實驗設計及數據分析2011-09-20第二章試驗設計基礎教學目的與要求了解試驗設計的基本術語；掌握試驗設計的基本原則；熟悉試驗的誤差及來源；了解試驗數據的特征數；熟悉統計假設檢驗；掌握試驗設計的基本程序。第五節統計假設檢驗一、預備知識統計推斷的結論可靠要求滿足三個條件代表性科學的抽樣方法：隨機抽樣正確的統計方法1.二項式分布2.正態分布3.t分布4.F分布二、統計檢驗的原理和基本思想（一）t檢驗（二）F檢驗1.二項式分布

（一）貝努里試驗及其概率公式貝努里試驗：對于n次獨立的試驗，如果每次試驗結果出現且只出現對立事件A與之一，在每次試驗中出現A的概率是常數p(0<p<1)，因而出現對立事件的概率是1-p=q，則稱這一串重復的獨立試驗為n重貝努里試驗，簡稱貝努里試驗(Bernoullitrials)。重要的離散型分布只有兩種可能結果的隨機試驗稱為貝努里試驗。食品抽樣中，產品合格或不合格，種子發芽或不發芽，施藥后害蟲死或活等等。貝努里試驗的概率公式在貝努里試驗中，事件A可能發生，也可能不發生，用隨機變量x表示貝努里試驗的兩種結果，記A發生時取1，A不發生時取0。那么，貝努里試驗的概率公式可以表示為：P（x＝1）＝pP（x＝0）＝q其中x＝1，A事件發生，成功0，A事件未發生，失敗在n重貝努里試驗中，事件A可能發生0，1，2，…，n次，現在我們來求事件A

恰好發生k(0≤k≤n)次的概率Pn(k)。事件A在n次試驗中正好發生k次共有種情況。由貝努里試驗的獨立性可知，A在k次實驗中發生，而在其余n-k次試驗中不發生的概率為（二）二項分布的定義及其特點一般，在n重貝努里試驗中，事件A恰好發生k(0≤k≤n)次的概率為若把上式與二項展開式相比較就可以發現，在n重貝努里試驗中，事件A發生k次的概率恰好等于展開式中的第k+1項，所以也把上式稱作二項概率公式。二項分布的定義

設隨機變量x所有可能取的值為零和正整數：0,1,2,…，n，且有

其中p＞0，q＞0，p+q=1，則稱隨機變量x服從參數為n和p的二項分布

(binomialdistribution)，記為

x～B(n，p)。二項分布是一種離散型隨機變量的概率分布。參數n稱為離散參數，只能取正整數；p是連續參數，它能取0與1之間的任何數值(q由p確定，故不是另一個獨立參數)。圖2-1n值不同的二項分布比較圖2-2p值不同的二項分布比較2.正態分布（normaldistribution）

正態分布是一種很重要的連續型隨機變量的概率分布。自然現象中有許多變量是服從或近似服從正態分布的。如食品中各種成分的含量、有害物質殘留量、瓶裝食品的重量、分析測定過程中的隨機誤差等等。許多統計分析方法都是以正態分布為基礎的。此外，還有不少隨機變量的概率分布在一定條件下以正態分布為其極限分布。因此在統計學中，正態分布無論在理論研究上還是實際應用中，均占有十分重要的地位。

正態分布是統計推斷中最重要的一種連續型分布，如果隨機變量x的概率密度函數是：則稱x服從正態分布，記作x~N(μ,σ2)，其中μ為隨機變量x的均值，σ為隨機變量x的標準差，它們是正態分布的兩個參數。正態曲線（normalcurve）圖形特點：單峰、鐘型、左右對稱；x＝μ最高處對應于x軸的值就是均數μ拐點f(x)是非負函數，以x軸為漸近線兩個參數：μ是位置參數σ是形狀參數曲線下面積為1xf(x)m

