第11講概率初步概率論是“生活真正的領路人，如果沒有對概率的某種估計，那么我們就寸步難移，無所作為”.知識方法掃描概率是新課程標準新增加的內容，初中概率知識主要涉及對事件可能性的認識.學會運用簡單計算及實驗得出事件的概率.在一定條件下，必然會發生的事情稱為必然事件，一定不會發生的事情稱為不可能事件.它們可看成是隨機事件的兩個極端情形.必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0.在隨機現象中，出現的各種可能的結果共有n種，如果出現其中每一種結果的可能性大小是一樣的，那么出現每一種結果的概率都是1.在隨機現象中，如n果事件A包含m種可能的結果，那么出現這個事件的概率記作P（A）.P（A）二m€n經典例題解析例1.（2008年全國初中數學聯賽試題）從分別寫有數字1,2，3,4，5的5張卡片中任意取出兩張，把第一張卡片上的數字作為十位數字，第二張卡片上的數字作為個位數字，組成一個兩位數，則所組成的數是3的倍數的概率是（）.（A）5（A）5(B)10(C)51(D)2解能夠組成的兩位數有12，13，14，15，21，23，24，25，31，32，34,35，41，42，43，45，51，52，53，54,共20個，其中是3的倍數的數為12,15，21，24，42，45，51，54，共8個.所以所組成的數是3的倍數的概率是蘭二2.故選C.TOC\o"1-5"\h\z20 5例2.（2007年江蘇省初中數學競賽試題）用紅、藍、黃三色將圖1中區域A、B、C、D染色，要求有公共邊界的相鄰區域不能染成相同的顏色.則滿足區域A恰好染成藍色的概率是 .解：用樹形圖列舉法列出所有可能情形，如圖，可知共有12種情形，其中A染成藍色的共有4種情形，故概率為P=—=^012 3

A紅Z\C藍D藥黃紅藍紅蔽黃藍纖黃蛀黃評注本題若從整體考慮，A中有紅、黃、藍三種染色方法，且染成每種顏色的機會均等，故A染成藍色的概率為1.3例3.(2007年全國初中數學聯賽浙江賽區初賽試題)六個面上分別標有1,1,2,3,3,5六個數字的均勻立方體表面如圖3所示，擲這個立方體一次，記朝上一面的數為平面直角坐標系中某個點的橫坐標，朝下一面的數為該點的縱坐標.按照這樣的規定，每擲一次該立方體，就能得到平面內的一個點的坐標.已知小明前兩次擲得的兩個點能確定一條直線1,且這條直線l經過點(4,7).那么，他第三次擲得的點也在這條直線上的概率是(). ——111(A)^ (B七 (C)3 (D1512 3 6解 每擲一次可能得到六個點的坐標是(其中有兩個點是重合的)：(1,1),(1,1),(2,3),(3,2),(3,5),(5,3).通過描點和計算可以發現，經過(1,1)、(2,3)、(3,5)三點中的任意兩點所確定的直線都經過點(4,7).故小明第三次擲得的點也在直線1上的概率是P=4二評注解本題的關鍵在于列出所有點的坐標，通過畫圖確定一次函數的解析式，例4.(2007年寧波市東海杯數學競賽試題)桌上放著6張撲克牌，全部正面朝下。你已被告知其中有兩張且只有兩張是老K,但是你不知道老K在哪個位置。你隨便取了兩張并把它們翻開，會出現下面兩種情況：(1)兩張牌中至少有1張是老K；(2)兩張牌中沒有1張是老K。比較這兩種情況的可能性，可知( )A.(1)的可能性大 B.(2)的可能性大C.兩者一樣 D.無法比較解我們把這6張牌用1到6這些數字編號，并且假定5號牌和6號牌就是那兩張老K。現在，我們列出從6張牌中取出兩張的所有不冋組合，總共有15種這樣的組合：1—2, 2—3,3—4,45, 561—3, 2—4,3—5,461—4, 2—5,3—61—5, 2—6

