平行四邊形經典題型(培優提高)

使它成為中心對稱圖形，并畫出對稱中心．中心對稱與平行四邊形的判定中心對稱圖形的定義是指，將一個圖形繞著某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原圖形重合，那么這個圖形就是中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。中心對稱與中心對稱圖形的區別在于，中心對稱是指兩個全等圖形之間的位置關系，而中心對稱圖形是指一個圖形本身成中心對稱，中心對稱圖形上所有點關于對稱中心的對稱點都在這個圖形本身上。中心對稱圖形的對稱點所連線段都經過對稱中心，而且被對稱中心所平分。它的兩個部分是全等的。常見的中心對稱圖形有矩形、菱形、正方形、平行四邊形、圓、邊數為偶數的正多邊形和某些規則圖形等。正偶邊形是中心對稱圖形，而正奇邊形不是中心對稱圖形，如正三角形和等腰梯形。平行四邊形的性質包括兩組對邊相等、兩組對角相等以及對角線互分平分。平行四邊形的判定有四個定理，分別是一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形以及兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。三角形的中位線定理是指，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。逆定理1是在三角形內，與三角形的兩邊相交，平行且等于三角形第三邊一半的線段是三角形的中位線，而逆定理2是在三角形內，經過三角形一邊的中點，且與另一邊平行的線段，是三角形的中位線。練習題：1.平行四邊形是既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形的圖形。2.正三角形不是中心對稱圖形。3.平行四邊形是既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的圖形。4.在三個相同的小正方形拼成的圖形中，添加一個同樣大小的小正方形，使它成為中心對稱圖形，并畫出對稱中心。第五節：平行四邊形的判定例1：判斷下列說法的正誤，如果錯誤請畫出反例圖。①一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形。(錯誤)②一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形。(正確)③一組對邊平行，一組對角相等的四邊形是平行四邊形．(錯誤)④一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．(正確)⑤兩組鄰角互補的四邊形是平行四邊形。(錯誤)⑥相鄰兩個角都互補的四邊形是平行四邊形。(正確)⑦對角互補的四邊形是平行四邊形。(錯誤)⑧一條對角線分四邊形為兩個全等三角形，這個四邊形是平行四邊形。(正確)⑨兩條對角線相等的四邊形是平行四邊形。(錯誤)例2：如圖所示，平行四邊形ABCD中，M、N分別為AD、BC的中點，連結AN、DN、BM、CM，且AN、BM交于點P，CM、DN交于點Q.四邊形MGNP是平行四邊形嗎？為什么？答：是平行四邊形。因為MN∥AB，且MN=AB/2，所以MN=GP。同理可得，MN=GN。所以四邊形MGNP是平行四邊形。變式1：□ABCD中，E在AB上，F在CD上，且AE=CF，求證：FM=NE，ME=NF。答：連接EF，交AC、BD于點G、H。由題可知，AE=CF，所以△AEG≌△CFH，AG=CH。又因為AG=2GM，CH=2HN，所以GM=HN，即MN∥EF。又因為ME=NE，所以四邊形MNEF是平行四邊形。同理可得，四邊形MNFH也是平行四邊形。所以FM=NE，ME=NF。課堂練習：1.點A，B，C，D在同一平面內，從四個條件中（1）AB=CD，（2）AB∥CD，（3）BC=AD，（4）BC∥AD中任選兩個，使四邊形ABCD是平行四邊形，這樣的選法有（B．4種）。2.如圖所示，□ABCD的對角線AC、BD交于O，EF過點O交AD于E，交BC于F，G是OA的中點，H是OC的中點，四邊形EGFH是平行四邊形，因為OG=GH，OE=EF/2，所以ME=NF，同理可得，四邊形MNEF是平行四邊形。3.如圖：在四邊形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC=6cm，AD=9cm，P、Q分別A、C同時出發，P以1cm/s的速度由A向D運動，Q以2cm/s的速度由C向B運動，__秒時直線QP將四邊形截出一個平行四邊形。答：由題可知，AD∥BC，所以四邊形ABCD是平行四邊形。設QP與AB的交點為E，與CD的交點為F，則四邊形EQPF是平行四邊形。設QP與AD的交點為G，與BC的交點為H，則GH=2BG，所以GH=12cm。設QP與EF的交點為M，則ME=MG=1/3QP，NF=NG=2/3QP。