數學電子技術第二章邏輯代數基礎第1頁，課件共71頁，創作于2023年2月事物往往存在兩種對立的狀態，在邏輯代數中可以抽象地表示為0和1，稱為邏輯0狀態和邏輯1狀態。邏輯代數是按一定的邏輯關系進行運算的代數，是分析和設計數字電路的數學工具。在邏輯代數，只有０和１兩種邏輯值，有與、或、非三種基本邏輯運算，還有與或、與非、與或非、異或幾種導出邏輯運算。

邏輯代數中的變量稱為邏輯變量，用大寫字母表示。邏輯變量的取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1，0和1稱為邏輯常量，并不表示數量的大小，而是表示兩種對立的邏輯狀態。邏輯是指事物的因果關系，或者說條件和結果的關系，這些因果關系可以用邏輯運算來表示，也就是用邏輯代數來描述。2.1概述第2頁，課件共71頁，創作于2023年2月2.2.1基本邏輯運算與邏輯舉例：設1表示開關閉合 或燈亮；0表示開關不閉合 或燈不亮，

2.2基本邏輯運算與運算——只有當決定一件事情的條件全部具備之后，這件事情才會發生。我們把這種因果關系稱為與邏輯。1．與運算若用邏輯表達式來描述，則可寫為則得到真值表C,也稱作邏輯狀態表功能表第3頁，課件共71頁，創作于2023年2月2．或運算——當決定一件事情的幾個條件中，只要有一個或一個以上條件具備，這件事情就發生。我們把這種因果關系稱為或邏輯。

或邏輯舉例：

若用邏輯表達式來描述，則可寫為：Y＝A+B

第4頁，課件共71頁，創作于2023年2月3．非運算——某事情發生與否，僅取決于一個條件，而且是對該條件的否定。即條件具備時事情不發生；條件不具備時事情才發生。非邏輯舉例：

若用邏輯表達式來描述，則可寫為：

邏輯符號第5頁，課件共71頁，創作于2023年2月二、其他常用邏輯運算2．或非——由或運算和非運算組合而成。

1．與非——由與運算和非運算組合而成。第6頁，課件共71頁，創作于2023年2月3.與或非邏輯關系

與或非邏輯關系是與關系、或關系和非關系的合成，如圖所示。與或非邏輯關系第7頁，課件共71頁，創作于2023年2月

異或是一種二變量邏輯運算，當兩個變量取值相同時，邏輯函數值為0；當兩個變量取值不同時，邏輯函數值為1。異或的邏輯表達式為：4．異或第8頁，課件共71頁，創作于2023年2月(a)10010AB0010111Y5．同或同或是一種二變量邏輯運算，當兩個變量取值相同時，邏輯函數值為1；當兩個變量取值不同時，邏輯函數值為0。同或的邏輯表達式為：Y=A⊙B第9頁，課件共71頁，創作于2023年2月

1.常量間的運算(1)0·0=01·0=01·1=1(2)0+0=01+0=11+1=1(3)

=1=0(4)若A0,則A=1；若A1,則A=0

2.3邏輯代數的基本定律及常用公式2.3.1邏輯代數的基本定律第10頁，課件共71頁，創作于2023年2月

2.基本定律

(1)交換律：A·B=B·A

A+B=B+A(2)結合律：ABC=A(BC)=(AB)C

A+B+C=A+(B+C)=(A+B)+C

(3)分配律：A(B+C)=AB+AC

A+BC=(A+B)(A+C)(4)0、1律：0·A=01·A=A

1+A=10+A=A

(5)互補律：A·=0A+=1(6)重疊律：A·A=AA+A=A(7)還原律：=A(8)反演律(摩根定律)：第11頁，課件共71頁，創作于2023年2月(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC分配率A(B+C)=AB+AC=A+AB+AC+BC等冪率AA=A=A(1+B+C)+BC分配率A(B+C)=AB+AC=A+BC0-1率A+1=1證明分配率：A+BC=(A+B)(A+C)證明：第12頁，課件共71頁，創作于2023年2月2.3.2常用公式分配率A+BC=(A+B)(A+C)互補率A+A=10-1率A·1=1第13頁，課件共71頁，創作于2023年2月互補率A+A=1分配率A(B+C)=AB+AC0-1率A+1=1第14頁，課件共71頁，創作于2023年2月2.3.3邏輯代數的基本規則*邏輯表達式：由邏輯變量和與、或、非3種運算符連接起來所構成的式子。在邏輯表達式中，等式右邊的字母A、B、C、D等稱為輸入邏輯變量，等式左邊的字母Y稱為輸出邏輯變量，字母上面沒有非運算符的叫做原變量，有非運算符的叫做反變量。*邏輯函數：如果對應于輸入邏輯變量A、B、C、…的每一組確定值，輸出邏輯變量Y就有唯一確定的值，則稱Y是A、B、C、…的邏輯函數。記為

