1.4充分條件與必要條件1.4.1充分條件與必要條件必備知識(shí)·自主學(xué)習(xí)(1)定義命題真假“若p，則q”是真命題“若p，則q”是假命題推出關(guān)系__________條件關(guān)系p是q的_________q是p的_________p不是q的_________q不是p的_________p?qpq充分條件必要條件充分條件必要條件(2)本質(zhì)：當(dāng)命題p?q是真命題時(shí)，條件p與結(jié)論q之間的邏輯稱謂.(3)應(yīng)用：充分條件、必要條件是兩個(gè)常用的邏輯用語(yǔ)，數(shù)學(xué)學(xué)科中大量的命題用它們來(lái)敘述.【思考】在邏輯推理中p?q，能否表達(dá)成以下5種說(shuō)法：①“若p，則q”為真命題；②p是q的充分條件；③q是p的必要條件；④q的充分條件是p；⑤p的必要條件是q.提示：可以.這五種說(shuō)法表示的邏輯關(guān)系是一樣的，都能表示p?q，只是說(shuō)法不同而已.2.判定定理、性質(zhì)定理與充分條件、必要條件的關(guān)系(1)數(shù)學(xué)中的每一條_____定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)充分條件.(2)數(shù)學(xué)中的每一條_____定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個(gè)必要條件.判定性質(zhì)【基礎(chǔ)小測(cè)】1.辨析記憶(對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”)(1)若A?B，則“x∈A”是“x∈B”的充分條件. (

)(2)如果p是q的充分條件，則p是唯一的. (

)(3)若q是p的必要條件，則說(shuō)明q成立是p成立的必要前提. (

)提示：(1)√.根據(jù)子集的定義，可知若A?B，則“x∈A”?“x∈B”，所以“x∈A”是“x∈B”的充分條件.(2)×.不唯一，如x>3，x>5，x>10等都是x>0的充分條件.(3)√.例如對(duì)于“若p，則q”形式的命題，如：x是有理數(shù)，則x是實(shí)數(shù).q是p的必要條件，q成立(即x是實(shí)數(shù))是p成立(即x是有理數(shù))的必要前提.2.使x>3成立的一個(gè)必要條件是 (

)

A.x>5 B.x>10C.x>2 D.x<12【解析】選C.只有x>3?x>2，其他選項(xiàng)均不可由x>3推出.3.(教材二次開(kāi)發(fā)：例題改編)在平面內(nèi)，下列是“四邊形是矩形”的充分條件的是 (

)【解析】選A.因?yàn)閷?duì)角線相等的平行四邊形是矩形，所以“四邊形是平行四邊形且對(duì)角線相等”是“四邊形是矩形”的充分條件.關(guān)鍵能力·合作學(xué)習(xí)類型一充分條件(邏輯推理)【題組訓(xùn)練】

1.使x(y-2)=0成立的一個(gè)充分條件是 (

)

2+(y-2)2=0 B.(x-2)2+y2=0C.(x+1)2+y2=0 D.x(y-2)(z+2)=02.設(shè)集合M={x|0<x≤2}，N={x|0<x≤3}，那么“a∈M”是“a∈N”的_______條件.(填“充分”或“必要”)

3.下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？(1)若a∈Q，則a∈R.(2)若a<b，則<1.(3)若x，y∈R，|x|=|y|，則x=y.(4)若(a-2)(a-3)=0，則a=3.(5)在△ABC中，若A>B，則BC>AC.(6)若四邊形ABCD是正方形，則四邊形ABCD是菱形.【解析】1.選A.根據(jù)題意，原題可改寫為“(