1—6注意在這15對牌中有9對包含老K(5號牌和6號牌)。既然每對牌出現的可能性都一樣，這就意味著，從長遠說，你每進行15次嘗試就有9次至少翻出一張老K。換句話說，至少翻出一張老K的可能性是9/15,這個分數可化簡為3/5。這當然優于1/2，因此本題的答案是：你至少翻出一張老K的可能性比一張老K也翻不出的可能性大。故選A.例5.(2006年太原市初中數學競賽)某廣場地面鋪滿了邊長為36em的正六邊形地磚，現在向上拋擲半徑為6訂cm的圓碟，圓碟落地后與地磚間的間隙不相交的概率大約是 .V：-7/V：-7/作OC丄AA,則CC二643cm.112123因為AA=AO=36,AC=1&所以，CO二存AO二1^3.則12221122CO=CO—CC二1^/3—6\3二12,3.21122_又CO二焉-BO,所以,222BO= x12-'3=24.而BB又CO二焉-BO,所以,2222 v"3 12 2的邊長為24cm.故所求概率為P=小正六邊形面積_(BB)_(24)_4

大正六邊形面積二(硝)2二(36)2二9故所求概率為P=評注解本題的關鍵在于，準確理解“圓碟落地后與地磚間的間隙不相交”，進而將問題轉化為兩個正六邊形的面積的比，例6.(第30屆美國高中數學考試)任意選擇一對有序整數(b,c),其中每一個整數的絕對值小于或等于5,每一對這樣的有序整數被選擇的可能性是相等的,方程式x2+bx+c=0沒有相異正實根的概率是(A)101 (B)101 (C)111 (D)121 (E)這些都不對121121121121解考慮問題的反面：設方程x2+bx+c=0有兩相異的正實根X]、x2，貝Vb2-4c>0,X]X2=c>0, X]+x2=-b>0,且Ibl<5, Icl<5.于是b=-3而且c=l或2；或者b=-4而且c=l、2、3；或者b=-5而且c=l、2、3、4或5.因此，有10對有序整數可使方程有相異正實根.而可取的有序整數共有112對’所以所求的概率是1, 二獸€例7．(2008年全國初中數學聯賽天津賽區初賽試題)一項“過關游戲”規定：在第n關、要擲一顆骰子n次，如果這“次拋擲所出現的點數之和大于張則算過關；否則，不算過關，現有下列說法：①過第一關是必然事件；過第二關的概率是35；36可以過第四關； ．過第五關的概率大于零．其中，正確說法的個數為：()．(A)4(B)3(C)2(D)1解要過第一關，點數需大于3，顯然拋擲一顆骰子至少有一點，故①對;4要過第二關，點數之和需大于9，即點數之和至少是3.而拋擲兩次的點數4之和至少為2，因此，不能過第二關的只有一種可能：兩次拋擲的點數都是1，即兩次拋擲的36種可能中，有35種結果可以通過第二關.所以，過第二關的概率為35?故②對；36要過第四關，點數之和需大于344=叫。若每次拋擲的點數均為6,則點數1之和為兒大于叫.所以，第四關是可以通過的.故③對;要過第五關，點數之和需大于35.顯然，這是不可能的，所以，過第五關4是不可能事件，概率為0.故④錯.評注本題是關于概率概念的基礎題，關鍵在于正確理解闖關的含義，例8.(2007年全國初中數學聯賽四川初賽試題)一場數學游戲在兩個非常聰明的學生甲、乙之間進行，裁判在黑板上先寫出整數2，3，…，2006，然后隨意擦去一個數，接下來由甲、乙兩人輪流擦去一個數(即乙先擦去其中的一個數，然后甲再擦去一個數，如此下去).若最后剩下的兩個數互質，則判甲勝；否則，判乙勝.按照這穩游戲規則，求甲獲勝的概率(用具體數字作答).解獲勝的關鍵是看裁判擦去的是哪個數，注意到2，3，…，2006，共有1002個奇數，1003個偶數.若裁判擦去的是奇數，此時，乙一定獲勝，乙不管甲取什么數，只要還有奇數，就擦去奇數，這樣，最后剩兩個數一定是偶數，從而，所剩的兩個數不互質.故乙勝.若裁判擦去的是偶數，此時，甲一定獲勝，設裁判擦去的數是2m,則剩下的數配成1002對：