注意：與普通代數不同的是，在邏輯代數中，不管是變量還是函數，其取值都只能是0或1，并且這里的0和1只表示兩種不同的狀態，沒有數量的含義。第15頁，課件共71頁，創作于2023年2月*邏輯函數相等的概念：設有兩個邏輯函數它們的變量都是A、B、C、…，如果對應于變量A、B、C、…的任何一組變量取值，Y1和Y2的值都相同，則稱Y1和Y2是相等的，記為Y1=Y2。若兩個邏輯函數相等，則它們的真值表一定相同；反之，若兩個函數的真值表完全相同，則這兩個函數一定相等。因此，要證明兩個邏輯函數是否相等，只要分別列出它們的真值表，看看它們的真值表是否相同即可。證明等式：第16頁，課件共71頁，創作于2023年2月例如，已知等式，用函數Y=AC代替等式中的A，根據代入規則，等式仍然成立，即有：2.3.3邏輯代數的基本規則（1）代入規則：任何一個含有變量A的等式，如果將所有出現A的位置都用同一個邏輯函數代替，則等式仍然成立。這個規則稱為代入規則。（2）反演規則：對于任何一個邏輯表達式Y，如果將表達式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，那么所得到的表達式就是函數Y的反函數Y（或稱補函數）。這個規則稱為反演規則。例如：第17頁，課件共71頁，創作于2023年2月（3）對偶規則：對于任何一個邏輯表達式Y，如果將表達式中的所有“·”換成“＋”，“＋”換成“·”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，而變量保持不變，則可得到的一個新的函數表達式Y＇，Y＇稱為函Y的對偶函數。這個規則稱為對偶規則。例如：對偶規則的意義在于：如果兩個函數相等，則它們的對偶函數也相等。利用對偶規則,可以使要證明及要記憶的公式數目減少一半。例如：

注意：在運用反演規則和對偶規則時，必須按照邏輯運算的優先順序進行：先算括號，接著與運算，然后或運算，最后非運算，否則容易出錯。第18頁，課件共71頁，創作于2023年2月2.4邏輯函數的建立及其表示方法一、邏輯函數的建立例1.6.1三個人表決一件事情，結果按“少數服從多數”的原則決定，試建立該邏輯函數。第三步：根據題義及上述規定列出函數的真值表如表。解第一步：設置自變量和因變量。第二步：狀態賦值。對于自變量A、B、C設：同意為邏輯“1”，不同意為邏輯“0”。對于因變量Y設：事情通過為邏輯“1”，沒通過為邏輯“0”。第19頁，課件共71頁，創作于2023年2月

