服從正態分布N（3，7），若P（X＞C+1）=P（X＜C﹣1），則C=3．A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：C【考點】命題的真假判斷與應用．【分析】對于①，p∧q是假命題?p，q中至少有一個為假命題，可判斷①錯誤；對于②，寫出命題“?x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定：“?x0∈R，x03﹣x02+1＞0”，可判斷②正確；對于③，由p：x≤1，q：＜1知，￢p?q，反之，不可，可判斷③正確；對于④，依題意，由P（X＞C+1）=P（X＜C﹣1）知隨機變量X的正態曲線關于直線x=C對稱，由X～N（3，7）知故其圖象關于直線x=3對稱，可判斷④正確．【解答】解：對于①，若p∧q是假命題，則p，q中至少有一個為假命題，并非都是假命題，故①錯誤；對于②，命題“?x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是“?x0∈R，x03﹣x02+1＞0”，故②正確；對于③，∵p：x≤1，q：＜1，則x＞1?＜1，反之不成立，即￢p是q的充分不必要條件，故③正確；對于④，∵隨機變量X服從正態分布N（3，7），故其圖象關于直線x=3對稱，又P（X＞C+1）=P（X＜C﹣1），∴隨機變量X的正態曲線關于直線x=C對稱，∴C=3，故④正確．綜上，命題中真命題的個數是3個，故選：C．5.若，則的取值范圍是

(

）A．（0，1）

B．（0，）C．（，1）

D．（0，1）∪（1，+∞）參考答案：C6.清代著名數學家梅彀成在他的《增刪算法統宗》中有這樣一歌謠：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”其譯文為：“遠遠望見7層高的古塔，每層塔點著的燈數，下層比上層成倍地增加，一共有381盞，請問塔尖幾盞燈？”則按此塔各層燈盞的設置規律，從上往下數第4層的燈盞數應為（）A．3 B．12 C．24 D．36參考答案：C【考點】等比數列的通項公式．【分析】由題意知第七層至第一層的燈的盞數構成一個以a1為首項，以2為公比的等比數列，由等比數列的求和公式可得a1，即可求出a4．【解答】解：依題意知，此塔各層的燈盞數構成公比q=2的等比數列，且前7項和S7=381，由，解得a1=3，故．故選：C．7.已知函數的定義域為，則函數的單調遞增區間是（

）A．和

B．和C．和

D．和參考答案：8.已知i是虛數單位，則（

）A.2+i

B.2-i

C.1+2i

D.1-2i

參考答案：D。9.設、分別為雙曲線的左、右焦點．若在雙曲線右支上存在點，滿足，且到直線的距離等于雙曲線的實軸長，則該雙曲線的漸近線方程為

A．

B．

C．

D．

參考答案：D依題意|PF2|=|F1F2|，可知三角形是一個等腰三角形，F2在直線PF1的投影是其中點，由勾股定理知可知，根據雙曲定義可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=∴雙曲線漸進線方程為，即。故選D.10.設集合，，則

(

)(A)

（B）

（C）

（D）參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖,在三棱錐中,、、兩兩垂直,且.設是底面內一點,定義,其中、、分別是三棱錐、三棱錐、三棱錐的體積.若,且恒成立,則正實數的最小值為________.參考答案：112.如圖，在中，分別是上一點，滿足，若，則的面積為

參考答案：過點作于，如圖所示．由，知，再由，得．設，則．又，得，，．于是勾股定理，得．又由余弦定理，得．又，所以，所以，解得或（舍去），所以＝．13.設等差數列{an}的前n項和為Sn，若S8=4a3，a9=﹣6，則a7=

．參考答案：﹣2考點：等差數列的前n項和；等差數列的通項公式．專題：等差數列與等比數列．分析：通過S8=4a3、a9=﹣6，計算即得結論．解答： 解：設等差數列{an}的公差為d，則由S8=4a3，可得：8a1+=4（a1+2d），化簡得：a1+5d=0，又∵a9=﹣6，∴a1+8d=﹣6，∴a1=10，d=﹣2，∴a7=a1+6d=10﹣12=﹣2，故答案為：﹣2．點評：本題考查求等差數列的通項，注意解題方法的積累，屬于基礎題．14.函數在

處取得極小值．參考答案：15.函數的定義域是____________參考答案：16.在中，角所對邊長分別為，若，則的最小值為_________.參考答案：略17.已知函數

是定義在上的減函數，函數

的圖象關于點對稱.若對任意的

，不等式

恒成立，的最小值是（）

A、0

B、1

C、2

D、3參考答案：C略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.求圓心在直線4x+y=0上，并過點P（4，1），Q（2，－1）的圓的程參考答案：略19.

（1）用導數證明:若,則.