(2,3),…,(2m一2,2m-1),(2m+1,2m+2),…,(2005,2006).這樣，不管乙擦去哪一個數，甲都擦去所配對中的另一個數，最后剩下的兩個數1003必然互質.故甲勝，所以，甲獲勝的概率為1003，2005評注解本題的關鍵在于，一是必須根據裁判擦去的數是奇數還是偶數進行討論；二是對數組進行恰當的分類.同步訓練（2008年全國初中數學競賽浙江賽區初賽）甲、乙、丙、丁四位同學參加校田徑運動會4X100m接力跑比賽，如果任意安排四位同學的跑步順序，那么,恰好由甲將接力棒交給乙的概率是（）.1111（A） （B） （C） （D）—6 8 12（第46屆美國高中數學考試）若a、b、c是從集合｛1，2,3,4,5｝中任取的三個元素（不一定不同），則ab+c為偶數的概率為（）.(A)|1(A)|1(C)2(D)!!3(E)-TOC\o"1-5"\h\z（2007年全國初中數學聯賽試題）袋中裝有5個紅球、6個黑球、7個白球，從袋中摸出15個球，摸出的球中恰好有3個紅球的概率是 （ ）1 13 2（A）—. （B）丄 （C）—. （D）210 5 10 5(B)(B)12(C)91(D)65.（2008年《數學周報》杯全國初中數學競賽）把一顆六個面編號分別為1，2,3,4,5,6質地均勻的正方體骰子先后投擲2次.若兩個正面朝上的編號分別為m、n,則二次函數，y=ax2+bx+c的圖像與x軸有兩個不同交點的概率是().5 4(A) (B)12 9(C)— (D)136 26.（2007年廣東初中數學競賽試題）小莉與小明一起用A,B兩枚均勻的小立方體（立方體的每個面上分別標有數字1,2,3,4,5,6）玩游戲.以小莉擲的A立方體朝上的數字為x小明擲的B立方體朝上的數字為y,來確定點P（x,y）,那么他們各擲一次所確定的點P（x,y）落在已知拋物線y=-x2+4x上的概率為

（2007年山東省初中數學競賽）一只盒子中有紅球m個，白球10個，黑球n個，每個球除顏色外都相同.從中任取一個球，取得是白球的概率與不是白球的概率相同?那么，m與n的關系是（）.（A）m+n=10 （B）m+n=5 （C）m=n=10 （D）m=2,n=3（2006年全國初中數學競賽浙江賽區初賽）書架上有兩套同樣的教材，每套分上、下兩冊，在這四冊教材中隨機抽取兩冊，恰好組成一套教材的概率是().(A)(A)|111(B)3 (C)| 叫在6X6的方格紙中，每一個小方格是邊長為1的正方形，A在6X6的方格紙中，每一個小方格是邊長為1的正方形，A、B兩點在小方格的頂點上，位置如圖6所示，請你在小方格的頂點上標出滿足題意的所有點C，△ABC的面積為2個平方單位，順次聯結各點C得一多邊形，則螞蟻在這張方格紙上、停留在這多邊形上的概率為（）.(A)|(D)49（2008年全國初中數學競賽試題）把一枚六個面編號分別為1，2,3,4,5，6的質地均勻的正方體骰子先后投擲2次，若兩個正面朝上的編號分別為m，行，則二次函數y=x2+mx+n的圖像與x軸有兩個不同交點的概率是（).(A)1!((A)1!(B)4(c)—361(D)211?（第23屆美國高中數學考試）一條繩子被任意割成兩段，較長的一段至少是較短的一段的x倍的概率是（）.(a)2(a)2(B)-x(C)1(D)-x二、 填空題（2008年全國初中數學競賽海南賽區初賽）小丁、小明、小倩在一起做游戲時，需要確定做游戲的先后順序，他們約定用“剪子、布、錘子”的方式確定.那么，在一個回合中三個人都出“布”的概率是 .三、 解答題（2009年湖南初中數學競賽試題）六一兒童節，爸爸帶著兒子小寶去方特歡樂世界游玩，進入方特大門，看見游客特別多，小寶想要全部玩完所有的主題項目是不可能的.（1） 于是爸爸咨詢導游后，讓小寶上午先從：A.太空世界、B.神秘河谷、C.失落帝國中隨機選擇兩個項目，下午再從：D.恐龍半島、E.西部傳奇、F.兒童王國、G.海螺灣中隨機選擇三個項目游玩，請用列舉法或樹形圖說明當天小寶符合上述條件的所有可能的選擇方式.（用字母表示）（2） 在（1）問的選擇方式中，求小寶恰好上午選中A.太空世界，同時下午選中G.海螺灣這兩個項目的概率.（2008年全國初中數學聯賽四川初賽）如圖，將3枚相同硬幣依次放人一個4X4的正方形格子中（每個正方形格子只能放l枚硬幣）.求所放的3枚硬幣中，任意兩枚都不同行且不同列的概率.如圖，小明和小亮用甲、乙兩個轉盤做游戲.