一般地說，若輸入邏輯變量A、B、C…的取值確定以后，輸出邏輯變量Y的值也唯一地確定了，就稱L是A、B、C的邏輯函數，寫作：Y=f（A，B，C…）

邏輯函數與普通代數中的函數相比較，有兩個突出的特點：（1）邏輯變量和邏輯函數只能取兩個值0和1。（2）函數和變量之間的關系是由“與”、“或”、“非”三種基本運算決定的。第20頁，課件共71頁，創作于2023年2月二、邏輯函數的表示方法1、真值表真值表：是由變量的所有可能取值組合及其對應的函數值所構成的表格。真值表列寫方法：每一個變量均有0、1兩種取值，n個變量共有2i種不同的取值，將這2i種不同的取值按順序（一般按二進制遞增規律）排列起來，同時在相應位置上填入函數的值，便可得到邏輯函數的真值表。例如：當A=B=1、或則B=C=1時，函數Y=1；否則Y=0。第21頁，課件共71頁，創作于2023年2月2、邏輯表達式邏輯表達式：是由邏輯變量和與、或、非3種運算符連接起來所構成的式子。函數的標準與或表達式的列寫方法：將函數的真值表中那些使函數值為1的最小項相加，便得到函數的標準與或表達式。3、卡諾圖卡諾圖：是由表示變量的所有可能取值組合的小方格所構成的圖形。邏輯函數卡諾圖的填寫方法：在那些使函數值為1的變量取值組合所對應的小方格內填入1，其余的方格內填入0，便得到該函數的卡諾圖。第22頁，課件共71頁，創作于2023年2月4、邏輯圖邏輯圖：是由表示邏輯運算的邏輯符號所構成的圖形。Ｙ＝ＡＢ＋ＢＣＡＢＢＣ５、波形圖波形圖：是由輸入變量的所有可能取值組合的高、低電平及其對應的輸出函數值的高、低電平所構成的圖形。Ｙ＝ＡＢ＋ＢＣＡＢＣＹ００００００１００１０００１１１１０００１０１０１１０１１１１１００００Ｙ第23頁，課件共71頁，創作于2023年2月三、邏輯函數表示方法之間的轉換1、由真值表到邏輯圖的轉換真值表邏輯表達式或卡諾圖11最簡與或表達式化簡2或2第24頁，課件共71頁，創作于2023年2月&畫邏輯圖3&&≥1ABCA最簡與或表達式&CBBAACABACYACBBAACY&&&ABCABAC若用與非門實現，將最簡與或表達式變換乘最簡與非-與非表達式3第25頁，課件共71頁，創作于2023年2月2、由邏輯圖到真值表的轉換邏輯圖邏輯表達式11最簡與或表達式化簡2&A≥1CBBAACY≥1≥12從輸入到輸出逐級寫出第26頁，課件共71頁，創作于2023年2月最簡與或表達式3真值表3第27頁，課件共71頁，創作于2023年2月一、邏輯函數的最小項及其性質1、最小項：如果一個函數的某個乘積項包含了函數的全部變量，其中每個變量都以原變量或反變量的形式出現，且僅出現一次，則這個乘積項稱為該函數的一個標準積項，通常稱為最小項。3個變量A、B、C可組成8個最小項：2、最小項的表示方法：通常用符號mi來表示最小項。下標i的確定：把最小項中的原變量記為1，反變量記為0，當變量順序確定后，可以按順序排列成一個二進制數，則與這個二進制數相對應的十進制數，就是這個最小項的下標i。3個變量A、B、C的8個最小項可以分別表示為：四、邏輯函數的兩種標準形式第28頁，課件共71頁，創作于2023年2月第29頁，課件共71頁，創作于2023年2月3、最小項的性質：①任意一個最小項，只有一組變量取值使其值為1。③全部最小項的和必為1。ABCABC②任意兩個不同的最小項的乘積必為0。第30頁，課件共71頁，創作于2023年2月二、邏輯函數的最小項表達式

任何一個邏輯函數表達式都可以轉換為一組最小項和稱為最小項表達式，又稱標準與或表達式。

解：

解：

=m7+m6+m3+m1

［例］將下列邏輯函數轉換成最小項表達式：例：將以下邏輯函數轉換成最小項表達式：（１）利用摩根定律將邏輯函數式變換為與－或表達式第31頁，課件共71頁，創作于2023年2月（２）利用A+ā=1的形式作配項，將上式變成標準與－或表達式（３）利用A+A=A的形式合并相同的最小項。第32頁，課件共71頁，創作于2023年2月1．邏輯函數式的常見形式

一個邏輯函數的表達式不是唯一的，可以有多種形式，并且能互轉換。例如：2.5邏輯函數的公式化簡法其中，與—或表達式是邏輯函數的最基本表達形式。

2．邏輯函數的最簡“與—或表達式”的標準（1）與項最少，即表達式中“+”號最少。（2）每個與項中的變量數最少，即表達式中“·

”號最少。第33頁，課件共71頁，創作于2023年2月2.5.2邏輯函數的公式化簡法1、并項法邏輯函數的公式化簡法就是運用邏輯代數的基本公式、定理和規則來化簡邏輯函數。利用公式Ａ＋Ａ＝1，將兩項合并為一項，并消去一個變量。若兩個乘積項中分別包含同一個因子的原變量和反變量，而其他因子都相同時，則這兩項可以合并成一項，并消去互為反變量的因子。運用摩根定律運用分配律運用分配律第34頁，課件共71頁，創作于2023年2月2、吸收法如果乘積項是另外一個乘積項的因子，則這另外一個乘積項是多余的。運用摩根定律（１）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ，消去多余的項。（２）利用公式Ａ＋ＡＢ＝Ａ+Ｂ，消去多余的變量。