)是x(y-2)=0的充分條件”.x2+(y-2)2=0?x=0且y=2?x(y-2)=0，所以x2+(y-2)2=0是x(y-2)=0的充分條件.2.由題意得，M∪N=N，所以“a∈M”?“a∈N”，所以“a∈M”是“a∈N”的充分條件.答案：充分3.(1)由于QR，所以p?q，所以p是q的充分條件.(2)由于a<b，當(dāng)b<0時(shí)，>1；當(dāng)b>0時(shí)，<1，因此pq，所以p不是q的充分條件.(3)若x=1，y=-1，則|x|=|y|，但x≠y，所以pq，所以p不是q的充分條件.(4)由(a-2)(a-3)=0可以推出a=2或a=3，不一定有a=3，因此pq，所以p不是q的充分條件.(5)由三角形中大角對(duì)大邊可知，若A>B，則BC>AC.因此p?q，所以p是q的充分條件.(6)由菱形和正方形的定義可知，所有的正方形都是菱形，p?q，所以p是q的充分條件.【解題策略】充分條件的兩種判斷方法(1)定義法：(2)命題判斷方法：如果命題：“若p，則q”是真命題，則p是q的充分條件；如果命題：“若p，則q”是假命題，則p不是q的充分條件.【補(bǔ)償訓(xùn)練】下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的p是q的充分條件？(1)若x2=y2，則x=y.(2)若內(nèi)錯(cuò)角相等，則兩直線平行.(3)若整數(shù)a能被4整除，則a的個(gè)位數(shù)字為偶數(shù).(4)若(x-1)2+(y-2)2=0，則(x-1)(y-2)=0.【解析】(1)若x2=y2，則x=y或x=-y，因此pq，所以p不是q的充分條件.(2)若內(nèi)錯(cuò)角相等，則兩直線平行是真命題，所以p?q，所以p是q的充分條件.(3)若整數(shù)a能被4整除，則a是偶數(shù)，所以a的個(gè)位數(shù)字為偶數(shù)；所以p?q，所以p是q的充分條件.(4)因?yàn)?x-1)2+(y-2)2=0?x=1且y=2?(x-1)·(y-2)=0，所以p?q，所以p是q的充分條件.類型二必要條件(邏輯推理)【典例】1.設(shè)集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，則“A∪B=R”是“a=1”的_______條件.(從“充分”或“必要”中選一個(gè)填寫)

2.下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？(1)若一個(gè)四邊形是等腰梯形，則這個(gè)四邊形兩條對(duì)角線相等.(2)若△ABC是直角三角形，則△ABC是等腰三角形.(3)若=，則x=y.(4)若關(guān)于x的方程ax+b=0(a，b∈R)有唯一解，則a>0.【思路導(dǎo)引】1.根據(jù)“A∪B=R”求出a的取值范圍，進(jìn)而得到推出關(guān)系，最后作出判斷.2.判斷p?q是否成立，然后作出判斷.【解析】1.因?yàn)榧螦={x|x≤1}，B={x|x≥a}，當(dāng)A∪B=R時(shí)，a≤1，因?yàn)閍≤1不一定得到a=1，當(dāng)a=1時(shí)一定可以得到a≤1，所以“A∪B=R”是“a=1”的必要條件.答案：必要2.(1)等腰梯形的兩條對(duì)角線相等.因此，p?q，所以q是p的必要條件.(2)直角三角形不一定是等腰三角形.因此pq，所以q不是p的必要條件.(3)若=，則x=y是真命題，因此p?q，所以q是p的必要條件.(4)命題“若關(guān)于x的方程ax+b=0(a，b∈R)有唯一解，則a>0”為假命題，因此pq，所以q不是p的必要條件.【變式探究】將本例2(3)改為“若x=y，則=”，結(jié)果又如何？【解析】因?yàn)楫?dāng)x=y<0時(shí)，，無(wú)意義，所以若x=y，則=是假命題，因此pq，所以q不是p的必要條件.【解題策略】必要條件的兩種判斷方法(1)定義法：(2)命題判斷方法：如果命題：“若p，則q”是真命題，則q是p的必要條件；如果命題：“若p，則q”是假命題，則q不是p的必要條件.【題組訓(xùn)練】1.使|x|=x成立的一個(gè)必要條件是 (

)

