高一年級數學空間點、直線、平面之間的位置關系

由上一小節“平面”的學習，我們認識了空間中點、直線、平面之間的一些位置關系，如點在平面內，直線在平面內，兩個平面相交，等等，空間中點、直線、平面之間還有其他位置關系嗎？

8個頂點12條棱6個面在長方體ABCD-A1B1C1D1中：DBC1D1B1A1AC一、空間中點與直線、點與平面的位置關系觀察：如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1中，點與直線、點與平面之間有哪些不同的位置關系？

DBC1D1B1A1AC一、空間中點與直線、點與平面的位置關系空間中點與直線的位置關系有兩種：點在直線上和點在直線外．

A∈AB，AA1B1．空間中點與平面的位置關系也有兩種：

點在平面內和點在平面外．

A∈平面ABCD，A平面A1B1C1D1．

DBC1D1B1A1AC1.空間中直線與直線的位置關系2.空間中直線與平面的位置關系3.空間中平面與平面的位置關系二、空間中直線、平面之間的位置關系1.空間中直線與直線的位置關系觀察：如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1中，直線與直線之間有哪些不同的位置關系？

DBC1D1B1A1AC不同在任何一個平面內．沒有公共點，

直線AB與DC在同一個平面ABCD內，它們沒有公共點，它們是平行直線；直線AB與BC也是在同一個平面ABCD內，它們只有一個公共點B，它們是相交直線；

1.空間中直線與直線的位置關系那么，直線AB與CC1具有怎樣的位置關系呢？DBC1D1B1A1ACABCD六角螺母

黑板一側所在的直線與課桌邊沿所在的直線之間．

旗桿所在的直線與其正后方跑道所在的直線之間．

我們把不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線（skewlines）．（1）異面直線的定義思考：分別在兩個平面內的兩條直線是否一定是異面直線？答：不一定．

它們可能是異面直線，可能是相交直線，也可能是平行直線．

a與b是相交直線a與b是平行直線a與b是異面直線abMabab共面直線相交直線：在同一個平面內，有且只有一個公共點；平行直線：在同一個平面內，沒有公共點；異面直線：不同在任何一個平面內，沒有公共點．空間兩條直線的位置關系有三種

無公共點畫異面直線時，為了體現它們不共面的特點，常借助一個或兩個平面來襯托．abab(2)(1)(2)異面直線的畫法αβα2.空間中直線與平面的位置關系

觀察：如圖所示的長方體ABCD-A1B1C1D1中，直線與平面之間有哪些不同的位置關系？

DBC1D1B1A1AC2.空間中直線與平面的位置關系直線AB與平面ABCD

直線AA1與平面ABCD直線A1B1與平面ABCD

——有無數個公共點；——有只且有一個公共點A；——沒有公共點．DBC1D1B1A1AC觀察：一支筆所在的直線與一個作業本所在的平面之間，可能有哪幾種位置關系？當直線與平面相交或平行時，直線不在平面內，也稱為直線在平面外．

（1）直線在平面內——有無數個公共點；

（2）直線與平面相交——有且只有一個公共點；

（3）直線與平面平行——沒有公共點．直線與平面的位置關系有且只有三種aααAaaαa//α直線在平面內直線與平面相交直線與平面平行a?αa∩α=Α三種位置關系的圖形表示及符號表示我們常把直線與平面相交或平行的情況稱為直線在平面外，符號記作aα．思考：“直線與平面不相交”和“直線與平面沒有公共點”是一回事嗎？提示：不是．“直線與平面不相交”包括直線與平面平行及直線在平面內兩種可能情況；而“直線與平面沒有公共點”僅指直線與平面平行．3.空間中平面與平面的位置關系觀察：在如圖所示的長方體中，平面與平面之間有哪些不同的位置關系？平面ABCD與平面A1B1C1D1平面ABCD與平面BCC1B1沒有公共點；有一條公共直線BC．DBC1D1B1A1AC

觀察：教室里的地面與桌面，黑板所在墻面與地面之間有哪些關系？直觀感覺：桌面與地面：平行．墻面與地面：相交．

（1）兩個平面平行——（2）兩個平面相交——兩個平面之間的位置關系有且只有兩種α∥βαβ沒有公共點；有一條公共直線．βαα∩β=ll思考：

1.若一個平面內的任意一條直線都與另一個平面平行，那么這兩個平面之間有怎樣的位置關系？2.若一個平面內有無數條直線與另一個平面平行，那么這兩個平面一定平行是否正確？不正確平行例題如圖，用符號表示下列圖形中直線、平面之間的位置關系．（1）ABalαβαβabP（2）l分析：平面α與β相交于直線l，直線a分別交平面α、β于點A、B．（1）ABalαβ解：α∩β=l，a∩α=A，a∩β=B．（1）ABalαβ分析：平面α與β相交于直線l，直線a在平面α內，直線b在平面β內，直線a與l交于點P，直線b與l交于點P，直線a與b相交于點P．αβabP（2）l解：α∩β=l，a?α，b?β，a∩l=P，b∩l=P，

a∩b=P．αβabP（2）l例題判斷下列命題是否正確．(1)若直線l上有無數個點不在平面α內，則l//α；(2)若l//α，則直線l

與平面α內任一條直線都平行；(3)如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行；(4)若l//α，則直線l與平面α內任意一條直線都沒有公共

點．例題判斷下列命題是否正確．(1)若直線l上有無數個點不在平面α內，則l//α；錯誤αAllα例題判斷下列命題是否正確．(2)若l//α，則直線l

與平面α內任一條直線都平行；錯誤lα錯誤滿足：A1B1//ABA1B1//平面ΑΒCD但是：AB?平面ΑΒCD例題判斷下列命題是否正確．(3)如果兩條平行直線中的一條與一個平面平行，那么另一條也與這個平面平行；DBC1D1B1A1AC正確例題判斷下列命題是否正確．(4)若l//α，則直線l與平面α內任意一條直線都沒有公共點．

解：直線AB與直線l是異面直線．理由是．若直線AB與直線l不是異面直線，則它們相交或平行．設它們確定的平面為β，則B∈β，l?β．由于經過點B與直線l有且僅有一個平面α，因此平面α與β重合，從而AB?α，進而A∈α，這與Aα矛盾．所以直線AB與l是異面直線．αBAl例題如圖，AB∩α=B，Aα，l?α，Bl，直線AB與l具有怎樣的位置關系？為什么？例題如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么，AB、CD、EF、GH這四條線段中，哪些線段所在直線是異面直線？例題如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么，AB、CD、EF、GH這四條線段中，哪些線段所在直線是異面直線？例題

如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，那么，AB、CD、EF、GH這四條線段中，哪些線段所在直線是異面直線？由圖可知，滿足條件的線段分別為：AB與CD，AB與GH，EF與GH．解：1.弄清楚空間中點、直線、平面之間各種位置關系的特征，利用其定義作出判斷，同時要有畫圖意識，并借助于空間想象能力全方位、多角度地去考慮問題．2.長方體是一個特殊的圖形，當點、線、面關系比較復雜時，可以尋找長方體作為載體，將它們置于其中，立體幾何中的直線與平面的位置關系都可以在這個模型中得到反映，因而人們給它以“百寶箱”之稱．課堂小結作業一1、畫出滿足下列條件的圖形：（1）a?α，b?α，a∩b=Α，c∩α=Α；（2）α∩β=l，ΑΒ?α，CD?β，ΑΒ//l，CD//l．2、填空題（1）如果a，b是異面直線，直線c與a，b都相交，那么這三條直線中的兩條所確定的平面共有_____個；（2）若一條直線與兩個平行平面中的一個平行，