南師附中高一數學單元檢測--------《解三角形》1、若△ABC的面積為，BC=2，C=，則邊AB的長度等于__________.2、若△ABC的內角A、B、C所對的變a、b、c滿足，且C=60°，則ab的值為3、在△ABC中，若b=1，c=，，則a=。4、在ABC中．.則A的取值范圍是5、在中。若b=5，，tanA=2，則sinA=______；a=__________6、在中，角所對的邊分．若，則7、.如圖，△ABC中，AB=AC=2，BC=，點D在BC邊上，∠ADC=45°，則AD的長度等于_____。8、在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若，則角A的大小為.9、在銳角中，則的值等于，的取值范圍為.10、在銳角三角形ABC，A、B、C的對邊分別為a、b、c，，則=_______。11、△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c．己知A—C=90°，a+c=b，求 C．12、在中，角所對的邊分別為，且滿足.（I）求角的大小；（II）求的最大值，并求取得最大值時角的大小．13、在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若cosB=，b=2,求△ABC的面積S.14、（本小題滿分14分）在△ABC中，角A、B、C所對應的邊為（1）若求A的值；（2）若，求的值.15、設的內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c,且3+3-3=4bc.(Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)求的值.16、(2010·福建)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設該小艇沿直線方向以v海里/時的航行速度勻速行駛，經過t時與輪船相遇．(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？(2)假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/時，試設計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由．17、如圖所示，某市政府決定在以政府大樓為中心，正北方向和正東方向的馬路為邊界的扇形地域內建造一個圖書館.為了充分利用這塊土地，并考慮與周邊環境協調，設計要求該圖書館底面矩形的四個頂點都要在邊界上，圖書館的正面要朝市政府大樓.設扇形的半徑，，與之間的夾角為.（1）將圖書館底面矩形的面積表示成的函數.ABCDMOPQF（2）若ABCDMOPQF其最大值是多少？(精確到0.01m2南師附中高一數學單元檢測--------《解三角形》1、若△ABC的面積為，BC=2，C=，則邊AB的長度等于______2_______.2、若△ABC的內角A、B、C所對的變a、b、c滿足，且C=60°，則ab的值為3、在△ABC中，若b=1，c=，，則a=1。4、在ABC中．.則A的取值范圍是(0，]5、在中。若b=5，，tanA=2，則sinA=______；a=__________6、在中，角所對的邊分．若，則17、.如圖，△ABC中，AB=AC=2，BC=，點D在BC邊上，∠ADC=45°，則AD的長度等于______。8、在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若，則角A的大小為.9、在銳角中，則的值等于2，的取值范圍為.10、已知等腰三角形腰上的中線長為，則該三角形的面積的最大值是2．11、△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a、b、c．己知A—C=90°，a+c=b，求 C．解：由及正弦定理可得…………3分又由于故…………7分因為，所以12、在中，角所對的邊分別為，且滿足.（I）求角的大小；（II）求的最大值，并求取得最大值時角的大小．解析：（I）由正弦定理得因為所以（II）由（I）知于是取最大值2．綜上所述，的最大值為2，此時13、在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若cosB=，b=2,求△ABC的面積S.解：（I）由正弦定理，設則所以即，化簡可得又，所以因此（II）由得由余弦定理解得a=1。因此c=2又因為所以因此14、（本小題滿分14分）在△ABC中，角A、B、C所對應的邊為（1）若求A的值；（2）若，求的值.解析：（1）（2）由正弦定理得：，而。（也可以先推出直角三角形）15、設的內角A、B、C的對邊長分別為a、b、c,且3+3-3=4bc.(Ⅰ)求sinA的值；(Ⅱ)求的值.16、(2010·福建)某港口O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發時，輪船位于港口O北偏西30°且與該港口相距20海里的A處，并正以30海里/時的航行速度沿正東方向勻速行駛．