數量關系

—第七章第一部分向量代數第二部分空間解析幾何在三維空間中:空間形式

—點,

線,

面基本方法—坐標法;向量法坐標,方程（組）空間解析幾何與向量代數四、利用坐標作向量的線性運算第一節一、空間直角坐標系三、向量的線性運算二、向量的概念空間直角坐標系與向量代數第七章ⅦⅡⅢⅥⅤⅧⅣ一、空間直角坐標系由三條互相垂直的數軸按右手規則組成一個空間直角坐標系.

坐標原點

坐標軸x軸(橫軸)y軸(縱軸)z

軸(豎軸)過空間一定點o,

坐標面

卦限(八個)zox面Ⅰ1.空間直角坐標系的基本概念向徑在直角坐標系下坐標軸上的點

P,Q,R;坐標面上的點A,B,C點M特殊點的坐標:有序數組(稱為點

M

的坐標)原點O(0,0,0);坐標軸:坐標面:為空間兩點.在直角三角形和中,用勾股定理2.空間兩點間點的距離空間兩點間距離公式例1.在y軸上求與兩點解:設該點為解得故所求點為及思考:

(1)如何求在

xoy

面上與A,B

等距離之點的軌跡方程?(2)如何求在空間與A,B

等距離之點的軌跡方程?等距離的點.向量表示:向量的模

:向量的大小,二、向量的概念向量:(又稱矢量).既有大小,又有方向的量稱為向量向徑(矢徑):自由向量:與起點無關的向量.起點為原點的向量.單位向量:模為1的向量,零向量:模為0的向量,有向線段M1

M2,或a,規定:零向量與任何向量平行;若向量a與b大小相等,方向相同,則稱a與b相等,記作a＝b;若向量a與b方向相同或相反,則稱a與b平行,

a∥b;與a

的模相同,但方向相反的向量稱為a

的負向量,記作因平行向量可平移到同一直線上,故兩向量平行又稱兩向量共線

.若k(≥3)個向量經平移可移到同一平面上,則稱此k個向量共面

.記作－a;空間一點在軸上的投影過點A作軸u的垂直平面,即為點A在軸u上的投影.空間一向量在軸上的投影軸u稱為投影軸.已知向量的起點A和終點B在軸u上的投影分別為那么軸u上的有向線段的值,稱為向量在軸u上的投影.1.向量在軸上的投影三、向量的線性運算Projection在軸u上的向量軸與向量的夾角的余弦：向量在軸u上的投影記為投影性質1投影等于向量的模乘以投影有正、注負之分;模只為正值.（可推廣到有限多個）兩個向量的和在軸上的投影等于兩個向量在該軸上的投影之和.投影性質2：兩向量和在軸上的投影uABcA′B′c′投影性質31證uBA例+21,uuBA坐標依次為、.)(12euur-=eueurr12-=2.向量在坐標軸上的分向量與向量的坐標的投影如是與軸

u正向一致的單位向量,因此可知:上坐標分別為起點終點向量在x軸上的投影向量在y軸上的投影向量在z軸上的投影按基本單位向量的坐標分解式：向量的坐標表達式：坐標坐標坐標

x軸分向量y軸分向量z軸分向量特殊地3.模、方向角與方向余弦設有兩非零向量任取空間一點O,稱=∠AOB(0≤≤)

為向量

的夾角.類似可定義向量與軸,軸與軸的夾角.與三坐標軸的夾角

,,為其方向角.方向角的余弦稱為其方向余弦.

記作方向余弦的性質:例+.已知兩點和的模、方向余弦和方向角.解:計算向量例+.設點A

位于第一卦限,解:已知角依次為求點A

的坐標.則因點A

在第一卦限,故于是故點A

的坐標為向徑OA

與x

軸y軸的夾三角形法則:平行四邊形法則:運算規律:交換律結合律三角形法則可推廣到多個向量相加.4、向量的加減法加法三角不等式定義2：設則減法是一個數,規定:可見與a

的乘積是一個新向量,記作總之:運算律:結合律分配律因此5.向量與數的乘法性質1.

設

a

為非零向量,則a∥b(為唯一實數)設則定義3：性質2.

取方向與三個坐標軸正向相同的單位向量則任意向量可分解為例2.解:由向量的運算性質得求例3.證明連接三角形兩邊中點的線段平行于第三邊且等于第三邊的一半。證明:所以有且例4.已知兩點在AB直線上求一點M,使解:

設M

的坐標為如圖所示及實數得即說明:由得定比分點公式:點

M為AB

的中點,于是得中點公式:5、兩向量的數量積1）.定義設向量的夾角為,稱記作數量積(點積).6、兩向量的數量積記作故2）.性質為兩個非零向量,則有3）.運算律(1)交換律(2)結合律(3)分配律事實上,當時,顯然成立;4）.數量積的坐標表示設則當為非零向量時,由于兩向量的夾角公式,得例5.已知解:求故

例6+.已知三點AMB.解:則求故1）.定義定義向量方向:(叉積)記作且符合右手規則模:向量積,稱例如力矩思考:

右圖三角形面積S＝7、兩向量的向量積2）.性質為非零向量,則∥∥3）.運算律(2)分配律(3)結合律(證明略)證明:4）.向量積的坐標表示式設則向量積的行列式計算法(行列式計算見P339～P342)

例6已知

求與都垂直且滿足如下之一條件的向量:

(1)為單位向量;

(2),其中解與都垂直,所以與

(2)設,則又得所以(1)

例6+.已知三點角形

ABC

的面積.解:

如圖所示,求三8、向量的混合積1）定義已知三向量稱數量混合積

.記作幾何意義為棱作平行六面體,底面積高故平行六面體體積為則其2）

混合積的坐標表示設3）

性質(1)三個非零向量共面的充要條件是(2)輪換對稱性:(可用三階行列式推出)例7.已知一四面體的頂點4),求該四面體體積.解:

已知四面體的體積等于以向量為棱的平行六面體體積的故補充例.證明四點共面.解:因故A,B,C,D

四點共面.內容小結