數(shù)學(xué)建模排隊(duì)論第1頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排隊(duì)論課件2現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)例：進(jìn)餐館就餐到圖書(shū)館借書(shū)去售票處購(gòu)票在車站等車等等第2頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排隊(duì)論課件3一、排隊(duì)系統(tǒng)的特征及排隊(duì)論：

顧客為了得到某中服務(wù)而到達(dá)系統(tǒng)，若不能獲得服務(wù)而允許排隊(duì)等待，則加入等待隊(duì)伍，待獲得服務(wù)后離開(kāi)系統(tǒng)。第3頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排隊(duì)論課件4排隊(duì)的形式：顧客到達(dá)隊(duì)列服務(wù)臺(tái)服務(wù)完成后離去服務(wù)臺(tái)1服務(wù)臺(tái)2服務(wù)臺(tái)s顧客到達(dá)隊(duì)列服務(wù)完成后離去顧客到達(dá)隊(duì)列1隊(duì)列2隊(duì)列s服務(wù)臺(tái)1服務(wù)臺(tái)2服務(wù)臺(tái)s服務(wù)完成后離去服務(wù)完成后離去服務(wù)完成后離去第4頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排隊(duì)論課件5隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)：輸入來(lái)源隊(duì)列服務(wù)機(jī)構(gòu)排隊(duì)系統(tǒng)顧客服務(wù)完離開(kāi)第5頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排隊(duì)論課件6二、排對(duì)系統(tǒng)的描述系統(tǒng)由三個(gè)部分組成：輸入過(guò)程排隊(duì)和排隊(duì)規(guī)則服務(wù)機(jī)制第6頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排隊(duì)論課件71、輸入過(guò)程（1）顧客總數(shù)量：有限或者無(wú)限（2）到達(dá)方式：?jiǎn)蝹€(gè)到達(dá)或成批到達(dá)（3）到達(dá)方式：顧客相繼到達(dá)時(shí)間間隔的分布，這是刻畫(huà)輸入過(guò)程的最主要內(nèi)容。令表示第n個(gè)顧客到達(dá)的時(shí)刻，則有：記假設(shè)：是獨(dú)立同分布的，并記其分布函數(shù)為關(guān)于的分布，排隊(duì)論中經(jīng)常用到以下幾種：第7頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排隊(duì)論課件8①定長(zhǎng)分布（D）：顧客相繼到達(dá)時(shí)間間隔為確定的常數(shù)，如產(chǎn)品通過(guò)傳輸帶進(jìn)入包裝箱②最簡(jiǎn)流（或稱poisson分布）（M）：顧客相繼到達(dá)時(shí)間間隔為獨(dú)立，同負(fù)指數(shù)分布，其密度函數(shù)為：第8頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排隊(duì)論課件92、排隊(duì)及排隊(duì)規(guī)則（1）排隊(duì)分為有限和無(wú)限排隊(duì)①損失制排隊(duì)系統(tǒng)：排隊(duì)空間為零的系統(tǒng)②混合制排隊(duì)系統(tǒng)：等待制和損失制的結(jié)合，是指允許排隊(duì)，但是不允許隊(duì)列無(wú)限長(zhǎng)下去，具體的又分三種情況：（ⅰ）隊(duì)長(zhǎng)有限，即等待空間有限（ⅱ）等待時(shí)間有限，即顧客在系統(tǒng)中等待時(shí)間不超過(guò)某一給定的長(zhǎng)度T（ⅲ）逗留時(shí)間（等待時(shí)間和服務(wù)時(shí)間之和）（系統(tǒng)只能容納K個(gè)顧客）第9頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排隊(duì)論課件10不難注意到損失制和等待制可以看成是混合制的特殊情況如記為系統(tǒng)中服務(wù)臺(tái)的個(gè)數(shù)，當(dāng)時(shí)，混合制即為損失制當(dāng)時(shí)，即成為等待制。(2)排隊(duì)規(guī)則：先來(lái)先服務(wù)（FCFS）第10頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排隊(duì)論課件113、服務(wù)機(jī)制主要包括：服務(wù)員的數(shù)量及其連接形式（串聯(lián)或并聯(lián)）；顧客是單個(gè)還是成批接受服務(wù)的；服務(wù)時(shí)間的分布。記某服務(wù)臺(tái)的服務(wù)時(shí)間為V，其分布函數(shù)為B(t),密度函數(shù)為b(t),則常見(jiàn)的分布有：①定長(zhǎng)分布（D）：每位顧客接受的服務(wù)的時(shí)間是常數(shù)；②負(fù)指數(shù)分布（M）：每位顧客接受服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，具有相同的負(fù)指數(shù)分布：第11頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排隊(duì)論課件12其中為一常數(shù)。③k階愛(ài)爾朗分布密度函數(shù)為第12頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排隊(duì)論課件13三、排隊(duì)系統(tǒng)的符號(hào)表示為了方便對(duì)眾多的模型的描述，D.G.Kendall提出了一種目前在排隊(duì)論中被廣泛的使用的“Kendall記號(hào)”，一般形式為：X/Y/Z/A/B/C其中X表示顧客相繼到達(dá)時(shí)間間隔的分布，Y表示服務(wù)時(shí)間分布，Z表示服務(wù)臺(tái)的個(gè)數(shù)；A表示系統(tǒng)的容納，即可容納最多顧客數(shù)B表示顧客源的數(shù)目；C表示服務(wù)規(guī)則；第13頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排隊(duì)論課件14表示了一個(gè)顧客的到達(dá)時(shí)間間隔服從相同的負(fù)指數(shù)分布，服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布、單個(gè)服務(wù)臺(tái)、系統(tǒng)容量為無(wú)限、顧客量無(wú)限、排隊(duì)規(guī)則為先來(lái)先服務(wù)的排隊(duì)模型。第14頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排隊(duì)論課件15四、排隊(duì)系統(tǒng)的主要數(shù)量指標(biāo)和記號(hào)1、隊(duì)長(zhǎng)和排隊(duì)長(zhǎng)2、等待時(shí)間和逗留時(shí)間3、忙期和閑期第15頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排隊(duì)論課件16下面給出上述一些主要數(shù)量指標(biāo)的常用記法：時(shí)刻t系統(tǒng)中的顧客數(shù)，即隊(duì)長(zhǎng)時(shí)刻t系統(tǒng)中排隊(duì)的顧客數(shù)，即排隊(duì)長(zhǎng)時(shí)刻t到達(dá)系統(tǒng)的顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間時(shí)刻t到達(dá)系統(tǒng)的顧客在系統(tǒng)中的等待時(shí)間上述數(shù)量指標(biāo)與時(shí)間有關(guān)的隨機(jī)變量，求它們的瞬時(shí)分布非常困難。第16頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排隊(duì)論課件17討論系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)下的性質(zhì)：記為時(shí)刻t時(shí)系統(tǒng)處于狀態(tài)n概率，即系統(tǒng)的瞬時(shí)分布根據(jù)前面的約定，我們將主要分析系統(tǒng)的平衡分布，即當(dāng)系統(tǒng)到達(dá)統(tǒng)計(jì)平衡時(shí)時(shí)所處狀態(tài)n概率，記為又記：系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)隊(duì)長(zhǎng)，其均值為L(zhǎng)，稱為平均隊(duì)長(zhǎng)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)排隊(duì)長(zhǎng)，其均值為稱為平均排隊(duì)長(zhǎng)；系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)顧客的逗留時(shí)間，均值為稱為逗留時(shí)間；第17頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排隊(duì)論課件18系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)顧客的等待時(shí)間，其均值記為稱為平均等待時(shí)間；當(dāng)系統(tǒng)處于狀態(tài)n時(shí)，新來(lái)顧客的平均到達(dá)率（單位時(shí)間內(nèi)來(lái)到系統(tǒng)的平均顧客數(shù)）當(dāng)系統(tǒng)處于狀態(tài)n時(shí)，整個(gè)系統(tǒng)的平均服務(wù)率（單位時(shí)間內(nèi)完成的顧客數(shù)）當(dāng)為常數(shù)時(shí)，記為當(dāng)每個(gè)服務(wù)臺(tái)的平均服務(wù)率為常數(shù)時(shí)，記為當(dāng)時(shí)，有：第18頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排隊(duì)論課件191/ 期望到達(dá)間隔時(shí)間1/期望服務(wù)時(shí)間服務(wù)強(qiáng)度，或稱使用因子,/(s)五、排隊(duì)論原理第19頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排隊(duì)論課件20為了使系統(tǒng)中各個(gè)狀態(tài)保持平衡，得到下列方程：

