第一講行列式的定義設有4個數排成2行2列（橫排稱行、豎排稱列）的數表定義為上述數表所確定的二階行列式。§1二階與三階行列式

一、二階行列式的定義a11a22主對角線-a12a21副對角線

二階行列式的對角線法則§1二階與三階行列式

例1計算解=13元素aij行標列標,a12a21==幾何意義：有向面積、體積

例2計算解：二、三階行列式定義規定為上述數表所確定的三階行列式.三階行列式的對角線法則紅線（主對角線方向）上的三元素的乘積冠以正號，藍線（副對角線方向）上的三元素的乘積冠以負號．例２

解：例3解方程左端二、三階、四階、…n階行列式46852909073-472846885290390732-4728101579四階行列式五階行列式注：行列式的值是一個數；對角線法則只適用于二階與三階行列式．25431是一個排列例如，3421是排列；例1．寫出1、2、3所有的排列解：所有的排列為：321312，231，213，132，123，1、排列：將n個不同的元素排成一列，稱為這n個元素的一個排列。§2全排列及其逆序數2、逆序、逆序數標準次序：由小到大的次序。如12。逆序：若排列中的兩個數字的先后次序與標準次序相反（由大到小）時，稱這兩個數構成一個逆序。逆序數：一個排列中的逆序總數，記作例：τ(231）τ(p1p2…pn）τ(3421)設p1p2…pn為1、2…n的一個排列.

比p2大且放在p2前的元素有t1個；

……

比pn大且放在pn前的元素有tn-1個；則該排列的逆序數為：τ(p1p2…pn）=t1+t2+…+tn-13、求逆序數的方法：=7例：求τ(1234)，τ(32514）

τ(3712456)τ(41253)=1+1+0+2=4=1+0+3+1=5=0

逆序數是奇數的排列，稱為奇排列4、奇排列與偶排列：逆序數是偶數或0的排列，稱為偶排列例2判斷下列排列的奇偶性1234,32514,

41253=7例：求τ(1234)，τ(32514）

τ(3712456)τ(41253)=4=5=0奇排列奇排列偶排列偶排列1、概念的引入：特點（2）每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積．§3n階行列式的定義（1）三階行列式的值為6（）項的代數和．(行標按標準順序，列標做全排列)當行標按標準順序排列以后，由列標排列的逆序數確定行標排列：123列標排列：231(3)各項的正負號確定：

2、n階行列式的定義：（1）n階行列式的值為n!項的代數和，是一個數

（3）每一項的正負號確定：當行標按標準順序排列以后，由列標排列的逆序數確定

注：一階行列式|a|的值就是a.

（2）每一項都是取自不同行不同列的n個元素的乘積。副對角線主對角線元素aij1，2，…n的全排列例1三階行列式解1、2、3的所有排列為：321312，231，213，132，123，1，2，3的全排列

4階行列式

a11a21a31a41

a12a22a32a42

a13a23a33a43

a14a24a34a44

1、2、3、4的所有排列為4!=24個：41234132，……，1243，1234，==…+++…1，2，3，4的全排列例2、

4階行列式

a11a21a31a41

a12a22a32a42

a13a23a33a43

a14a24a34a44

a23a14a42a31a14a23a31a44

a34a21a12a43試確定下列各項的正負號：

a13a31a22a44例3計算n階下三角行列式D的值其中aii0(i=1,2,

,n)D=a11a21a31…an1

0a22a32…an2

00a33…an3

000…ann

……………

解D=(-1)τ(12n)a11a22a33ann第1行只能取a11，第3行只能取a33，第2行只能取a22，第n

行只能取ann。

，

這樣不為零的乘積項只有a11a22a33ann，所以=a11a22a33ann。例4計算n階上三角行列式的值其中aii0(i=1,2,

,n)解D=(-1)τ(12n)a11a22a33ann第1行只能取a11.第n-2行只能取an-2n-2，第n-1行只能取an-1n-1，第n

行只能取ann，

，

這樣不為零的乘積項只有a11a22a33ann，所以=a11a22a33ann。a1100…0a12a220…0a13a14a33…0a1na2na3n…ann

……………

，下三角行列式的值a11a21a31…an1

0a22a32…an2

00a33…an3

000…ann

……………

=a11a22a33ann。

上三角行列式的值a1100…0a12a220…0a13a14a33…0a1na2na3n…ann

……………

=a11a22a33ann。(3)對角行列式的值a1100…00a220…0

00a33…0

000…ann

……………

=a11a22a33ann。定理一主對角線例5計算行列式例6計算行列式一般項：分析：不為零的項為：24項之和(-1)τ副對角線定理2(1)擬下三角行列式的值(2)擬上三角行列式的值(3)擬對角行列式的值7階8階例7計算行列式副對角線例8

計算f(x)=解2xx12x1-12x1111x中x4和x3的系數(1)x4的系數f(x)中x4項為所以:x4的系數為2例8

計算f(x)=解2xx12x1-12x1111x中x4和x3的系數(2)x3的系數第一行不能取a11=2x,例8

計算f(x)=解2xx12x1-12x1111x中x4和x3的系數(2)x3的系數第一行不能取a11=2x,a13=1,2xx12x1-12x1111x例8

計算f(x)=解中x4和x3的系數(2)x3的系數f(x)中x3項第一行不能取a11=2x,a13=1,a14=2,例8

f(x)=解2xx12x1-12x1111x(2)x3的系數f(x)中x3項第一行不能取a11=2x,a13=1,a14=2,f(x)中x3項為x3的系數為-1

1、在6階行列式中，乘積項a23a15a44a32a51a66前應取什么符號？2、

計算行列式0001010010000010練習D=xx10x2323x2112x3、計算f(x)=中x4和x3的系數練習練習

2

在6階行列式中，元素乘

a23a15a44a32a51a66前應取什么符號？解：因為(-1)τ(532416)所以在a15a23a32a44a51a66之前取“+”號

=(-1)8=1練習3

計算解：練習

4計算行列式0001010010000010(-1)τ(3241)

·0001010010000010

解：=(-1)411111=1=

a13a22a34a41練習

5計算解：練習6在6階行列式

中，乘積項

a21a53a16a42a65a34前應取什么符號？

解在a21a53a16a42a65a34之前取“-”號。因為(-1)τ(614235)=(-1)7=-1練習7

計算行列式0100101001011001。0100101001011001解第2列只能取a32，所以=(-1)τ(4123)a14a21a32a43=(-1)31111=-1第3列只能