如果一個乘積項的反是另一個乘積項的因子，則這個因子是多余的。第35頁，課件共71頁，創作于2023年2月３、配項法（１）利用公式Ａ＝Ａ（Ｂ＋Ｂ），為某一項配上其所缺的變量，以便用其它方法進行化簡。（２）利用公式Ａ＋Ａ＝Ａ，為某項配上其所能合并的項。第36頁，課件共71頁，創作于2023年2月４、消去冗余項法利用冗余律ＡＢ＋ＡＣ＋ＢＣ＝ＡＢ＋ＡＣ，將冗余項ＢＣ消去。第37頁，課件共71頁，創作于2023年2月例：化簡函數解：①先求出Y的對偶函數Y＇，并對其進行化簡。②求Y＇的對偶函數，便得Ｙ的最簡或與表達式。第38頁，課件共71頁，創作于2023年2月

解：例化簡邏輯函數：

（利用）（利用A+AB=A）（利用

）再舉幾個例子：在化簡邏輯函數時，要靈活運用上述方法，才能將邏輯數化為最簡。第39頁，課件共71頁，創作于2023年2月

解：例化簡邏輯函數：（利用摩根定律）（利用）（配項法）（利用A+AB=A）（利用A+AB=A）（利用）第40頁，課件共71頁，創作于2023年2月

解法1：

解法2：例化簡邏輯函數：

由上例可知，邏輯函數的化簡結果不是唯一的。代數化簡法的優點是不受變量數目的限制。缺點是：沒有固定的步驟可循；需要熟練運用各種公式和定理；在化簡一些較為復雜的邏輯函數時還需要一定的技巧和經驗；有時很難判定化簡結果是否最簡。利用AB+āC+BC=AB+āC第41頁，課件共71頁，創作于2023年2月相鄰項是指兩個最小項只有一個因子互為反變量，其余因子均相同，又稱為邏輯相鄰項2.6邏輯函數的卡諾圖化簡法2.6.1用卡諾圖表示邏輯函數一、相鄰最小項二、卡諾圖的組成卡諾圖是將任意兩個邏輯上相鄰的最小項變成圖中幾何位置的相鄰，做到邏輯相鄰和幾何相鄰的一致。第42頁，課件共71頁，創作于2023年2月（2）三變量卡諾圖

（1）二變量卡諾圖BAB

BAAAB012310BA01第43頁，課件共71頁，創作于2023年2月（3）四變量卡諾圖仔細觀察可以發現，卡諾圖具有很強的相鄰性：（1）直觀相鄰性，只要小方格在幾何位置上相鄰（不管上下左右），它代表的最小項在邏輯上一定是相鄰的。（2）對邊相鄰性，即與中心軸對稱的左右兩邊和上下兩邊的小方格也具有相鄰性。（3）卡諾圖行列兩側標注的0和1表示使對應小方格內最小項取值為1的變量取值第44頁，課件共71頁，創作于2023年2月五變量卡諾圖：01326754第45頁，課件共71頁，創作于2023年2月2、邏輯函數在卡諾圖中的表示（1）邏輯函數是以真值表或者以最小項表達式給出：在卡諾圖上那些與給定邏輯函數的最小項相對應的方格內填入1，其余的方格內填入0。m1m3m4m6m7m11m14m15第46頁，課件共71頁，創作于2023年2月（2）邏輯函數以一般的邏輯表達式給出：先將函數變換為與或表達式（不必變換為最小項之和的形式），然后在卡諾圖上與每一個乘積項所包含的那些最小項（該乘積項就是這些最小項的公因子）相對應的方格內填入1，其余的方格內填入0。變換為與或表達式ＡＤ公因子ＢＣ公因子第47頁，課件共71頁，創作于2023年2月3、卡諾圖的性質（1）任何兩個（21個）標1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去一個變量（消去互為反變量的因子，保留公因子）。第48頁，課件共71頁，創作于2023年2月（2）任何4個（22個）標1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去2個變量。第49頁，課件共71頁，創作于2023年2月BＤBＤＢＤＢＤ第50頁，課件共71頁，創作于2023年2月（3）任何8個（23個）標1的相鄰最小項，可以合并為一項，并消去3個變量。ＤＢ