對(duì)狀態(tài)對(duì)狀態(tài)對(duì)狀態(tài)記則平穩(wěn)狀態(tài)分布：第20頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排隊(duì)論課件21則概率分布的要求：有：于是：第21頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排隊(duì)論課件22六、M/M/S等待制排隊(duì)模型1、單服務(wù)臺(tái)模型①隊(duì)長(zhǎng)的分布記為系統(tǒng)到達(dá)平衡狀態(tài)后隊(duì)長(zhǎng)N的概率分布，注意到記并設(shè)則：第22頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排隊(duì)論課件23因此：其中：第23頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排隊(duì)論課件24②幾個(gè)主要數(shù)量指標(biāo)平均隊(duì)長(zhǎng)：平均排隊(duì)長(zhǎng)：第24頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排隊(duì)論課件25的負(fù)指數(shù)分布，關(guān)于顧客在系統(tǒng)中的逗留時(shí)間T，說(shuō)明服從參數(shù)因此，平均逗留時(shí)間W為：顧客在系統(tǒng)中逗留時(shí)間為等待時(shí)間和接受服務(wù)時(shí)間之和：第25頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排隊(duì)論課件26其中V為服務(wù)時(shí)間，故由：可得平均等待時(shí)間為：平均隊(duì)長(zhǎng)與平均逗留時(shí)間具有的關(guān)系：平均排隊(duì)長(zhǎng)與平均等待時(shí)間的關(guān)系：稱為little公式第26頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排隊(duì)論課件272、多服務(wù)臺(tái)模型記為系統(tǒng)到達(dá)平衡狀態(tài)后隊(duì)長(zhǎng)N的概率分布，注意到對(duì)個(gè)數(shù)s個(gè)服務(wù)臺(tái)系統(tǒng)，有：記并設(shè)則：第27頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排隊(duì)論課件28其中：第28頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排隊(duì)論課件29幾個(gè)主要數(shù)量指標(biāo)平均排隊(duì)長(zhǎng)：平均隊(duì)長(zhǎng)：Little公式：第29頁(yè)，課件共31頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月排隊(duì)論課件30其他模型M/M/c/K/K顧客來(lái)源是有限的服務(wù)系統(tǒng).例如：

一個(gè)飯店有X張桌子和Y個(gè)服務(wù)生服務(wù)來(lái)源有限的顧客.M/D/1服務(wù)時(shí)間不變的服務(wù)系統(tǒng).D/M/1確定性到達(dá)模式,及指數(shù)分布服務(wù)時(shí)間.