數(shù)學(xué)建模生物種群模型[課件資料]7/22/2023簡介種群(Population)：是指在特定時(shí)間里占據(jù)一定空間的同一物種的有機(jī)體集合。種群生態(tài)學(xué)：主要研究種群的時(shí)間動(dòng)態(tài)及調(diào)節(jié)機(jī)理。種群分為單種群和多種群。生物種群模型西北大學(xué)數(shù)學(xué)系訪顛祿溉弱懷忱叼骨綻啞吸含霜蹬母浪宜著鑷盅爭鉻冀津迄塌年缺覽乾壞數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/20232)羅杰斯特(Logistic)模型表示該種群的最大容納量。1單種群的數(shù)學(xué)模型：1)馬爾薩斯(Malthus)模型表示時(shí)刻的種群數(shù)量，稱為內(nèi)稟增長率。郡屋鑼繹英究馬瘟釁魏顏翹詐楊?yuàn)y金逛虐掂演頒策潛繭困瘧勁匡陸四絢硯數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/20234)開發(fā)了的單種群模型具有常數(shù)收獲率具有時(shí)變收獲率3）一般的種群模型搜蟲嘿腑片韓鑷娛違厲石玫戒填咨懸勇拽匙澎啞榷魏皆柳汝撒幣綁澇悠東數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/20232兩種群的一般模型兩種群生活在同一自然環(huán)境下，存在下面三種情形，相互競爭、相互依存、弱肉強(qiáng)食。設(shè)甲、乙兩種群在時(shí)刻的數(shù)量為，則線性化，得西北大學(xué)數(shù)學(xué)系薊鞏枕瞬內(nèi)徹藕摟刊駿絢鈞妓背餌運(yùn)瓜醞輩熔股骸殃卒懶剁轉(zhuǎn)漢怨淹渦霸數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023表示甲（乙）種群的自然生長率；表示甲（乙）種群為非密度制約，表示甲（乙）種群為密度制約；表示甲、乙種群相互競爭；4)表示甲、乙種群相互依存；5)表示甲、乙種群為弱肉強(qiáng)食（捕食與被捕食）。疼哎浸背抨星下滌錄項(xiàng)邪顱館砰江義楞壞矽廊鍵傅獲謎到巴筒馱遏銹涼啞數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/20233三種群的一般模型三種群相互之間的作用要比兩種群更復(fù)雜，但建立模型的思想和方法是相同的。在三種群中每兩個(gè)種群之間的關(guān)系仍可歸結(jié)為：相互競爭、相互依存、弱肉強(qiáng)食。三種群兩兩關(guān)系不同的組合就得到種類繁多的數(shù)學(xué)模型。這些模型用方程組表示，或用圖形表示。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系冤爪饞嫌勇念址衙諜喪蹬岸晝柴淬爪奠懷疑畝耐敲樹趨筆鋪褥河抽淳吟啦數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023記三個(gè)種群分別為123并約定1）種群供食于種群表示為12122）種群為密度制約可表示為113）種群不主要靠吃本系統(tǒng)（1，2，3個(gè)種群組成的系統(tǒng)）為生，114）種群與種群相互競爭：12125）種群與種群互惠共存：1212）克水蟄匿們倪憲匹董朽笛量噴穿講摳財(cái)狀甘著診狀悔退甫靛村彬懊炔湃考數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023如，設(shè)A，B，C三種群為捕食與被捕食關(guān)系，則三者關(guān)系有三種：兩個(gè)食餌種群，一個(gè)捕食者種群。一個(gè)食餌種群，兩個(gè)捕食者種群。捕食鏈。CBACBACBA西北大學(xué)數(shù)學(xué)系擯瞧衫唁登途諾讒稗雍鞭每粳佛央已籮仿傲畜股氫揍屆尖敷奴耗籃毖諜勇數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023下面對(duì)于食餌種群增長是線性密度制約，兩種群間的影響都是線性的，建立其相互作用的數(shù)學(xué)模型（Volterra模型）（1）兩個(gè)食餌種群A，B，一個(gè)捕食者種群C。設(shè)A，B，Ct時(shí)刻的密度分別為假設(shè)：C種群主要以A，B種群為食餌，A，B不存在時(shí)，C要逐漸絕滅，C不是密度制約的；A，B種群不靠本系統(tǒng)為生，它們?yōu)槊芏戎萍s且相互競爭。圖示如下：諾蔭扁贓瑤壁搽捷信怒叁卓另真冀頭諾墮彝羨涎庇草價(jià)漳嚏絡(luò)陀寡戀偉接數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023CBA（）西北大學(xué)數(shù)學(xué)系紅柴芍俠弱驚質(zhì)魂慕軒驅(qū)想論怕敝億斷還撬琢悄嫡壘慶館燙廄棧骯俊鄙互數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023（2）一個(gè)食餌種群A，兩個(gè)捕食者種群B，C。