2022年湖南省湘西市第一高級中學高三數學理知識點試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知i為虛數單位，則復數=(

) A．2+i B．2﹣i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i參考答案：C考點：復數代數形式的乘除運算．專題：數系的擴充和復數．分析：直接利用復數代數形式的乘除運算化簡求值．解答： 解：=，故選：C．點評：本題考查了復數代數形式的乘除運算考查了復數的基本概念，是基礎題．2.某市高三數學抽樣考試中，對90分以上（含90分）的成績進行統計，其頻率分布圖如圖所示，已知130～140分數段的人數為90，90～100分數段的人數為a，則下圖所示程序框圖的運算結果為（注：n！＝1×2×3×…×n，如5！＝1×2×3×4×5）A．800!

B．810!

C．811!

D．812!參考答案：B3.某四棱錐的底面為正方形，其三視圖如圖所示，則該四棱錐的體積等于(

)A．

B．

C．

D．參考答案：B4.中國古代有計算多項式值的秦九韶算法，如圖是實現該算法的程序框圖，執行該程序框圖，若輸入的x=2，n=2，依次輸入的a為3，3，7，則輸出的s=（

）A．9

B．21

C.25

D．34參考答案：C程序運行過程如下：第一次循環：，第二次循環：，第三次循環：，此時跳出循環，輸出的s值為25.本題選擇C選項.

5.設函數f（x）=（2x+a）n，其中n=6cosxdx，=﹣12，則f（x）的展開式中x4的系數是（）A．﹣240B．240C．﹣60D．60參考答案：B考點：二項式定理的應用；定積分．

專題：綜合題；二項式定理．分析：利用定積分基本定理可求得n，利用=﹣12，求出a，再利用二項式定理可求得f（x）展開式中x4的系數．解答：解：∵n=6cosxdx=6sinx=6，∴f（x）=（2x+a）6，∴f（0）=a6，f′（0）=12a5，∵=﹣12，∴a=﹣1∴f（x）=（2x﹣1）6展開式中x4的系數為：?24?（﹣1）2=15×16=240．故選：B．點評：本題考查二項式定理，考查定積分，求得n是關鍵，屬于中檔題．6.已知命題p：?x∈（0，+∞），2x＞log2x，命題q：?x0∈（0，+∞），sinx0=lnx0，則下列命題中的真命題是（）A．（￢p）∨（￢q） B．（￢p）∧（￢q） C．（￢p）∧q D．p∧q參考答案： D【考點】復合命題的真假．【分析】利用幾何畫板即可判斷出命題p與q的真假．【解答】解：命題p：?x∈（0，+∞），2x＞log2x，利用幾何畫板可得：令f（x）=2x﹣x，g（x）=x﹣log2x，則f′（x）=2x﹣1，x＞0時，f′（x）＞0，函數f（x）在（0，+∞）上單調遞增，因此，f（x）＞f（0）=1＞0，同理可得：g（x）＞0．可得2x＞x＞log2x，即：?x∈（0，+∞），2x＞log2x，因此p是真命題．命題q：?x0∈（0，+∞），sinx0=lnx0，由圖象可知：命題p與q都是真命題，則下列命題中的真命題是D．故選：D．7.如圖，某幾何體的正視圖和俯視圖都是矩形，側視圖是平行四邊形，則該幾何體的體積為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略8.已知＜x＜，則tan為A.

B.

C.2

D.參考答案：A略9.函數在其定義域內(

)A.是增函數又是偶函數

B.是增函數又是奇函數C.是減函數又是偶函數

D.是減函數又是奇函數參考答案：B10.在平面直角坐標系中,角與角均以Ox為始邊,它們的終邊關于x軸對稱.若,則（

）A.－1 B. C. D.1參考答案：C【分析】由角與角均以為始邊,它們的終邊關于軸對稱，可以求出，這樣利用二倍角的余弦公式可以求出的值.【詳解】因為角與角均以為始邊,它們的終邊關于軸對稱，所以，所以，故本題選C.【點睛】本題考查了二倍角的余弦公式，由已知得到角與角的關系是解題的關鍵.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點是雙曲線(,)的左焦點，點是該雙曲線的右頂點，過點且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點，若是銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是________．參考答案：略12.某學院的A，B，C三個專業共有1200名學生，為了調查這些學生的勤工儉學的情況，擬采用分層抽樣的方法抽取一個容量為120的樣本，已知該學院的A專業有380名學生，B專業有420名學生，則該學院的C專業應抽取

名學生。參考答案：40略13.已知五個實數依次成等比數列，則=___________．參考答案：略14.已知是遞增的等差數列，，為其前項和，若成等比數列，則

▲

.參考答案：7015.三棱錐中，已知底面，，，若三棱錐的所有頂點都在同一個球面上，則該球的體積為

．參考答案：由題意∠BAC=60°，AB=AC=2，可得△ABC是等邊三角形，可得外接圓的半徑r=，∵PA⊥底面ABC，PA=，∴球心與圓心的距離為．該球的半徑為R=，該球的體積V=，故答案為：