小結：相鄰最小項的數目必須為個才能合并為一項，并消去個變量。包含的最小項數目越多，即由這些最小項所形成的圈越大，消去的變量也就越多，從而所得到的邏輯表達式就越簡單。這就是利用卡諾圖化簡邏輯函數的基本原理。第51頁，課件共71頁，創作于2023年2月4、圖形法化簡的基本步驟邏輯表達式或真值表卡諾圖11第52頁，課件共71頁，創作于2023年2月合并最小項①圈越大越好，但每個圈中標１的方格數目必須為個。②同一個方格可同時畫在幾個圈內，但每個圈都要有新的方格，否則它就是多余的。③不能漏掉任何一個標１的方格。最簡與或表達式ＢＤＣＤＡＣＤ冗余項2233將代表每個圈的乘積項相加第53頁，課件共71頁，創作于2023年2月兩點說明：①在有些情況下，最小項的圈法不只一種，得到的各個乘積項組成的與或表達式各不相同，哪個是最簡的，要經過比較、檢查才能確定。ＡＣＤ＋ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ不是最簡ＢＣＤ＋ＡＢＣ＋ＡＤ最簡第54頁，課件共71頁，創作于2023年2月②在有些情況下，不同圈法得到的與或表達式都是最簡形式。即一個函數的最簡與或表達式不是唯一的。ＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＢＣＤＡＣ＋ＡＢＤ＋ＡＢＣ＋ＡＢＤ第55頁，課件共71頁，創作于2023年2月BCA000111100

1將非標準表達式直接在卡諾圖上寫出11111第56頁，課件共71頁，創作于2023年2月CDAB0001111000011110第57頁，課件共71頁，創作于2023年2月2.6.3具有無關項的邏輯函數的卡諾圖化簡

約束項：邏輯函數中不會出現或不允許出現的變量取值組合對應的最小項叫約束項，約束項的值為0。

任意項：邏輯函數中出現與否不會影響電路功能的變量取值組合對應的最小項叫任意項。其對應的輸出可為0，也可為1。

無關項：約束項與任意項統稱為無關項。

第58頁，課件共71頁，創作于2023年2月

在真值表和卡諾圖中，無關項用符號“”或“”來表示。類似最小項的編號“mi”，我們用“di”來表示無關項。對具有無關項的邏輯函數來講，無關項包不包含在邏輯函數表達式中都不會影響該函數原來的邏輯功能。因而在化簡時，可利用無關項使邏輯函數得到進一步的化簡。第59頁，課件共71頁，創作于2023年2月［例1］：“三八”婦女節，某單位包了一場電影給女工，以示慶賀。要求只讓在本單位工作的女職工進場看電影。設計一個電路，判斷一個人能否進場看電影。分析1、根據題意列功能表：用A、B、C代表單位、性別、電影票，Z代表能否進場。非：0；是：1；男：0；女：1；無票：0；有票：1：不進場：0；進場：1。第60頁，課件共71頁，創作于2023年2月2、列Z的真值表：ABCZ說明0000001X不會出現0100011X不會出現1000101X不會出現11001111001、011、101不會出現，我們稱為約束項。由約束項加起來所構成的邏輯表達式，叫約束條件。第61頁，課件共71頁，創作于2023年2月由最小項性質知道，只有對應變量取值組合出現時，其值才會為“1”，而約束項對應的是不會出現的變量取值組合，所以其值總等于0。因約束項的值恒為0，所以約束條件是一個恒等于0的條件等式。約束條件的表示方法：（1）在真值表、卡諾圖中用“X”表示。（2）在邏輯表達式中用等于0的條件等式表示。001、011、101第62頁，課件共71頁，創作于2023年2月3、畫出Z的卡諾圖：化簡得：Z=C為何能將“X”當成“1”而圈起來？第63頁，課件共71頁，創作于2023年2月因為約束項恒等于0，所以可將其加入表達式中，而函數不會受到影響。合并最小項時，可根據需要包含或取掉約束項。第64頁，課件共71頁，創作于2023年2月含有約束項的函數化簡的實際意義：（1）不化簡時：Z=ABC表示：電影院的看門人不僅要查票，而且還要辨認持票人的單位、性別。很麻煩。（2）化簡后：Z=C表示：電影院的看門人只要查票就可以了。含有約束項的函數化簡求出的表達式，必須遵守約束條件，否則就有可能出錯。第65頁，課件共71頁，創作于2023年2月［例2］：判斷一位十進制數是否為偶數。不會出現不會出現不會出現不會出現不會出現不會出現說明×111100111×111010110×1