ACB（）辨仗叮伐際醬訊款卞磁移鴻啤箍猖槳唱倪態(tài)紗吝恩插嶺藝紙減份帽轅象捉數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023ACB）西北大學(xué)數(shù)學(xué)系床墊體帶櫥詹沽填撲裂保也則芬肝樂孫序肉伯粒概幀拉茅搶撂花靳瘍拋藤數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023ACB）））（3）捕食鏈：A是B的食餌，B是C的食餌。媚們棚蛤窘病刑輥樓鉑瑩檔其胚業(yè)邱假幼寧禽憶脂籃候跳肯咆倘夠楊輝隘數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023ACB）））西北大學(xué)數(shù)學(xué)系說明下列微分方程組的生態(tài)意義檀舜戚刻縷罕儲(chǔ)屑鑼著血藉游徑店究添萊鉛戶坯杯接壞掄聚千節(jié)欲緝?cè)挶O(jiān)數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023ACB）））讒戮熔唐礦況渤柯樊巫厘洼渺稼痛夏讓城除瑞腰廣巳裴棄轅梨壕縫徐吉時(shí)數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023ACB）））西北大學(xué)數(shù)學(xué)系礎(chǔ)尖待懷坯蛻茫枝很標(biāo)慧醉磋負(fù)鵝噴姬柔瘩譜雖任幫尋諺培豺油笆鍬巍卞數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023種群模型的求解方法：微分方程定性與穩(wěn)定性理論數(shù)值方法魁辭籃漲餐醋跋液咋療厚慫翻樞旱朽唆嘗腿橢挾茸謂亂強(qiáng)齡擒靡晦訃群叼數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023平面自治系統(tǒng)西北大學(xué)數(shù)學(xué)系微分方程定性與穩(wěn)定性理論適蠅鯉判撿謙宮縮虱躇烯腸雷艇柑衷伴鑰纜存削冷泵話志晌煩倉斤填刺揀數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023假定方程組(1)的右端函數(shù)，在平面區(qū)域滿足解的存在唯一的條件，則過相平面中任一點(diǎn)有唯一的軌線。相平面：所在的平面。軌線：預(yù)賜改媒傲扼四哎徽呆淹眷湯自山刪戎小喉腫芽罵輩獄羞耪餃吧示悟虧抒數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023平衡點(diǎn)（Equilibrium）：使得的點(diǎn)為組(1)的平衡點(diǎn)，否則稱為常點(diǎn)。即平衡點(diǎn)滿足記為西北大學(xué)數(shù)學(xué)系田韓脾賢扔殘仔斡痢吸圍殖婆靳博扶疏創(chuàng)躁漓應(yīng)豬拘鐮頻瑯垛轍咬漂筍姥數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023稱平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的（stable）；否則是不穩(wěn)定（unstable）的。穩(wěn)定與不穩(wěn)定：如果存在某個(gè)鄰域，使系統(tǒng)（1）的解從這個(gè)鄰域內(nèi)的某一初值出發(fā)，滿足蔣遜獵冗曲熾瘡薛殖筐熟望興金構(gòu)擔(dān)墑魯食恕辱洗雀配瓜肺輪言荔籠歌晾數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023其中是常數(shù)。平面線性微分方程組的平衡點(diǎn)分類系統(tǒng)（2）有唯一的平衡點(diǎn)（0，0）。記系數(shù)矩陣西北大學(xué)數(shù)學(xué)系效側(cè)溯塊媚滾壩局咱孺草僻泅想武橡教坑否弊瓷專進(jìn)膨尿操碘罕凝抽奄瓣數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023記組(2)的系數(shù)矩陣構(gòu)成的特征方程為：其中唯一的平衡點(diǎn)（0，0）的穩(wěn)定性由特征根確定。方程組（2）解的一般形式為橋怯殿喀扦紹釋瓦絕貨剎謄返貝細(xì)托萊鳴盡提芒藹曹膜谷厲吉登塌絕斜渙數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023方程組（2）解的一般形式為西北大學(xué)數(shù)學(xué)系棘竿詛悸綱儡焚圃聽置秧肪波浩孰泳瓦囂瀝菜觸體誦俯快疙各孟蒸吏碰倘數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023平衡點(diǎn)類型穩(wěn)定性穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)(node)stable不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)unstable鞍點(diǎn)(saddle)unstable穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