A.x<0 B.x≥-1C.x>0 D.x≤-1【解析】選B.因?yàn)閨x|=x?x≥0?x≥-1，所以使|x|=x成立的一個(gè)必要條件是x≥-1.2.下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？(1)若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線相等.(2)若∠α=60°32′，則∠α的余角是29°28′.(3)若有三條線段長(zhǎng)分別為3cm、4cm和9cm，則這三條線段能組成三角形.(4)若a和b都是偶數(shù)，則a·b是偶數(shù).【解析】(1)該命題是真命題，p?q，所以q是p的必要條件.(2)因?yàn)椤夕?60°32′，所以∠α的余角為90°-60°32′=29°28′.p?q，所以q是p的必要條件.(3)因?yàn)?+4<9，所以長(zhǎng)分別為3cm、4cm和9cm的三條線段不能組成三角形，所以pq，所以q不是p的必要條件.(4)兩個(gè)偶數(shù)的乘積仍是偶數(shù).所以p?q，所以q是p的必要條件.【補(bǔ)償訓(xùn)練】下列“若p，則q”形式的命題中，哪些命題中的q是p的必要條件？(1)若a是1的平方根，則a=1.(2)若4x2-mx+9是完全平方式，則m=12.(3)若a是無(wú)理數(shù)，則a是無(wú)限小數(shù).(4)若a與b互為相反數(shù)，則a與b的絕對(duì)值相等.【解析】(1)因?yàn)?的平方根是±1，所以pq，所以q不是p的必要條件.(2)因?yàn)?x2-mx+9=(2x±3)2，所以m=±12，所以pq，所以q不是p的必要條件.(3)因?yàn)闊o(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，所以p?q，所以q是p的必要條件.(4)若a與b互為相反數(shù)，則a與b的絕對(duì)值相等，所以p?q，所以q是p的必要條件.類型三利用充分、必要條件的關(guān)系求參數(shù)范圍(邏輯推理)【典例】已知p：實(shí)數(shù)x滿足3a<x<a，其中a<0；q：實(shí)數(shù)x滿足0≤x+2≤5.若p是q的充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.四步內(nèi)容理解題意條件：p：實(shí)數(shù)x滿足3a<x<a，其中a<0；q：實(shí)數(shù)x滿足0≤x+2≤5.p是q的充分條件.結(jié)論：求實(shí)數(shù)a的取值范圍.思路探求找出p和q相應(yīng)的集合分別為A和B，根據(jù)p是q的充分條件得A?B，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解題策略】利用充分、必要、充要條件的關(guān)系求參數(shù)范圍(1)化簡(jiǎn)p，q兩命題.(2)根據(jù)p與q的關(guān)系(充分、必要條件)轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系.依據(jù)如下：p是q的充分條件p?qA?Bp是q的必要條件q?pB?A(3)根據(jù)集合間的關(guān)系，利用集合端點(diǎn)的大小建立不等式組.(4)求解參數(shù)范圍.特別提醒：驗(yàn)證集合為?時(shí)是否符合題意.【跟蹤訓(xùn)練】(1)是否存在實(shí)數(shù)m，使2x+m<0是x<-1或x>3的充分條件？(2)是否存在實(shí)數(shù)m，使2x+m<0是x<-1或x>3的必要條件？【解析】(1)若2x+m<0是x<-1或x>3的充分條件，則只要?{x|x<-1或x>3}，即只需-≤-1，所以m≥2.故存在實(shí)數(shù)m≥2，使2x+m<0是x<-1或x>3的充分條件.(2)若2x+m<0是x<-1或x>3的必要條件，則只要{x|x<-1或x>3}?

這是不可能的.故不存在實(shí)數(shù)m，使2x+m<0是x<-1或x>3的必要條件.課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.“a>0”是“|a|>0”的 (

)【解析】選A.因?yàn)閍>0?|a|>0，|a|>0?a>0或a<0，即|a|>0不能推出a>0，所以“a>0”是“|a|>0”的充分條件.2.對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a，b，c，在下列命題中，真命題是 (

)A.“ac>bc”是“a>b”的必要條件B.“ac=bc”是“a=b”的必要條件C.“ac<bc”是“a<b”的充分條件D.“ac=bc”是“a=b”的充分條件【解析】選B.若a=b，則ac=bc；若ac=bc，則a不一定等于b，故“ac=bc”是“a=b”的必要條件.3.“x=-1”是“x2-x-2=0”的_______條件，“x2-x-2=0”是“x=-1”的_______條件.(用“充分”“必要”填空)

【解析】由x=-1?x2-x-2=0，所以“x=-1”是“x2-x-2=0”的充分條件，“x2-x-2=0”是“x=-1”的必要條件.答案：充分必要4.條件p：1-x<0，條件q：x>a，若p是q的充分條件，則a的取值范圍為_(kāi)______.

【解析】x>1?x>a，令A(yù)={x|x>1}，B={x|x>a}，則A?B，所以a≤1.答案：a≤15.(教材二次開(kāi)發(fā)：練習(xí)改編)如圖，在△ABC中，E，F(xiàn)在線段AB上，B，C，D在同一條直線上，AC與DF相交于點(diǎn)G.請(qǐng)根據(jù)這些信息，寫出三個(gè)“DF∥EC”的充分條件和必要條件.跟你的同學(xué)對(duì)一下答案，看看答案是否相同？【解析】