福建省三明市泰寧第三中學2021-2022學年高三數學理下學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.設函數，則當時，表達式的展開式中常數項為（

）A．-20

B．20

C．-15

D．15參考答案：A2.已知集合，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C3.已知是虛數單位.若＝，則 A. B.

C. D.參考答案：A4.已知函數（其中），則下列選項正確的是（）A．，都有

B．，當時，都有

C.，都有

D．，當時，都有參考答案：B因為當時，，所以舍去C,D因為，所以A錯，選B.

5.已知是周期為2的奇函數，當時，設則(

)A.

B.C.D.參考答案：知識點：奇函數對數函數的性質B4B7D解析：因為，，所以c＜a＜b，則選D.【思路點撥】利用函數的周期性及奇偶性把所給的函數值轉化到已知區間代入已知函數解析式，即可比較大小.6.如圖是正方體的平面展開圖，在這個正方體中,有以下5個命題：①與垂直；②與平行；③與是異面直線；④與成角；⑤異面直線。其中正確的個數為（

）A．1 B．2

C．3 D．4參考答案：C7.若復數，在復平面內對應的點關于y軸對稱，且，則復數（

）A．－1

B．1

C．

D．參考答案：C，所以，故選C.8.已知l、m是兩直線，α是平面，l∥α，m⊥α，則直線l、m的關系是（）A．l∥m B．l⊥mC．l與m是相交直線 D．l與m是異面直線參考答案：B【考點】LP：空間中直線與平面之間的位置關系．【分析】由線面垂直的性質定理及線面平行的性質定理得直線l、m的關系為l⊥m．【解答】解：∵l、m是兩直線，α是平面，l∥α，m⊥α，∴由線面垂直的性質定理及線面平行的性質定理得直線l、m的關系為l⊥m．故選：B．【點評】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系的應用，考查推理論證能力、運算求解能力、空間思維能力，考查函數與方程思想、化歸轉化思想、數形結合思想，是基礎題．9.2019年是新中國成立七十周年，新中國成立以來，我國文化事業得到了充分發展，尤其是黨的十八大以來，文化事業發展更加迅速，下圖是從2013年到2018年六年間我國公共圖書館業機構數（個）與對應年份編號的散點圖（為便于計算，將2013年編號為1，2014年編號為2，…，2018年編號為6，把每年的公共圖書館業機構個數作為因變量，把年份編號從1到6作為自變量進行回歸分析），得到回歸直線，其相關指數，給出下列結論，其中正確的個數是(

)①公共圖書館業機構數與年份的正相關性較強②公共圖書館業機構數平均每年增加13.743個③可預測2019年公共圖書館業機構數約為3192個A.0 B.1 C.2 D.3參考答案：D【分析】根據和確定是正相關還是負相關以及相關性的強弱；根據的值判斷平均每年增加量；根據回歸直線方程預測年公共圖書館業機構數.【詳解】由圖知點散布在從左下角到右上角的區域內，所以為正相關，又趨近于1，所以相關性較強，故①正確；由回歸方程知②正確；由回歸方程，當時，得估計值為3191.9≈3192，故③正確.故選：D.【點睛】回歸直線方程中的的大小和正負分別決定了單位增加量以及相關型的正負；相關系數決定了相關性的強弱，越接近1相關性越強.10.已知二次函數的導函數為與x軸恰有一個交點則使恒成立的實數k的取值范圍為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：A∵二次函數∴∵∴∵與軸恰有一個交點∴，即.∵恒成立∴恒成立，即.∵，當且僅當時取等號∴故選A.

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設為定義在上的奇函數，當時，（為常數），則

；參考答案：-312.已知命題，，命題，，則

（

）

A.命題是假命題

B.命題是真命題

C.命題是真命題

D.命題是假命題參考答案：C略13.將函數的圖象沿向量平移后，得到函數的圖象，則函數

．參考答案：14.若平面向量=（cosθ，sinθ），=（1，﹣1），且⊥，則sin2θ的值是．參考答案：1

【考點】三角函數中的恒等變換應用；平面向量數量積的運算．【分析】利用向量垂直，就是數量積為0，求出cosθ﹣sinθ=0，兩邊平方，利用同角三角函數基本關系式，二倍角的正弦函數公式可求sin2θ的值．【解答】解：因為⊥，所以?=0，即：cosθ﹣sinθ=0，兩邊平方可得：cos2θ﹣2sinθcosθ+sin2θ=0，可得：1﹣sin2θ=0，解得：sin2θ=1．故答案為：1．15.__________參考答案：1