μ決定曲線的位置，σ決定曲線的“胖瘦”圖2-3σ相同而μ不同的3個正態分布圖2-4μ相同而σ不同的3個正態分布t分布是由W.S.Gosset發現的。它的概率分布密度函數如下：式中，df=n-1為自由度，t的取值范圍是（-∞，+∞）t分布的平均數和標準差為：μt＝0（假定df>2）（假定df>1）3.t

分布（t－distribution）t分布密度曲線如圖2-5所示圖2-5不同自由度的t分布（1）t分布受自由度的制約，每一個自由度都有一條t分布密度曲線。（2）t分布密度曲線以縱軸為對稱軸，左右對稱，且在t＝0時，分布密度函數取得最大值。（3）與標準正態分布曲線相比，t分布曲線頂部略低，兩尾部稍高而平。df越小這種趨勢越明顯。df越大，t分布越趨近于標準正態分布。當n>30時，t分布與標準正態分布的區別很?。籲>100時，t分布基本與標準正態分布相同；n→∞時，t

分布與標準正態分布完全一致。t分布的特點：

t分布的概率分布函數為：因而t在區間（t1，+∞）取值的概率—右尾概率為1-Ft(df)。由于t分布左右對稱，t在區間（-∞，-t1）取值的概率也為1-Ft（df)。

于是t分布曲線下由-∞到-t1和由t1到+∞兩個相等的概率之和—兩尾概率為2(1-Ft(df))。對于不同自由度下t分布的兩尾概率及其對應的臨界t值已編制成附表1，即t值表（p219）。

例如，當df=15時，查附表1得兩尾概率等于0.05的臨界t值為=2.131，其意義是：

P(-∞<t<-2.131)=P(2.131<t<+∞)=0.025；

P(-∞<t<-2.131)+

(2.131<t<+∞)=0.05。

由附表1可知，當df一定時，概率P越大，臨界t值越小；概率P越小，臨界t值越大。當概率P一定時，隨著df的增加，臨界t值在減小，當df=∞時，臨界t值與標準正態分布的臨界u值相等。在一個平均數為μ、方差為σ2的正態總體中，隨機抽取容量為n1和n2的兩個樣本，則這兩個樣本方差為S12與S22

之比值定義為統計量F，即4.F分布（Fdistribution）服從第一自由度為df1=n1-1，第二自由度為df2＝n2-1的F分布。記為F分布密度曲線是隨自由度df1、df2的變化而變化的一簇偏態曲線，其形態隨著df1、df2的增大逐漸趨于對稱，如圖2-6所示，其臨界值制成表2（p221,單尾）。圖2-6不同自由度的F分布方差齊性檢驗時可能用雙側檢驗，此時查的是α/2的臨界值。二、統計檢驗的原理和基本思想（一）t檢驗單個樣本均值t檢驗兩個均值差t檢驗成組數據成對數據（二）F檢驗（方差齊性檢驗）總體樣本參數統計量S方差S2標準差平均數R極差抽樣估計、檢驗為了了解總體分布、特征構造……CV,S假設檢驗的基本原理：小概率原理概率很小的事件，在一次試驗中是不可能發生的，這一原理稱為小概率原理。比如有人說，某廠生產的1000個產品中只有一個是次品，即次品率為1/1000，現從中隨機抽取一個，結果恰好是次品，此時我們會懷疑此人的說法，認為次品率不是1/1000。所以，假設檢驗的基本思想可以概括成一句話：“是某種帶有概率性質的反證法”！二、統計檢驗的原理和基本思想假設檢驗的步驟（一）提出假設（二）確定顯著水平（三）計算統計量（四）推斷并做出結論二、統計檢驗的原理和基本思想第一步：提出無效假設H0（又稱零假設）和備擇假設HA

