第三篇:特殊函數第二章勒讓德多項式主要內容:◆勒讓德多項式(軸對稱問題)及性質◆連帶勒讓德函數(轉動對稱問題)◆球函數(一般問題)在分離變量法一章中,我們已經知道拉普拉斯方程10,2,Ou10102(sin0)+0Orarrsin8aesinaop在球坐標系下分離變量后得到歐拉型常微分方程dr+2rx-l(+1)R=0和球諧函數方程SInsineae+(+1)y=0a0sin0a繼續分離變數,令(,q)=6(0)(q),得到關于o的方程Φ"+=0(1)2=0時,①(q)=C1p+C2=C2a(+2r)=o()(2)=m,p()=Acosmo+Bsinmpa()=Acosmo+Bsinmo,m=0,1,2,3,球函數Y(,p)=(Acosmp+Bsinmop)⊙(O,其中⊙(0)需從連帶勒讓德方程解出:(1⊙j⊙=0,x=cosm=0時,成為階勒讓德方程1-x24-/4(+1)=0用常點鄰域令⊙=y的級數解法a1X=40()+y(x)={4(x,為偶數時ay(x),/為奇數同樣若記O=arccosxy(x)=Q(x)則上述方程也可寫為下列形式的l階勒讓德方程[(1-x2)]+l(1+1)y=0dxdx軸對稱球函數現在注意:m=O時,①()=Acosmo+Bsinmop=A(常數)u(r,0,)=R(r)o()()=AR(r)(0)=u(r,0)l與g無關,只與r,θ有關。意味著當r,θ一定時,φ可任意改變,u不變即在以,O構成的錐體上各點的值相同問題關于極軸(z軸)對稱球函數Y(O,9)=A⊙(O)~稱為軸對稱球函數前面已學:勒讓德方程在x=+1自然邊界條件:yx→有限,從而構成本征值問題,本征值是1(+1),l=0,1,2,3…在為整數條件下,勒讓德方程的兩個線性獨立特解y(x)=a00(x)+ay(x)之一退化為次多項式0(0)=y(r)為2k(偶數)any(x)~x261為2k+1(奇數:ay1(x)~x261將它們分別乘上適當的常數,叫做階勒讓德y多項式,記作P(P(x)→>軸對稱情況下的球函數。Y(,q)=A⊙()=Ay(x)→P§2·1勒讓德多項式·勒讓德方程的求解勒讓德多項式勒讓德多項式的性質、母函數和遞推公式·勒讓德多項式的應用(2)勒讓德多項式通常約定:用適當的常數乘以本征函數使最高次冪項x的系數為:a1=2(!)2P(x)=∑ax2(相鄰兩項相差2次)利用系數遞推公式:a(k+2)(k+1)(k-D)(k+l+1)推算出其他系數:ana12na14,a12,a2)(21-1)2(21-1)2(1!2(21A1)2(-)!(-1)(1-2(21-2)!(2l-2)!2(l-1)!(l-2)2(l-1)!(-2)21-3)2H2)-301-41(1-2)2!2(-2)(-4)!4=(1)22-532(-3)(-6)2(-n)l-2n2勒讓德多項式:y=P(x=2421-2n)n!2(-n)!-2n將指標n→kk2(1=2,按降冪排列的次多項式。Pa=∑y(2-2k)勒讓德方程的解:我們知道:在自然邊界條件下,勒讓德方程的解P(x)為P(x)=∑(-1)2k)!2