第23講圓錐曲線中定點定值定直線問題【考點分析】考點一：直線過定點問題①設直線為SKIPIF1<0，根據題目給出的條件找出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的關系即可②求出兩點的坐標（一般含參數），再求出直線的斜率，利用點斜式寫出直線的方程，再化為SKIPIF1<0的形式，即可求出定點?？键c二：定值問題探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種：①從特殊入手，先根據特殊位置和數值求出定值，再證明這個值與變量無關；②直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.③求斜率，面積等定值問題，把斜率之和，之積，面積化為坐標之間的關系，再用韋達定理帶入化簡一般即可得到定值考點三：定直線問題①一般設出點的坐標，寫出兩條直線的方程，兩直線的交點及兩個直線中的SKIPIF1<0相同，然后再用韋達定理帶入化簡即可得SKIPIF1<0的關系即為定直線【題型目錄】題型一：直線圓過定點問題題型二：斜率面積等定值問題題型三：定直線問題【典型例題】題型一：直線過定點問題【例1】已知點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，橢圓C的左右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0.(1)求橢圓C的方程；(2)設點A，B在橢圓C上，直線PA，PB均與圓SKIPIF1<0相切，記直線PA，PB的斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（i）證明：SKIPIF1<0；（ii）證明：直線AB過定點.【答案】(1)SKIPIF1<0，(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析【分析】（1）利用SKIPIF1<0，結合三角形的面積公式，求出SKIPIF1<0，即可求橢圓SKIPIF1<0的方程.(2)（i）設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，由題意可知SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩根，利用韋達定理即可證明.（ii）設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，代入橢圓方程，利用韋達定理，結合SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關系式，即可證明直線SKIPIF1<0過定點.（1）解：由題知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積等于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，橢圓C的方程為SKIPIF1<0.（2）（i）設直線PA的方程為SKIPIF1<0，直線PB的方程為SKIPIF1<0，由題知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩根，所以SKIPIF1<0.（ii）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設直線AB的方程為SKIPIF1<0，將SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，①SKIPIF1<0，②所以SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0，④又因為SKIPIF1<0，⑤將①②③④代入⑤，化簡得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0，此時AB過點P，舍去.若SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0，此時AB恒過點SKIPIF1<0，所以直線AB過定點SKIPIF1<0.【例2】已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，一個焦點SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0的焦點重合．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)若直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸對稱，證明：直線SKIPIF1<0恒過一定點．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)詳見解析.【分析】（1）由題可得SKIPIF1<0，進而可得SKIPIF1<0，即得；（2）利用韋達定理法，利用斜率互為相反數得SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的一次關系即得.（1）由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又離心率為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴橢圓C的方程為SKIPIF1<0.（2）設SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關于SKIPIF1<0軸對稱，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，恒過定點SKIPIF1<0.【例3】已知橢圓SKIPIF1<0的上頂點為SKIPIF1<0，右頂點為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0的面積為1（SKIPIF1<0為原點），橢圓SKIPIF1<0離心率為SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)若不經過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0，求證：直線SKIPIF1<0過定點．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)證明見解析【分析】(1)根據SKIPIF1<0的關系求橢圓方程；(2)利用韋達定理結合SKIPIF1<0的坐標表示，即可求定點.【詳解】（1）由已知得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故橢圓SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0.（2）證明：當直線SKIPIF1<0的斜率不存在時，不滿足SKIPIF1<0的條件．當直線SKIPIF1<0的斜率存在時，設SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，聯立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0①設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0③由②③得SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0舍），SKIPIF1<0滿足①此時SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0．【例4】已知橢圓C：SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0．右焦點為F，縱坐標為SKIPIF1<0的點M在C上，且AF⊥MF．(1)求C的方程；(2)設過A與x軸垂直的直線為l，縱坐標不為0的點P為C上一動點，過F作直線PA的垂線交l于點Q，證明：直線PQ過定點．