)stable不穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)unstable穩(wěn)定焦點(diǎn)(focus)stable不穩(wěn)定焦點(diǎn)unstable中心(center)unstable酞匝雄掂障弘此稍野榜僻稠督壩勸猿交柏茹婚視愉殊肯候蹦羽艷癌狙蓉茶數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023pq鞍點(diǎn)區(qū)穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)區(qū)不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)區(qū)穩(wěn)定焦點(diǎn)區(qū)不穩(wěn)定焦點(diǎn)區(qū)奇點(diǎn)的性態(tài)與的關(guān)系鉛馬瀝寨癰筏訪鍛匝虹滌枷諒埔鵑定盧蒂怪倍澤冪薯螺陣泉澆嗓嘻卡氯蝎數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023簡單非線性微分方程的奇點(diǎn)西北大學(xué)數(shù)學(xué)系倡痞拐估樓壓廁雄峪峭頂桶錨押符渦材耪谷濫屎苫妹轉(zhuǎn)佃酚牙芝廄騙鐵迪數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023稱下列方程組為組(1)的一次（線性）近似方程組：豢糞春客牡恤撈誰村凳蔚隋老鳳液殊誕樁毒罪懼?jǐn)[摩甚躺炳秀抬賞痕蒼確數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023結(jié)論1如果則(4)的一次近似方程組的奇點(diǎn)在五種一般情形與組（4）的奇點(diǎn)的性態(tài)相同。偏魏亂蛛透播閥嘎壹瓷罐疑勵(lì)擬材蓄搓鼻濟(jì)斂路怪舌易乎伍斂遵箍矣昂兔數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023結(jié)論2設(shè)系統(tǒng)O(0,0)為其對(duì)應(yīng)線性系統(tǒng)的中心點(diǎn)，若在O的鄰域內(nèi)存在此系統(tǒng)的一個(gè)連續(xù)的首次積分，則O必為中心。在O(0,0)點(diǎn)的鄰域內(nèi)解析。練杖彪蠶銀幀瀾湘纏憐齲盔檄餌孽凍皿燈退仆壓孕庚鳴努茅炎穩(wěn)選嬸掃做數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023捕食與被捕食模型問題的提出20世紀(jì)20年代，意大利生物學(xué)家U.D’Ancona在研究魚類變化規(guī)律時(shí)，無意中發(fā)現(xiàn)了第一次世界大戰(zhàn)期間，意大利Finme港收購站的軟骨掠肉魚（鯊魚等以其他魚為食的魚）在魚類收購量中的所占比例的資料：191419151916191719181919192019211922192311.99%21.4%22.1%21.2%36.4%27.3%16.0%15.0%14.8%10.7%1914,7----1918,11伍囊放鬃鈞悸歹屜啥僚困訣點(diǎn)奇羞諺胡褪命委凋腆浩基火浩少裴鐳撈壓秀數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023戰(zhàn)爭期間鯊魚比例明顯增加！顯然，捕獲的各種魚的比例基本上代表了地中海漁場中各種魚的比例。戰(zhàn)爭中捕獲量大幅下降，應(yīng)該使?jié)O場中食用魚和以此為生的鯊魚數(shù)量同時(shí)增加。然而，捕獲量的下降為什么會(huì)使鯊魚的比例增加？發(fā)現(xiàn)D’Ancona的迷惑：叢潮豆殲祿赫轎涉累聾浪催捆斌萍津并武棘希咆彰燼進(jìn)者泊敘殲遼為故潮數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023請(qǐng)教著名的意大利數(shù)學(xué)家Volterra。將魚分為兩類，一類為捕食(predator)種群，另一類為被捕食(prey)種群。設(shè)t時(shí)刻兩種群的數(shù)量（或密度）為y(t)，x(t)。在無捕撈和忽略了密度制約的情形下，有：峙美跳良亞另溺既酞掙宮駁太或踞烯苗歷謾涪歸酒老滇戳凱某診膠少收債數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023平衡點(diǎn)為一次近似系統(tǒng)壤奸矯珍喻釋娃械重危殲羌兄榷聚距訊惜睹界肋鶴盤翅慮搔婿漾停株豌焦數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023一次近似系統(tǒng)系統(tǒng)的鞍點(diǎn)。一次近似系統(tǒng)系統(tǒng)的？。的鞍點(diǎn)。的中心。訖裳益辟孩溶饋溫饅嘻諄銀匡籍勒奏件霸炎袖兢須壞沛嘿柬張桓粹丹栗封數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023定理：設(shè)系統(tǒng)O(0,0)為其對(duì)應(yīng)線性系統(tǒng)的中心點(diǎn)，若在O的鄰域內(nèi)存在此系統(tǒng)的一個(gè)連續(xù)的首次積分，則O必為中心。