所以四邊形MNEF是平行四邊形。4.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，將△ABC沿直線BC向右平移2.5個單位得到△DEF，AC與DE相交于G點，連接AD，AE，則下列結論中成立的是③△ADE為等腰三角形。因為BC∥DE，所以△ABC≌△DEG，所以DG=3，EG=4。因為DEF平移了2.5個單位，所以DF=2.5，所以AE=5.5。由勾股定理可得，DE=√(DG2+EG2)=5。所以△ADE為等腰三角形。5.在平面直角坐標系XOY中，已知點A（3，2）、B（-1，-4），P為X軸上的一點，Q為Y軸上的一點，且以點A、B、P、Q四個點為頂點的四邊形是平行四邊形。求點Q的坐標。解析：因為以點A、B、P、Q四個點為頂點的四邊形是平行四邊形，所以向量AB=向量PQ，即(3-(-1),2-(-4))=(x,0)。解得x=4，所以Q的坐標為(0,4)。6.如圖1、圖2所示，△ABC是等邊三角形，D、E分別是AB、BC邊上的兩個動點（與點A、B、C不重合），始終保持BD=CE。（1）當點D、E運動到如圖1所示的位置時，證明CD=AE。（2）把圖1中的△ACE繞著A點順時針旋轉60°到△ABF的位置（如圖2），分別連接DF、EF。①找出圖中所有的等邊三角形（△ABC除外），并對其中一個給予證明；②判斷四邊形CDFE的形狀，并說明理由。解析：（1）如圖1所示，連接AC，因為△ABC是等邊三角形，所以AC=AB=BC，又因為BD=CE，所以AD=AE，所以△ACD和△ABE是全等三角形，因此CD=AE。（2）①圖中所有的等邊三角形有△ABC、△ACE、△ADF、△BDE、△BEF。②四邊形CDFE是菱形，因為CD=AE（已證明），且∠CED=∠BDC=∠BDE（因為BD=CE），所以△CED和△BDC是全等三角形，所以∠ECD=∠BDC，又因為∠ACE=∠ABD=60°，所以∠ECF=∠ABF=120°，所以四邊形CDFE的對角線互相垂直，且長度相等，因此是菱形。7.如圖，以△ABC的三條邊為邊向BC的同一側作等邊△ABP、等邊△ACQ，等邊△BCR，證明四邊形PAQR是平行四邊形。解析：連接AP、AQ，因為BP=AP，CQ=AQ，所以BP=CQ，又因為BP∥CQ，所以BPQC是平行四邊形，所以BPQC的對角線互相平分，所以AP=QC，AQ=BP，所以PAQR是平行四邊形。8.等邊三角形ABC的邊長為a，P為△ABC內一點，且PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，求PD+PE+PF的值，并說明這個定值的來歷。解析：連接AD、BE、CF，如圖所示。因為△ABC是等邊三角形，所以AD、BE、CF都是三角形的中線，所以AD=BE=CF=a/2。又因為PD∥AB，所以△PDA和△ABC相似，所以PD/AB=AD/AC，即PD=a/2×AD/AC，同理可得PE=a/2×BE/BA，PF=a/2×CF/CB，所以PD+PE+PF=a/2×(AD/AC+BE/BA+CF/CB)。因為AD=BE=CF=a/2，所以PD+PE+PF=a/2×(1/AC+1/BA+1/CB)。這個定值叫做三角形的費馬點的質心坐標，表示為(a/3,a/3)。費馬點是指平面上到三角形三個頂點距離之和最小的點，也稱為最小和點。費馬點的質心坐標可以通過三角形三個頂點坐標求解得到。9.如圖所示，M、N分別為平行四邊形ABCD邊BC、CD上的點，且MN∥BD。證明△AND的面積等于△ABM的面積，并說明理由。解析：連接AN、BM，如圖所示。因為MN∥BD，所以△ANM和△BDM相似，所以AN/BD=MN/DM，即AN/BC=MN/CD，所以AN=BC×MN/CD。同理可得BM=AB×MN/BC。因為ABCD是平行四邊形，所以BC=AD，CD=AB，所以AN=AD×MN/AB，BM=AB×MN/BC。因為MN∥BD，所以∠AMB=∠AND，所以△ANM和△BMA相似，所以AM/AN=BM/MN，即AM/AD=BM/BC，所以AM+BM=AB。所以△AND和△ABM的高分別為AN、BM，底邊分別為AD、AB，且底邊長度相等，所以它們的面積相等。10.如圖，某村有一口呈四邊形的池塘，在它的四個角A、B、C、D處均種有一棵大核桃樹，這村準備開挖池塘建養魚池，想使池塘面積擴大一倍，又想保持核桃樹不動，并要求擴建后的池塘成平行四邊形形狀。請問這村能否實現這一設想？若能，請你設計并畫出圖形；若不能，請說明理由。解析：這個設想不能實現。因為四邊形ABCD的面積等于四個三角形的面積之和，即S△ABD+S△BCD+S△CDA+S△ABC。如果要使池塘面積擴大一倍，就要使四個三角形的面積之和擴大一倍。但是，核桃樹不動，所以四邊形ABCD的周長不變，即AB+BC+CD+DA不變，所以△ABC、△BCD、△CDA、△ABD的高都不變，所以它們的面積也不變，所以無法使四個三角形的面積之和擴大一倍，因此不能實現這一設想。