16.將函數的圖象向右平移個單位后得到函數________的圖象.參考答案：略17.直線ax+by=1與圓x2+y2=1相交于A，B兩點（其中a，b是實數），且△AOB是直角三角形（O是坐標原點），則點P（a，b）與點（1，0）之間距離的最小值為．參考答案：考點：直線與圓的位置關系．專題：計算題；直線與圓．分析：根據直線和圓的位置關系以及兩點間的距離公式即可得到結論．解答：解：∵△AOB是直角三角形（O是坐標原點），∴圓心到直線ax+by=1的距離d=，即d==，整理得a2+2b2=2，則點P（a，b）與點Q（1，0）之間距離d==≥，∴點P（a，b）與點（1，0）之間距離的最小值為．故答案為：．點評：本題主要考查直線和圓的位置公式的應用以及兩點間的距離公式，考查學生的計算能力．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設f(x)是定義在R上的偶函數，在區間(－∞，0)上單調遞增，且滿足f(－a2＋2a－5)<f(2a2＋a＋1)，求實數a的取值范圍．參考答案：(1)∵f(x)為R上的偶函數，∴f(－a2＋2a－5)＝f－(－a2＋2a－5)＝f(a2－2a＋5)．∴不等式等價于f(a2－2a＋5)<f(2a2＋a＋1)，∵a2－2a＋5＝(a－1)2＋4>0，而2a2＋a＋1＝2(a＝)2＋>0.∵f(x)在區間(－∞，0)上單調遞增，而偶函數圖像關于y軸對稱，∴f(x)在區間(0，＋∞)上單調遞減，∴由f(a2－2a＋5)<f(2a2＋a＋1)，得a2－2a＋5>2a2＋a＋1?a2＋3a－4<0?－4<a<1，∴實數a的取值范圍是(－4,1)．

19.已知函數．（1）若函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，求正實數a的取值范圍；

（2）當a=1時，求f（x）在上的最大值和最小值；（3）當a=1時，求證：對大于1的任意正整數n，都有．

參考答案：

21、解：（1）∵∴∵函數f（x）在[1，+∞）上為增函數∴對x∈[1，+∞）恒成立，∴ax﹣1≥0對x∈[1，+∞）恒成立，即對x∈[1，+∞）恒成立∴a≥1（2）當a=1時，，∴當時，f′（x）＜0，故f（x）在上單調遞減；當x∈（1，2]時，f′（x）＞0，故f（x）在x∈（1，2]上單調遞增，∴f（x）在區間上有唯一極小值點，故f（x）min=f（x）極小值=f（1）=0又∵e3＞16∴∴f（x）在區間上的最大值綜上可知，函數f（x）在上的最大值是1﹣ln2，最小值是0．（3）當a=1時，，，故f（x）在[1，+∞）上為增函數．當n＞1時，令，則x＞1，故f（x）＞f（1）=0∴，即∴

略20.（10分）（2013?蘭州一模）選修4﹣1：《幾何證明選講》已知：如圖，eO為△ABC的外接圓，直線l為eO的切線，切點為B，直線AD∥l，交BC于D、交eO于E，F為AC上一點，且∠EDC=∠FDC．求證：（Ⅰ）AB2=BD．BC；（Ⅱ）點A、B、D、F共圓．參考答案：證明：（1）∵直線l為圓O的切線，∴∠1=∠ACB．∵AD∥l，∴∠1=∠DAB．∴∠ACB=∠DAB，又∵∠ABC=∠DBA，∴△ABC∽△DAB．∴．∴AB2=BD?BC．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知∠BAC=∠ADB．∵∠EDC=∠FDC，∠EDC=∠ADB，∴∠BAC=∠FDC．∴∠BAC+∠EDC=∠FDC+∠FDB=180°．∴點A、B、D、F共圓．…（10分）略21.（13分）已知函數．（1）求f（x）的最小正周期；（2）求f（x）在區間上的最大值和最小值及取得最值時x的值．參考答案：【考點】兩角和與差的正弦函數；三角函數的周期性及其求法；正弦函數的定義域和值域．【專題】三角函數的圖像與性質．【分析】（1）由三角函數的公式化簡可得f（x）=，由周期公式可得答案；（2）由x的范圍可得的范圍，進而可得的范圍，可得f（x）的范圍，結合三角函數在該區間的單調性，可得最值及對應的x值．【解答】解：（1）化簡可得==…=…所以…（2）因為，所以…所以，所以﹣1≤f（x）≤2，當，即時，f（x）min=﹣1，當，即時，f（x）max=2，…（14分）【點評】本題考查兩角和與差的正弦函數，涉及三角函數的周期性和值域，屬中檔題．22.（12分）已知函數f（x）=4lnx﹣x，g（x）=ax2+ax+1（a∈R）．（1）求函數f（x）的單調區間；（2））若af（x）＞g（x）對任意x∈（0，+∞）恒成立，求實數a的取值范圍．參考答案：【考點】利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性．【分析】（1）求出f′（x）=，x＞0，由此利用導數性質能求出函數f（x）的單調區間．（2）af（x）＞g（x）對任意x∈（0，+∞）恒成立，等價于：4alnx﹣ax2﹣2ax﹣1＞0對任意x∈（0，+∞）恒成立，由此利用分類討論思想和構造法，結合導數性質能求出a的取值范圍．【解答】解：（1）∵f（x）=4lnx﹣x，（2分）∴f′（x）=，x＞0，由f′（x）=＞0，解得x＜4；由f′（x）＜0，得x＞4，∴函數f（x）的單調遞增區間是（0，4]，單調遞減區間是[4，+∞）．（4分）（2）af（x）＞g（x）對任意x∈（0，+∞）恒成立，等價于：4alnx﹣ax2﹣2ax﹣1＞0對任意x∈（0，+∞）恒成立，當a=0時，4alnx﹣ax2﹣2ax﹣1＞0不成立；當a＞0時，4alnx﹣ax2﹣2ax﹣1＞0化為：＜4lnx﹣x2﹣2x，①當a＜0時，4alnx﹣ax2﹣2ax﹣1＞