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)過定點SKIPIF1<0；證明過程見詳解【分析】（1）由題可得SKIPIF1<0，結合條件可知SKIPIF1<0，將點SKIPIF1<0的坐標代入橢圓SKIPIF1<0的方程，即可得解；（2）設點SKIPIF1<0，求出點SKIPIF1<0的坐標，寫出直線SKIPIF1<0的方程，結合條件變形即得.【詳解】（1）設點SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為橢圓SKIPIF1<0過點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，將點SKIPIF1<0的坐標代入橢圓SKIPIF1<0的方程得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此橢圓SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0；（2）設點SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的垂線的斜率為SKIPIF1<0，由題可知SKIPIF1<0，故直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，在直線SKIPIF1<0的方程中，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即點SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直線SKIPIF1<0過定點SKIPIF1<0．【點睛】求解直線過定點問題常用方法如下：（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；（2）“一般推理，特殊求解”即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；（3）求證直線過定點SKIPIF1<0，常利用直線的點斜式方程SKIPIF1<0或截距式SKIPIF1<0來證明．【例5】已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的離心率為SKIPIF1<0，其左?右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0上任意一點，SKIPIF1<0面積的最大值為1.(1)求橢圓SKIPIF1<0的標準方程；(2)已知SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于不同的兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸的交點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：以SKIPIF1<0為直徑的圓過定點.【答案】(1)SKIPIF1<0，(2)證明見解析【分析】（1）依題意可得SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，即可得解；（2）設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，由直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的方程，得到SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐標，即可得到以SKIPIF1<0為直徑的圓的方程，再令SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，即可得解；(1)解：因為橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又當SKIPIF1<0位于上頂點或者下頂點時，SKIPIF1<0面積最大，即SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以橢圓SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0.(2)解：由題知，直線SKIPIF1<0的斜率存在，所以設直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將直線SKIPIF1<0代入橢圓SKIPIF1<0的方程得：SKIPIF1<0，由韋達定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以以SKIPIF1<0為直徑的圓為SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0.①因為SKIPIF1<0，令①中的SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以，以SKIPIF1<0為直徑的圓過定點SKIPIF1<0.【題型專練】1．已知橢圓SKIPIF1<0的短軸長為SKIPIF1<0，左頂點A到右焦點SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程(2)設直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于不同兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（不同于A），且直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的斜率之積與橢圓的離心率互為相反數，求證：SKIPIF1<0經過定點．【答案】(1)SKIPIF1<0，(2)證明見解析【分析】（1）依題意可得SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，再根據SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，從而求出橢圓方程、離心率；（2）設直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯立直線與橢圓方程，消元列出韋達定理，依題意可得SKIPIF1<0，即可得到方程，整理得到SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的關系，從而求出直線過定點；(1)解：依題意SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以橢圓方程為SKIPIF1<0，離心率SKIPIF1<0；(2)解：由（1）可知SKIPIF1<0，當直線斜率存在時，設直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，聯立方程得SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；因為直線SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的斜率之積與橢圓的離心率互為相反數，所以SKIPIF1<0；即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，恒過定點SKIPIF1<0，因為直線不過A點，所以舍去；當SKIPIF1<0時，直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，恒過定點SKIPIF1<0；當直線斜率不存在時，設直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）；綜上可得直線SKIPIF1<0恒過定點SKIPIF1<0.2.已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，且過點SKIPIF1<0.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0.證明：直線SKIPIF1<0過定點，并求出該定點坐標.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)證明詳見解析，定點坐標SKIPIF1<0【分析】（1）根據已知條件列方程組，由此求得SKIPIF1<0，從而求得橢圓SKIPIF1<0的方程.