B．線段EF的長度逐漸增加。C．線段EF的長度不變。D．線段EF的長度與點P的位置有關。3.如圖，DE是△ABC的中位線，F是DE的中點，CF的延長線交AB于點G，則AG:GD等于（）A.2:1B.3:1C.3:2D.4:34.如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，E，F，G分別是AB，CD，AC的中點，若∠DAC=20°，∠ACB=66°，則∠FEG等于（）A.47°B.46°C.11.5°D.23°5.如圖，M是△ABC的邊BC的中點，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足為N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，則△ABC的周長是（）A.28B.32C.18D.256.如圖，在△ABC中，D、E、F分別為BC、AC、AB的中點，AH⊥BC于點H，FD=8cm，則HE的長度為（）A.20cmB.16cmC.12cmD.8cm7.已知：如圖所示，在△ABC中，點D，E，F分別為BC，AD，CE的中點，且S△ABC=4cm2，則陰影部分的面積為_________cm2。（刪除明顯有問題的段落）8.如下圖，已知BE、CD分別是△ABC的角平分線，并且AE⊥BE于E點，AD⊥DC于D點。求證：（1）DE∥BC；（2）∠AED=∠BDC。（刪除明顯有問題的段落）9.如圖，已知四邊形ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，AC=BD，M、N分別是AB、CD的中點，M、N分別交BD、AC于E、F。求證：△OEF是等腰三角形。（刪除明顯有問題的段落）10.已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，M、N分別是AB、CD的中點，AD、BC的延長線交MN于E、F。求證：∠DEN=∠F。（刪除明顯有問題的段落）課下練習1.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（）A.平行四邊形B.正八邊形C.等腰梯形D.等邊三角形2.下面的說法中，正確的是（）C.一組對邊平行的四邊形是平行四邊形3.根據下列條件，能作出平行四邊形的是（）B.相鄰兩邊的長分別是3和5，且一條對角線長為94.如圖，DE是△ABC的中位線，M是DE的中點，CM的延長線交AB于點N。求S△DMN：S四邊形ANME的比值。5.如圖，已知矩形ABCD中，R、P分別是DC、BC上的點，E、F分別是AP、RP的中點。當P在BC上從B向C移動而R不動時，下列結論中成立的是（）。A.線段EF的長度逐漸增大B.線段EF的長度逐漸減小C.線段EF的長度不改變D.線段EF的長度不能確定6.如圖，A1，B1，C1分別是BC，AC，AB的中點，A2，B2，C2分別是B1C1，A1C1，A1B1的中點……這樣延續下去。已知△ABC的周長為1，△A1B1C1的周長為L1，△ABC的周長為L2……AnBnCn的周長為Ln，則Ln=_________。7.如圖，在△ABC中，AB=AC。M、N分別是AB、AC的中點，D、E為BC上的點，連接DN、EM。若AB=13cm，BC=10cm，DE=5cm，則圖中陰影部分的面積為多少平方厘米。8.如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm，P、Q、M、N分別從A、B、C、D出發，沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的邊上同時運動。當有一個點先到達所在運動邊的另一個端點時，運動即停止。已知在相同時間內，若BQ=xcm（x≠0），則AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x/2cm。（1）當x為何值時，點P、N重合；（2）當x為何值時，以P、Q、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形。9.如圖，已知AD為△ABC的角平分線，AB＜AC，在AC上截取CE=AB，M、N分別為BC、AE的中點。證明：MN∥AD。10.（1）如圖所示，BD，CE分別是△ABC的外角平分線，過點A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別為F，G，連接FG，延長AF，AG，與直線BC分別交于點M、N。求線段FG與△ABC的周長之間的數量關系。（2）如圖，若BD，CE分別是△ABC的內角平分線，其他條件不變，線段FG與△ABC三邊之間的數量關系是什么？請給出猜想并證明。根據圖示，假設BD為△ABC的內角平分線，CE為△ABC的外角平分線。我們需要猜測線段FG與△ABC三邊之間的數量關系，不需要