（1） 讓小明轉動轉盤甲，小亮轉動轉盤乙.若結果兩盤的指針都指向黑色，則小明獲勝；若結果一個指向黑色，另一個指向白色，則小亮獲勝?問：這個游戲規則對雙方是否公平？為什么？（2） 讓小明轉動盤甲，轉盤停止時指針所指的數字就是小明的得分數.而小亮不轉盤，但仍給予3分（作為底分）.如此進行多次累計，累計得分高者獲勝.問:小明的（轉動一次）平均得分是多少？如果讓你參與游戲，你選擇扮演小明的角色還是扮演小亮的角色？同步訓練題參考答案TOC\o"1-5"\h\zCA1由列舉法知，有24種可能，符合題意的有6種可能，概率為-€4B首先從集合任取三元素的總事件數為53=125.下面考慮c的情況：從｛1，3,5｝中選一個，有3種情況c是奇數；從｛2,4｝中選一個，有2種情況c是偶數.而ab為奇數的情形有32=9種，為偶數的情形有52-32=16種.由“奇+奇=偶”，“偶+偶=偶”知，ab+c為偶數的情形共有3x9+2x16=59（種）.這樣所求概率為至€125B.設摸出的15個球中有x個紅球、y個黑球、z個白球，則x,y,z都是正整數,且x<5,y<6,z<7，x+y+z，15.因為y+z<13，所以x可取值2，3，4，5.當x，2時，只有一種可能，即y，6,z，7；當x，3時，y+z，12，有2種可能，y，5,z，7或y，6,z，6；當x，4時，y+z，11，有3種可能，y，4,z，7或y，5,z，6或y，6,z，5；當x，5時，y+z，10，有4種可能，y，3,z，7或y，4,z，6或y，5,z，5或y，6,z，4.因此，共有1+2+3+4=10種可能的摸球結果，其中摸出的球中恰好有

21個紅球的結果有2種，所以所求的概率為—€10 5基本事件總數有6X6=36,即可以得到36個二次函數.利用一元二次方程根的判別式A=b2-4ac=m2-4n>0,知m2>4n.通過枚舉法知，滿足條件的m、nm、n有17對,6?B故p€367.ATOC\o"1-5"\h\zD4…4 4提示：螞蟻停留的多邊形是平行四邊形，概率為P€匚€46…6 9C基本事件的總數有6x6=36,即可以得到36個二次函數，由題意知/=m2-4n>0,通過枚舉知，滿足條件的m,n有17對，故P=U36E.假設AB是這條繩子，P是AB上一點，使得AP:PB€1：x,若AP長若AP長s,那么PB長sx.所求截點在AP上的概率是ss+sx又因為截點位于與線段另一端B同樣距離的線段上的可能性是一樣的，則所求事件的概率是12.12.1271用列表、畫樹形圖或用乘法原理知概率為丄.27(1)用列舉法：(AB,DEF)，(AB，DEG)，(AB，DFG)，(AB，EFG)，(AC,DEF),(AC,DEG),(AC,DFG),(AC,EFG),(BC,DEF),(BC,DEG),(BC,DFG),