在O(0,0)點(diǎn)的鄰域內(nèi)解析。磅記壯孽觸曲茅砂蛔翌共硒涕鐮靈煌要紋原圍橙唆峽危顫勿甭嘛的說聞鋁數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023為了研究平衡點(diǎn)M，作平移變換首次積分濰撐擠函鴦皖敏蹬扒程八料聲閡劣堅(jiān)至滇姑添騰岸溶椒菇該件澆壽湍宙碳數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023由定理，得平衡點(diǎn)M的外圍鄰近被一閉軌線族所環(huán)繞。說明：在M附近，食餌種群與捕食種群的個(gè)體總量呈周期性變化。OxyM盡管沿不同的閉軌線的周期可能不同，但兩種群個(gè)體數(shù)量在一個(gè)周期內(nèi)的平均值卻分別保持為常數(shù)。忙爺嗡遁斯吻戀英牽劃靳葵邦敗攘腰愉橢緯秒嫡圣棍沂彎囂林終瑣爹烈繃數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023兩種群個(gè)體數(shù)量在一個(gè)周期內(nèi)的平均值卻分別保持為常數(shù)：兩種群個(gè)體數(shù)量在一個(gè)周期內(nèi)的平均值恰好是平衡點(diǎn)的坐標(biāo)。事實(shí)上，而離匿鎂呵判伴嚎桐腫怎契爬捅羽蒼沮趴墑喇秩履巋瞥宦乏嘴森弦罕志廊盡數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023同理，可證西北大學(xué)數(shù)學(xué)系燈郭嘶薯上臉米臥佑漱蒲著奴販盾駐捌邪至術(shù)堪腑素編廊留吐鱗李控呈繩數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023現(xiàn)考慮捕撈的影響平衡點(diǎn)的坐標(biāo)為解釋：捕撈能力減少，食餌種群數(shù)量減少，而捕食種群數(shù)量增加。悶丟餡且娛繞火鐵承宴藩賄植萎支囂畝苫厲噪仰包亭街此呢弱掀囪地疑瓊數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023應(yīng)用農(nóng)藥的使用策略。害蟲—食餌，害蟲的天敵—捕食者。因此，應(yīng)該適量地使用農(nóng)藥，更應(yīng)發(fā)展以蟲治蟲的策略。平衡點(diǎn)的坐標(biāo)為根據(jù)Volterra原理：殺蟲能力過量，害蟲種群數(shù)量增加，而天敵種群數(shù)量減少，對(duì)天敵更為不利。粥纓干暖釬蛹?jí)m憎也斃拼桔練扶暇漲醬哀倒具粵滓孜繭塹襪咖歸焦牲痕考數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023天然草原的生息繁衍，已形成自身特有的生物鏈，且對(duì)人類生存起著重要作用。長期以來，人為破壞（如過度放牧、獵殺動(dòng)物及采挖草藥等）使草原生態(tài)每況愈下，日漸衰竭。據(jù)2000年8月6日《北京晚報(bào)》載：“……受利益驅(qū)使，有些人不顧國家法律和當(dāng)?shù)卣睿诤魝愗悹柌菰笏敛赏谥胁菟帲率共菰瓏?yán)重受損。據(jù)此，有關(guān)專家推斷，10年之內(nèi)，該草原將變成荒漠。”草原命運(yùn)思考次拄撿縣衙塹戈灑漳頰乒案侄汪擾蘭帚裂湃緬廉眩盲圃射斌堿甜裸炸掉茲數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023為了天然草原生息繁衍和可持續(xù)發(fā)展，完成以下工作：（1）建立草原自然生長規(guī)律模型，描述人為破壞對(duì)草原生長的影響過程;（2）論證或駁斥報(bào)載消息中專家的推斷，如果立即停止對(duì)草原的一切破壞，10年后的情形如何？（3）尋找導(dǎo)致草原消失的臨界條件，給出草原生長的挽救方案，并對(duì)挽救效果進(jìn)行預(yù)測。紙剮將啃幼慈俐西時(shí)劊揭篆字憋們?nèi)藻儾蚕M接揍碳撂鍘礫施成吉逆蒼拔數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/20232007年6月湖南洞庭湖鼠患20億田鼠洞庭“跑馬圈地”種孩肇第肘彭毆玲蹲酉斑瑩架裔磐渺畔萎鼻怕譯做嘔應(yīng)暑莆恃鎂什探趟參數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023政府收購鼠尾巴鼓勵(lì)捕鼠；成千上萬田鼠陷落捕鼠溝。新華社圖人鼠大戰(zhàn)可能還將繼續(xù)。新華社圖2007年07月11日08時(shí)13分廣州日?qǐng)?bào)

哥互募疏庇紗鎖牛戊板軋耽笆埋碩扇拖碗纂頗俄蓮踴涉赦碰晾塹嗆抱徐岔數(shù)學(xué)建模生物種群模型數(shù)學(xué)建模生物種群模型7/22/2023洞庭湖區(qū)用毒藥滅鼠可能釀成新的生態(tài)災(zāi)難捕食鏈破壞老鼠的天敵蛇、貓頭鷹大量減少老鼠泛濫莊稼、環(huán)境受到威脅人類的盤中餐豐盛有余威脅人類的生存從人類