（2）根據直線SKIPIF1<0的斜率進行分類討論，結合根與系數關系以及SKIPIF1<0求得定點坐標.【詳解】（1）由題意可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0故橢圓方程為：SKIPIF1<0.（2）設點SKIPIF1<0，若直線SKIPIF1<0斜率存在時，設直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，代入橢圓方程消去SKIPIF1<0并整理得：SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，根據SKIPIF1<0,有SKIPIF1<0整理可得：SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0，整理化簡得SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則直線MN的方程為：SKIPIF1<0，恒過SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則直線MN的方程為：SKIPIF1<0，過A點，舍去.所以直線MN過定點PSKIPIF1<0，當直線MN的斜率不存在時，可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，結合SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），此時直線MN方程為SKIPIF1<0,過點PSKIPIF1<0.綜上，直線MN過定點PSKIPIF1<0.3.已知橢圓SKIPIF1<0的左，右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與短軸的兩個端點恰好為正方形的四個頂點，點SKIPIF1<0在E上.(1)求E的方程；(2)過點SKIPIF1<0作互相垂直且與x軸均不重合的兩條直線分別交E于點A，B和C，D，若M，N分別是弦AB，CD的中點，證明：直線MN過定點.【答案】(1)SKIPIF1<0，(2)證明見解析【分析】（1）由條件列出關于SKIPIF1<0的方程，解方程求得a和b的值，即可求得橢圓的標準方程；（2）設直線l的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及中點坐標公式，即可求得M和N點坐標，求分情況求MN方程，由此證明直線MN過定點.；（1）設SKIPIF1<0，因為兩個焦點和短軸的兩個端點為正方形的四個頂點，所以SKIPIF1<0，因為點SKIPIF1<0在E上，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以E的方程為SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，由題意知直線AB和直線CD的斜率都存在且不為0，設直線AB方程為：SKIPIF1<0，與E的方程聯立SKIPIF1<0，消去x并整理，得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以點M的坐標為SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，則直線CD的方程為SKIPIF1<0，同理得SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，直線MN的斜率SKIPIF1<0，所以直線MN的方程為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以直線MN的方程即為SKIPIF1<0，顯然直線MN過定點SKIPIF1<0；當SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，此時直線MN的方程為SKIPIF1<0，也過點SKIPIF1<0.綜上所述，直線MN過定點SKIPIF1<0.【點睛】本題第二小問解決的關鍵在于聯立方程組求出SKIPIF1<0的坐標，由此確定直線方程，并判斷直線過定點.4.焦距為2c的橢圓SKIPIF1<0（a＞b＞0），如果滿足“2b=a+c”，則稱此橢圓為“等差橢圓”．(1)如果橢圓SKIPIF1<0（a＞b＞0）是“等差橢圓”，求SKIPIF1<0的值；(2)對于焦距為12的“等差橢圓”，點A為橢圓短軸的上頂點，P為橢圓上異于A點的任一點，Q為P關于原點O的對稱點（Q也異于A），直線AP、AQ分別與x軸交于M、N兩點，判斷以線段MN為直徑的圓是否過定點？說明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0，(2)是，定點（0，±10），理由見解析【分析】（1）由新定義得出SKIPIF1<0的關系，結合SKIPIF1<0可求得SKIPIF1<0；（2）設P（x0，y0）（x0≠0），則Q（﹣x0，﹣y0），寫出SKIPIF1<0方程求得SKIPIF1<0點坐標，同理得SKIPIF1<0點坐標，然后可得出以線段MN為直徑的圓的方程，由方程可確定定點坐標．(1)因為橢圓SKIPIF1<0（a＞b＞0）是“等差橢圓”，所以2b=a+c，所以c=2b﹣a，又c2=a2﹣b2，所以（2b﹣a）2=a2﹣b2，化簡得SKIPIF1<0．(2)過定點（0，±10），理由如下：由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，橢圓方程為：SKIPIF1<0，所以A（0，8），設P（x0，y0）（x0≠0），則Q（﹣x0，﹣y0），所以直線AP的方程為：SKIPIF1<0，令y=0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以以MN為直徑的圓的方程為SKIPIF1<0，結合SKIPIF1<0，化簡得SKIPIF1<0，令x=0，得y=±10，所以該圓恒過定點（0，±10）．題型二：斜率面積等定值問題【例1】動點SKIPIF1<0與定點SKIPIF1<0的距離和SKIPIF1<0到定直線SKIPIF1<0的距離之比是常數SKIPIF1<0．(1)求動點SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程；(2)經過定點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0交曲線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，設SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0恒為定值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【分析】（1）設點SKIPIF1<0，利用條件可得等式SKIPIF1<0，化簡，可得軌跡SKIPIF1<0的軌跡方程；（2）由題意可得直線SKIPIF1<0的斜率存在，設直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．直線SKIPIF1<0的方程與曲線SKIPIF1<0的方程聯立，消去SKIPIF1<0，可得根與系數的關系，由斜率公式SKIPIF1<0，化簡計算可得常數，即可得證．【詳解】（1）設點SKIPIF1<0，則根據題意有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以動點SKIPIF1<0的軌跡SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0．（2）由題意可得直線SKIPIF1<0的斜率存在，設直線SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．聯立SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0恒為定值．