知識點：三角恒等變形

難度：1.16.在工程技術中，常用到雙曲正弦函數和雙曲余弦函數，雙曲正弦函數和雙曲余弦函數與我們學過的正弦函數和余弦函數有許多相類似的性質，請類比正、余弦函數的和角或差角公式，寫出關于雙曲正弦、雙曲余弦函數的一個正確的類似公式

．參考答案：填入，，，四個之一即可．略17.已知，，那么

；參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.設函數． （Ⅰ）已知曲線在點處的切線的斜率為，求實數的值； （Ⅱ）討論函數的單調性； （Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，求證：對于定義域內的任意一個，都有．參考答案：略19.已知橢圓過點．（1）求橢圓C的方程，并求其離心率；（2）過點P作x軸的垂線l，設點A為第四象限內一點且在橢圓C上（點A不在直線l上），點A關于l的對稱點為，直線與C交于另一點B．設O為原點，判斷直線AB與直線OP的位置關系，并說明理由．參考答案：（1）見解析；（2）見解析．（1）由橢圓方程橢圓過點，可得．∴，∴橢圓的方程為，離心率．（2）直線與直線平行．證明如下：設直線，，設點的坐標為，，由得，∴，∴，同理，∴，由，，有，∵在第四象限，∴，且不在直線上．∴，又，故，∴直線與直線平行．20.（本小題滿分12分）2014年“雙節”期間，高速公路車輛較多。某調查公司在一服務區從七座以下小型汽車中按進服務區的先后每間隔50輛就抽取一輛的抽樣方法抽取40名駕駛員進行詢問調查，將他們在某段高速公路的車速（km/t）分成六段：后得到如圖的頻率分布直方圖．（1）求這40輛小型車輛車速的眾數和中位數的估計值.(2)若從車速在的車輛中任抽取2輛，求車速在的車輛恰有一輛的概率.參考答案：(1)77.5(2)【知識點】隨機抽樣；古典概型.I1K2解析：（1）眾數的估計值為最高的矩形的中點，即眾數的估計值等于

……2分設圖中虛線所對應的車速為，則中位數的估計值為：，解得即中位數的估計值為

………5分（2）從圖中可知，車速在的車輛數為：（輛），………6分車速在的車輛數為：（輛）

………7分

設車速在的車輛設為，車速在的車輛設為，則所有基本事件有：共15種

………………

10分其中車速在的車輛恰有一輛的事件有：共8種

………11分所以，車速在的車輛恰有一輛的概率為.

………………12分。【思路點撥】（1）選出直方圖中最高的矩形求出其底邊的中點即為眾數；求出從左邊開始小矩形的面積和為0.5對應的橫軸的左邊即為中位數；利用各個小矩形的面積乘以對應矩形的底邊的中點的和為數據的平均數．（2）從圖中可知，車速在[60，65）的車輛數和車速在[65，70）的車輛數．從車速在（60，70）的車輛中任抽取2輛，設車速在[60，65）的車輛設為a，b，車速在[65，70）的車輛設為c，d，e，f，列出各自的基本事件數，從而求出相應的概率即可．21.（本小題滿分13分）某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖4所示，其中成績分組區間是：，，，，.

（1）求圖中的值；

（2）根據頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分；（3）若這100名學生語文成績某些分數段的人數（）與數學成績相應分數段的人數（）之比如下表所示，求數學成績在之外的人數.分數段

參考答案：（1）依題意得，，解得。（2）這100名學生語文成績的平均分為：（分）。（3）數學成績在的人數為：，數學成績在的人數為：，數學成績在的人數為：，數學成績在的人數為：

所以數學成績在之外的人數為：。

22.已知函數f(x)=-ax(a∈R,e為自然對數的底數).(1)討論函數f(x)的單調性；(2)若a=1，函數g(x)=(x-m)f(x)-+x2+x在區間（0，+）上為增函數，求整數m的最大值.參考答案：解：（Ⅰ）定義域為，，當時，，所以在上為增函數；………………