。

H0：樣本與總體或樣本與樣本間的差異是由抽樣誤差引起的。

HA：樣本與總體或樣本與樣本間存在本質差異。二、統計檢驗的原理和基本思想假設的形式（以單個樣本檢驗為例）：

H0——無效假設，HA——備擇假設雙尾檢驗：H0：μ=μ0

，

HA：μ≠μ0單尾檢驗：H0：μ≥μ0

，HA：μ＜μ0H0：μ≤μ0

，

HA：μ＞μ0假設檢驗就是根據樣本觀察結果對無效假設（H0）進行檢驗，接受H0，就否定HA；拒絕H0，就接受HA。第二步：確定檢驗的顯著水平。預先設定的顯著水平或概率水平為0.05或0.01，即α＝0.05或α＝0.01。二、統計檢驗的原理和基本思想第三步：計算統計量。選定統計方法，計算出統計量的大小。根據資料的類型和特點，可分別選用t檢驗，u檢驗，F檢驗和卡方檢驗等。根據統計量的大小及其分布確定檢驗假設成立的可能性p的大小。二、統計檢驗的原理和基本思想第四步：推斷并做出結論。根據小概率原理作判斷。若p≤0.05或0.01,則H0成立的可能性小，即拒絕H0。若p＞0.05，則H0成立的可能性還不小，還不能拒絕H0，即接受H0。二、統計檢驗的原理和基本思想p＞0.05，這時稱“差異不顯著”，記為“ns”或不標記；接受。0.01＜p≤0.05，這時稱“差異顯著”，記為“*”；接受。p≤0.01，這時稱“差異極顯著”，記為“**”；接受。二、統計檢驗的原理和基本思想雙尾檢驗與單尾檢驗

（一）雙尾檢驗

(two-tailedtest)

在假設檢驗中，無效假設為，備擇假設為。此時備擇假設包括了或兩種可能。這個假設的目的在于判斷有無差異，而不考慮誰大誰小。此時，在α水平上否定域為(-∞，-）和（，+∞)，對稱地分配在正態分布曲線的兩側尾部，每尾的概率為α/2，如圖所示。這種利用兩尾概率進行的檢驗叫雙尾檢驗，

為雙尾檢驗的臨界u值。單尾檢驗

雙尾檢驗圖A圖B

(二）單尾檢驗(one-tailedtest)

但在有些情況下，雙尾檢驗不一定符合實際情況。如采用某種新的配套技術措施以期提高雞的產蛋量，已知此種配套技術的實施不會降低產蛋量。若進行新技術與常規技術的比較試驗，無效假設應為，即假設新技術的實施沒有提高產蛋量，備擇假設應為，即新配套技術的實施使產蛋量有所提高。

檢驗目的在于推斷實施新技術是否提高了產蛋量，這時的否定域在分布曲線的右尾。在α水平上，的否定域為（，+∞），右尾的概率為α，如圖A所示。若無效假設為，備擇假設為，此時的否定域在t分布曲線的左尾。在α水平上，的否定域為(-∞，-)，左尾的概率為α。如圖B所示。這種利用一尾概率進行的檢驗叫單尾檢驗。此時為單尾檢驗的臨界u值。接受或拒絕H0，都可能犯錯誤假設檢驗中的兩類錯誤

第一類錯誤——棄真錯誤，發生的概率為α第二類錯誤——取偽錯誤，發生的概率為β二、統計檢驗的原理和基本思想表2-1統計假設檢驗結果的4種情況檢驗結果客觀存在正確錯誤否定Ⅰ型錯誤(α)推斷正確(1-β)接受推斷正確(1-α)Ⅱ型錯誤(β)t檢驗單個樣本均值t檢驗例2.1為了鑒定一個分析方法的準確度，取質量為100mg的基準物進行10次測定，所得數據為100.3，99.2，99.4，100.0，99.7，99.9，99.4，100.1，99.4，99.6，試對這組數據進行評價。Excel、spss解：（1）提出假設

H0:μ=μ0=100(mg)；即認為這組數據與標準值無顯著差異。

HA:μ≠μ0（2）選取顯著水平α＝0.05（3）計算統計量（4）推斷并做出結論查表1，得雙尾t0.05（9）＝2.262，|t|＞t0.05（9）