【例2】已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在橢圓上且位于第一象限，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求橢圓C的標準方程；(2)若M，N是橢圓C上異于點Q的兩動點，記QM，QN的傾斜角分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，試問直線MN的斜率是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)是定值，SKIPIF1<0【分析】（1）由三角形面積公式求得c的值，數量積公式求得Q點的橫坐標，Q點坐標代入橢圓方程，再由SKIPIF1<0可得結果.（2）設出QM的直線方程，聯立QM的直線方程與橢圓方程可求得點M的坐標，同理可得點N的坐標，進而可得SKIPIF1<0.【詳解】（1）∵△SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．又∵點Q位于第一象限，∴SKIPIF1<0．將點SKIPIF1<0代入橢圓SKIPIF1<0中得SKIPIF1<0．聯立SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以橢圓C的標準方程為SKIPIF1<0.（2）依題意可知，直線QM和直線QN的斜率存在，不為零且互為相反數．設直線QM的斜率為k，則直線QN的斜率為SKIPIF1<0．由（1）可知SKIPIF1<0，所以直線QM的方程為SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，消去y并化簡，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，根據直線QM，直線QN的對稱性，可知SKIPIF1<0．設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0．以SKIPIF1<0替換k，得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．所以直線MN的斜率為定值SKIPIF1<0．【例3】已知點SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0的長軸長為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，直線SKIPIF1<0的斜率之積為SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0為定值；(2)若直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【答案】(1)證明見解析；(2)SKIPIF1<0【分析】(1)根據題意求出橢圓方程為SKIPIF1<0，將橢圓，及相關直線、點進行平移，將SKIPIF1<0看作方程SKIPIF1<0的兩不等實根，進而可得SKIPIF1<0，代入直線方程化簡即可；(2)聯立直線與橢圓方程，結合韋達定理得SKIPIF1<0，化簡SKIPIF1<0，代入韋達定理即可求解.【詳解】（1）由題意知SKIPIF1<0橢圓方程為SKIPIF1<0.將橢圓平移至SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0點平移至SKIPIF1<0分別平移至SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0代入橢圓SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，兩邊同除以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0可看作關于SKIPIF1<0的一元二次方程，SKIPIF1<0的兩不等實根，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0方程為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率為定值SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的定值SKIPIF1<0.（2）設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【例4】已知橢圓SKIPIF1<0的離心率SKIPIF1<0,且橢圓C的右頂點與拋物線SKIPIF1<0的焦點重合．(1)求橢圓C的方程．(2)若橢圓C的左、右頂點分別為SKIPIF1<0,直線SKIPIF1<0與橢圓C交于E,D兩點,且點E的縱坐標大于0,直線SKIPIF1<0與y軸分別交于SKIPIF1<0兩點,問:SKIPIF1<0的值是否為定值？若是,請求出該定值;若不是,請說明理由．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)是,SKIPIF1<0【分析】(1)橢圓C的右頂點與拋物線SKIPIF1<0的焦點重合,即可求得SKIPIF1<0,根據離心率即可求得SKIPIF1<0,進而求得橢圓方程;(2)設SKIPIF1<0兩點坐標,聯立直線SKIPIF1<0與橢圓方程,得SKIPIF1<0,進而得到SKIPIF1<0之間的關系,根據SKIPIF1<0兩點坐標,根據兩點式求出直線方程,使SKIPIF1<0即可求得SKIPIF1<0,同理求得SKIPIF1<0,寫出SKIPIF1<0,將SKIPIF1<0代入化簡即可求得.【詳解】（1）解:由題知,橢圓SKIPIF1<0,設橢圓的焦距為SKIPIF1<0,因為橢圓C的離心率SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,又橢圓C的右頂點與拋物線SKIPIF1<0的焦點重合,而拋物線SKIPIF1<0的焦點為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,故橢圓C的方程為SKIPIF1<0;（2）由題意可知直線l的斜率不為0,故直線l的方程SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0,與橢圓方程聯立得SKIPIF1<0,消去x,整理可得SKIPIF1<0,設SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,由題可知SKIPIF1<0,且直線SKIPIF1<0的斜率存在,所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0,令SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,同理可得SKIPIF1<0,于是SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0的值是定值,定值為SKIPIF1<0.【點睛】思路點睛:本題考查直線與圓錐曲線的綜合應用中的定值問題,屬于難題,關于定值的問題思路有:(1)先根據題意考慮特殊情況,斜率不存在,或斜率為零;(2)根據特殊情況求出定值;(3)設普通的直線方程,聯立方程組;(4)判別式大于零,韋達定理;(5)寫出所求的式子,用SKIPIF1<0代換,化簡即可.【例5】已知橢圓SKIPIF1<0的左、右頂點分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，離心率為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為坐標原點.(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)設SKIPIF1<0是橢圓SKIPIF1<0上不同于SKIPIF1<0的一點，直線SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0分別交于點SKIPIF1<0.證明：以線段SKIPIF1<0為直徑作圓被SKIPIF1<0軸截得的弦長為定值，并求出這個定值.