第第頁北京市懷柔區2022-2023學年高二下學期期末考試數學試題（含答案）北京市懷柔區2022-2023學年度第二學期期末試卷高二數學

第一部分（選擇題共40分）

2023.7

第一部分（選擇題共40分）

一選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項.

1.若成等差數列，則（）

A.B.C.D.

2.函數在處的切線斜率為（）

A.-3B.C.D.5

3.已知函數為的導函數，則（）

A.B.

C.D.

4.一個袋中裝有大小相同的3個白球和2個紅球，現在不放回的取2次球，每次取出一個球，記“第1次拿出的是白球”為事件，“第2次拿出的是白球”為事件，則（）

A.B.C.D.

5.已知函數的導函數的圖象如圖所示，則（）

A.有極小值，但無極大值B.既有極小值，也有極大值

C.有極大值，但無極小值D.既無極小值，也無極大值

6.將一枚均勻硬幣隨機拋擲4次，記“正面向上出現的次數”為，則隨機變量的期望（）

A.1B.2C.3D.4

7.在數列中，若，則（）

A.-1B.1C.D.2

8.若是等差數列的前項和，，則（）

A.B.

C.D.

9.數列的通項公式為，若是遞增數列，則的取值范圍是（）

A.B.

C.D.

10.已知函數，則下面對函數的描述正確的是（）

A.

B.

C.

D.

第二部分（非選擇題共110分）

二填空題共5小題，每小題5分，共25分.

11.設函數，則__________.

12.已知隨機變量的分布列如下，且：

01

則__________；__________.

13.已知是公比為的等比數列，其前項和為.若，則__________.

14.若曲線在處的切線方程為，則__________；__________.

15.設隨機變量的分布列如下：

12345678910

給出下列四個結論：

①當為等差數列時，；

②當為等差數列時，公差；

③當數列滿足時，；

④當數列滿足時，時，.

其中所有正確結論的序號是__________.

三解答題共6小題，共85分.解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程.

16.（本小題13分）

已知等差數列的的前項和為，從條件①條件②和條件③中選擇兩個作為已知，并完成解答：

（1）求的通項公式；

（2）若是等比數列，，求數列的前項和.

①；②；③.

17.（本小題13分）

已知函數.

（1）求的極值；

（2）求在區間上的最大值和最小值.

18.（本小題14分）

為宣傳交通安全知識，某地區中學聯合開展了交通安全知識競賽活動.現從參加該活動的學生中隨機抽取了20名學生，將他們的競賽成績（單位：分）用莖葉圖記錄如下：

（1）從該地區參加該活動的男生中隨機抽取1人，估計該男生的競賽成績在90分以上的概率；

（2）從圖中90分以上的人中隨機抽取4人，抽到男生的人數記為，求的分布列和期望；

（3）為便于普及交通安全知識，現從該地區某所中學參加知識競賽活動的學生中隨機選取5名男生5名女生作為宣傳志愿者，記這5名男生競賽成績的平均數為，這5名女生競賽成績的平均數為，能否認為，說明理由.

19.（本小題15分）

已知某企業生產一種產品的固定成本為400萬元，每生產萬件，需另投入成本萬元，假設該企業年內共生產該產品萬件，并且全部銷售完，每1件的銷售收入為100元，且

（1）求出年利潤（萬元）關于年生產零件（萬件）的函數關系式（注：年利潤=年銷售收入-年總成本）；

（2）將年產量定為多少萬件時，企業所獲年利潤最大.

20.（本小題15分）

已知函數

（1）求函數的單調區間；

（2）若對任意恒成立，求a的取值范圍.

21.（本小題15分）

定義：若對任意正整數，數列的前項和都是整數的完全平方數，則稱數列為“完全平方數列”.

（1）若數列滿足，判斷為是否為“完全平方數列”；

（2）若數列的前項和（是正整數），那么是否存在，使數列為“完全平方數列”？若存在，求出的值：若不存在，請說明理由；

（3）試求出所有為“完全平方數列”的等差數列的通項公式.

北京市懷柔區2022-2023學年度第二學期期末試卷

高二數學答案及評分參考

2023.7

一選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）

1.A2.B3.C4.D5.A

6.B7.A8.B9.D10.B

二填空題（共5小題，每小題5分，共25分）

11.012.，13.214.，15.①③④

注：1214.題第一空3分，第二空2分；15.題給543分，有錯解不給分.

13.題寫2的給5分，寫2或1的給3分

三解答題（共6小題，共85分）

16.解：選①；②

（1）設等差數列的公差為.

由題設，得

解得.

所以.

（2）因為是等比數列，且由，得，

由，得

所以

所以.

所以

選其它，結論一樣，按步給分.

17.（共13分）

解：（1）因為，所以.

令，得.

的變化情況如下：

-10

-0+0-

極大值極小值

所以的單調遞增區間為，單調遞減區間為.從而的極大值為的極小值為.

（2）由（1）知在區間上單調遞增，在區間上單調遞減，

所以在區間上的最大值為，最小值為0.

18.（共14分）

解：（1）由莖葉圖數據，隨機抽取的20名學生中有男生10人，從男生中隨機抽取1人，90分以上的有4人，

所以男生的競賽成績在90分以上的概率估計值為.

（2）抽取的樣本學生中90分以上的有7人，其中有4名男生，3名女生.

從7人中隨機抽取4人，抽到男生的人數記為的值可能為：

的分布列為：

1234

（3）不能確定是否有.

上述5名男生，5名女生競賽成績的數據是隨機的，所以是隨機的.

所以，不能確定是否有.

19.（共15分）

解：（1）售價固定為，

當產量不足60萬箱時，

.

當產量不小于60萬箱時，.

則.

（2）設

當時，.得在上單調遞增，在上單調遞減.

則.

當時，由基本不等式有

當且僅當時取等號.又，得當時，所獲利潤最大值為1300萬元

20.（共15分）

解：（1）因為，

所以，所以.

當時，在單調遞增；

當時，令，得

+0-

極大值

所以在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.

（2）解法一：由（1）分類討論

當時，在單調遞增；

.

（或其它例子，或當時，.）

，不恒成立.

當時，在區間上單調遞增，在區間上單調遞減.

，

令，

得，

得，即.

解法二：構造新函數若對任意恒成立，

即恒成立，

則恒成立，

設，

則.

令，得.

當時，單調遞減；

當時，單調遞增.

所以.

所以.

21.（共15分）

解：（1）不是“完全平方數列”.

不是整數的完全平方數.

（2）存在，.

因為數列的前項和（是正整數），

那么

時，

時，

要使數列為“完全平方數列”，只需

只需時，，恒成立

只需，

，是正整數，.

（3）

因為數列等差數列，設

前項和

因為是完全平方數，則是完全平方數且

設，所以

備18（2）：從該地區參加該活動的全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取2人，估計這4人中男生競賽成在90分以上的人數比女生競賽成績在90分以上的人數多的概率.

解：隨機抽取的20名學生中有女生10人，從女生中隨機抽取1人，90分以上的有3人，

所以女生的競賽成績在90分以上的概率估計值為.

從該地區參加該活動的全體男生中隨機抽取2人，全體女生中隨機抽取2人，估計這4人中男生競賽成績在90分以上的人數比女生競賽成績在90分以上的人數多的情況有3種情況，

概率估計值；