假設該小艇沿直線方向以v海里/時的航行速度勻速行駛，經過t時與輪船相遇．(1)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應為多少？(2)假設小艇的最高航行速度只能達到30海里/時，試設計航行方案(即確定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短時間與輪船相遇，并說明理由．解方法一(1)如圖(1)，設相遇時小艇航行的距離為S海里，則圖（1）S＝eq\r(900t2＋400－2×30t×20×cos90°－30°)圖（1）＝eq\r(900t2－600t＋400)＝eq\r(900t－\f(1,3)2＋300).故當t＝eq\f(1,3)時，Smin＝10eq\r(3)，此時v＝eq\f(10\r(3),\f(1,3))＝30eq\r(3).即小艇以30eq\r(3)海里/時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小．(2)設小艇與輪船在B處相遇，則圖（2）v2t2＝400＋900t2－2×20×30t×cos(90°－30°)，圖（2）故v2＝900－eq\f(600,t)＋eq\f(400,t2).∵0<v≤30，∴900－eq\f(600,t)＋eq\f(400,t2)≤900，即eq\f(2,t2)－eq\f(3,t)≤0，解得t≥eq\f(2,3).又t＝eq\f(2,3)時，v＝30.故v＝30時，t取得最小值，且最小值為eq\f(2,3).此時，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20，故可設計航行方案如下：航行方向為北偏東30°，航行速度為30海里/時，小艇能以最短時間與輪船相遇．圖（2）方法二(1)若相遇時小艇的航行距離最小，又輪船沿正東方向勻速行駛，則小艇航行方向為正北方向．設小艇與輪船在C處相遇(如圖(2)．圖（2）在Rt△OAC中，OC＝20cos30°＝10eq\r(3)，AC＝20sin30°＝10.又AC＝30t，OC＝vt.此時，輪船航行時間t＝eq\f(10,30)＝eq\f(1,3)，v＝eq\f(10\r(3),\f(1,3))＝30eq\r(3).即小艇以30eq\r(3)海里/時的速度航行，相遇時小艇的航行距離最小．(2)猜想v＝30時，小艇能以最短時間與輪船在D處相遇，此時AD＝DO＝30t.又∠OAD＝60°，∴AD＝DO＝OA＝20，解得t＝eq\f(2,3).據此可設計航行方案如下：航行方向為北偏東30°，航行速度的大小為30海里/時．這樣，小艇能以最短時間與輪船相遇．證明如下：圖（3）如圖(3)，由(1)得OC＝10eq\r(3)，AC＝10，故OC>AC，且對于線段AC上的任意點P，有OP≥OC>AC.而小艇的最高航行速度只能達到30海里/時，故小艇與輪船不可能在A，C之間(包含C)的任意位置相遇．圖（3）設∠COD＝θ(0°<θ<90°)，則在Rt△COD中，CD＝10eq\r(3)tanθ，OD＝eq\f(10\r(3),cosθ).由于從出發到相遇，輪船與小艇所需要的時間分別為t＝eq\f(10＋10\r(3)tanθ,30)和t＝eq\f(10\r(3),vcosθ)，∴eq\f(10＋10\r(3)tanθ,30)＝eq\f(10\r(3),vcosθ).由此可得，v＝eq\f(15\r(3),sinθ＋30°).又v≤30，故sin(θ＋30°)≥eq\f(\r(3),2).從而，30°≤θ＜90°.由于θ＝30°時，tanθ取得最小值，且最小值為eq\f(\r(3),3).于是，當θ＝30°時，t＝eq\f(10＋10\r(3)tanθ,30)取得最小值，且最小值為eq\f(2,3).方法三(1)同方法一或方法二．(2)設小艇與輪船在B處相遇．依據題意得：v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，圖（4）(v2－900)t2＋600t－400＝0.圖（4）①若0<v<30，則由Δ＝360000＋1600(v2－900)圖（4）＝1600(v2－675)≥0，得v≥15eq\r(3).圖（4）從而，t＝eq\f(－300±20\r(v2－675),v2－900)，v∈[15eq\r(3)，30)．當t＝eq\f(－300－20\r(v2－675),v2－900)時，令x＝eq\r(v2－675)，則x∈[0,15)，t＝eq\f(－300－20x,x2－225)＝eq\f(－20,x－15)≥eq\f(4,3)，當且僅當x＝0，即v＝15eq\r(3)時等號成立．當t＝eq\f(－300＋20\r(v2－675),v2－900)時，同理可得eq\f(2,3)<t≤eq\f(4,3).綜上得，當v∈[15eq\r(3)，30)時，t>eq\f(2,3).②若v＝30，則t＝eq\f(2,3).綜合①②可知，當v＝30時，t取最小值，且最小值等于eq\f(2,3).此時，在