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)證明見解析，定值為SKIPIF1<0【分析】（1）根據SKIPIF1<0、離心率和橢圓SKIPIF1<0之間關系可直接求得結果；（2）設SKIPIF1<0，可得直線SKIPIF1<0方程，進而確定SKIPIF1<0兩點坐標，設橢圓右焦點為SKIPIF1<0，利用平面向量數量積的坐標運算可證得SKIPIF1<0，可知以SKIPIF1<0為直徑的圓過點SKIPIF1<0，由此可確定線段SKIPIF1<0為直徑作圓被SKIPIF1<0軸截得的弦長.【詳解】（1）由題意知：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，又離心率SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0的方程為：SKIPIF1<0.（2）由（1）得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；直線SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點縱坐標SKIPIF1<0，SKIPIF1<0點縱坐標SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又橢圓右焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為直徑的圓過點SKIPIF1<0，又圓心橫坐標為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為直徑的圓被SKIPIF1<0軸截得的弦長為SKIPIF1<0.即以線段SKIPIF1<0為直徑作圓被SKIPIF1<0軸截得的弦長為定值SKIPIF1<0.【點睛】關鍵點點睛：本題考查直線與橢圓綜合應用中的定值問題的求解，本題求解定值問題的關鍵是能夠利用平面向量數量積的坐標運算說明橢圓右焦點即為所求圓與SKIPIF1<0軸的其中的一個交點，由圓的對稱性可確定定值.【例6】已知SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0上一動點，過點SKIPIF1<0作SKIPIF1<0軸的垂線段SKIPIF1<0為垂足，若點SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0.(1)求點SKIPIF1<0的軌跡方程；(2)設點SKIPIF1<0的軌跡為曲線SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作曲線SKIPIF1<0的兩條互相垂直的弦，兩條弦的中點分別為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0的垂線，垂足為點SKIPIF1<0，是否存在定點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0為定值？若存在，求出點SKIPIF1<0的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0為定值.【分析】（1）先利用SKIPIF1<0得到點SKIPIF1<0坐標關于點SKIPIF1<0坐標的表示，再利用直接代入法即可求得點SKIPIF1<0的軌跡方程；（2）分類討論兩條相交弦的斜率情況，利用韋達定理證得直線SKIPIF1<0恒過定點SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0得到點SKIPIF1<0的軌跡，從而得到定點SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0為定值，由此得解.【詳解】（1）由題意得，設點SKIPIF1<0，則點SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為點SKIPIF1<0在圓SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0點軌跡方程為SKIPIF1<0.（2）①若兩條互相垂直的弦所在直線的斜率均存在，則可設直線SKIPIF1<0，聯立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0兩交點的坐標分別為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0，設直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0軸交于點SKIPIF1<0，則當直線SKIPIF1<0斜率存在時，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即直線SKIPIF1<0恒過點SKIPIF1<0；當直線SKIPIF1<0斜率不存在時，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0恒過點SKIPIF1<0；②若兩條互相垂直的弦所在直線中有一條斜率不存在，則直線SKIPIF1<0為SKIPIF1<0軸，恒過SKIPIF1<0，綜上：直線SKIPIF1<0恒過點SKIPIF1<0SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0中點SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為直徑的圓上，取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為定值；SKIPIF1<0存在點SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0為定值..【點睛】方法點睛：直線與圓錐曲線位置關系的題目，往往需要聯立兩者方程，利用韋達定理解決相應關系，其中的計算量往往較大，需要反復練習，做到胸有成竹.【例7】已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的右焦點為SKIPIF1<0在橢圓SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0的最大值與最小值分別是6和2.(1)求橢圓SKIPIF1<0的標準方程.(2)若橢圓SKIPIF1<0的左頂點為SKIPIF1<0，過點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0（異于點SKIPIF1<0）兩點，直線SKIPIF1<0分別與直線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，試問SKIPIF1<0是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請說明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)是定值，定值為SKIPIF1<0【分析】（1）根據橢圓的標準方程列方程組求解即可；（2）當直線SKIPIF1<0斜率不存在時，易得SKIPIF1<0，當直線SKIPIF1<0斜率存在時，設直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將直線與橢圓成聯立，利用韋達定理結合向量數量積的坐標公式求解即可.【詳解】（1）設橢圓SKIPIF1<0的焦距為SKIPIF1<0，由題意可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故橢圓SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0.（2）由（1）得SKIPIF1<0，當直線SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0軸時，SKIPIF1<0，代入橢圓方程SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為定值，則必為SKIPIF1<0，當直線SKIPIF1<0的斜率存在時，設直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，聯立SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，直線SKIPIF1