向量法求空間角考試要求能用向量法解決異面直線、直線與平面、平面與平面的夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量法在研究空間角問題中的作用．知識梳理1．異面直線所成的角若異面直線l1，l2所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝.2．直線與平面所成的角如圖，直線AB與平面α相交于點B，設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(u·n,|u||n|)))＝.3．平面與平面的夾角如圖，平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角．若平面α，β的法向量分別是n1和n2，則平面α與平面β的夾角即為向量n1和n2的夾角或其補角．設平面α與平面β的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝.思考辨析判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角．()(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角．()(3)兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，直線與平面所成角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).()(4)直線的方向向量為u，平面的法向量為n，則線面角θ滿足sinθ＝cos〈u，n〉．()教材改編題1．已知向量m，n分別是直線l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－eq\f(1,2)，則直線l與平面α所成的角為()A．30° B．60°C．120° D．150°2．已知直線l1的方向向量s1＝(1,0,1)與直線l2的方向向量s2＝(－1,2，－2)，則直線l1和l2所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(2),4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(3),2)3．平面α的一個法向量為m＝(1,2，－2)，平面β的一個法向量為n＝(2,2,1)，則平面α與平面β夾角的正切值為()A.eq\f(4,9)B.eq\f(9,4)C.eq\f(4\r(65),65)D.eq\f(\r(65),4)題型一異面直線所成的角例1(1)若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積為eq\r(3)，AB＝1，則直線AB1與CD1所成的角為()A．30°B．45°C．60°D．90°(2)(2022·杭州模擬)如圖，已知圓錐CO的截面△ABC是正三角形，AB是底面圓O的直徑，點D在上，且∠AOD＝2∠BOD，則異面直線AD與BC所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),4)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4)D.eq\f(3,4)聽課記錄：______________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華用向量法求異面直線所成的角的一般步驟(1)建立空間直角坐標系．(2)用坐標表示兩異面直線的方向向量．(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值．(4)注意兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值．跟蹤訓練1(1)有公共邊的△ABC和△BCD均為等邊三角形，且所在平面互相垂直，則異面直線AB和CD所成角的余弦值為________．(2)如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點，eq\o(AF,\s\up6(→))＝λeq\o(AD,\s\up6(→))(0<λ<1)，若異面直線D1E和A1F所成角的余弦值為eq\f(3\r(2),10)，則λ的值為______．題型二直線與平面所成的角例2(12分)(2022·全國甲卷)在四棱錐P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，CD∥AB，AD＝DC＝CB＝1，AB＝2，DP＝eq\r(3).(1)證明：BD⊥PA；[切入點：由等腰梯形ABCD的性質求BD長](2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值．[關鍵點：建立空間直角坐標系求法向量]思維升華利用空間向量求線面角的解題步驟跟蹤訓練2如圖，在六面體PACBD中，△PAB是等邊三角形，平面PAB與平面ABD所成角為30°，PC＝AB＝eq\r(2)AD＝eq\r(2)BD＝eq\r(2)AC＝eq\r(2)BC＝4.(1)證明：AB⊥PD；(2)若點E為線段BD上一動點，求直線CE與平面PAB所成角的正切值的最大值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________題型三平面與平面的夾角例3(2023·泰安模擬)如圖，在五面體ABCDE中，已知AC⊥平面BCD，ED∥AC，且AC＝BC＝2ED＝2，DC＝DB＝eq\r(3).(1)求證：平面ABE⊥平面ABC；(2)求平面ABE與平面BEC夾角的余弦值．________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________思維升華利用空間向量計算平面與平面夾角大小的常用方法(1)找法向量：分別求出兩個平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到平面與平面夾角的大小．(2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，然后通過這兩個向量的夾角可得到平面與平面夾角的大小．跟蹤訓練3(2022·貴陽模擬)如圖，AC，BD為圓柱OO′底面⊙O的兩條直徑，PA為圓柱OO′的一條母線，且AP＝AC.(1)證明：AB⊥PD；(2)若∠AOD＝eq\f(π,3)，求平面DPC與平面PCB夾角的正弦值．______________________________________________________________________________________________________________________