（2）若對恒成立，求的最大值與的最小值．

參考答案：解：（1）設f(x)=x-sinx，g(x)=tanx-x，x∈(0，π/2)f'(x)=1-cosx>0g'(x)=(1/cos2x)-1>0由

于f(x)和g(x)在(0，π/2)上都是單調遞增函數所以f(x)>f(0)=0，g(x)>g(0)=0==>x-sinx

>0，tanx-x>0=>x>sinx，tanx>x∴sinx<x<tanx，x∈(0，π/2)

………6分（2）當x>0時，“>a”等價于“sinx－ax>0”，“<b”等價于“sinx－bx<0”．令g(x)＝sinx－cx，則g′(x)＝cosx－c.討論：當c≤0時，g(x)>0對任意x∈恒成立．當c≥1時，因為對任意x∈，g′(x)＝cosx－c<0，所以g(x)在區間上單調遞減，從而g(x)<g(0)＝0對任意x∈恒成立．

………8分當0<c<1時，存在唯一的x0∈使得g′(x0)＝cosx0－c＝0.g(x)與g′(x)在區間上的情況如下：x(0，x0)x0g′(x)＋0－g(x)遞增

遞減因為g(x)在區間(0，x0)上是增函數，所以g(x0)>g(0)＝0.于是“g(x)>0對任意x∈恒

成立”當且僅當g＝1－c≥0，即0<c≤.

………11分綜上所述，當且僅當c≤時，g(x)>0對任意x∈恒成立；當且僅當c≥1時，g(x)<0對任意x∈恒成立．所以，若對任意恒成立，則的最大值為，的最小值為1.

略20.已知在四棱錐中，,,，分別是的中點．(1)求證；(2)求證；(3)若，求二面角的大小．參考答案：(Ⅰ)證明:由已知得，故是平行四邊形，所以，因為，所以,

由及是的中點，得,

又因為,所以.

(Ⅱ)證明:連接交于,再連接,由是的中點及，知是的中點，又是的中點，故，

又因為，所以.

(Ⅲ)解：設,則，又，，故即，

又因為，，所以，得，故，

取中點，連接,可知,因此,

綜上可知為二面角的平面角.

可知，

故,所以二面角等于.21.（2013?烏魯木齊一模）選修4﹣4：坐標系與參數方程將圓x2+y2=4上各點的縱坐標壓縮至原來的，所得曲線記作C；將直線3x﹣2y﹣8=0繞原點逆時針旋轉90°所得直線記作l．（I）求直線l與曲線C的方程；（II）求C上的點到直線l的最大距離．參考答案：考點： 點、線、面間的距離計算．

專題： 轉化思想；圓錐曲線中的最值與范圍問題；空間位置關系與距離．分析： （I）設曲線C上任一點為（x，y），則（x，2y）在圓x2+y2=4上，代入即可求得曲線C的方程，寫出直線3x﹣2y﹣8=0的極坐標方程，記作l0，設直線l上任一點為（ρ，θ），則點（ρ，θ﹣90°）在l0上，代入化簡，再轉化為普通方程即可；（II）設曲線C上任一點為M（2cosψ，sinψ），到直線l的距離為d=，利用三角知識化為即可求得其最大值；解答： （Ⅰ）設曲線C上任一點為（x，y），則（x，2y）在圓x2+y2=4上，于是x2+（2y）2=4，即．直線3x﹣2y﹣8=0的極坐標方程為3ρcosθ﹣2ρsinθ﹣8=0，將其記作l0，設直線l上任一點為（ρ，θ），則點（ρ，θ﹣90°）在l0上，于是3ρcos（θ﹣90°）﹣2ρsin（θ﹣90°）﹣8=0，即：3ρsinθ+2ρcosθ﹣8=0，故直線l的方程為2x+3y﹣8=0；（Ⅱ）設曲線C上任一點為M（2cosψ，sinψ），它到直線l的距離為d==，其中ψ0滿足：cosψ0=，sinψ0=．∴當ψ﹣ψ0=π時，dmax=．點評： 本題考查直線、橢圓的極坐標方程，考查直線與圓錐曲線上點的距離問題，考查學生對問題的轉化能力．22.(本題滿分18分)設函數f(x)=ax+bx+1（a,b為實數）,F(x)=（1）若f(-1)=0且對任意實數x均有f(x)成立，求F(x)表達式。（2）在（1）的條件下,當x時,g(x)=f(x)-kx是單調函數,求實數k的取值范圍。（3）（理）設m>0,n<0且m+n>0,a>0且f(x)為偶函數，求證：F(m)+F(n)>0。參考答案：（1）f(-1)=0∴由f(x)0恒成立知△=b-4a=(a+1)-4a=(a-1)0∴a=1從而f(x)=x+2x+1

∴F(x)=，（