第四章

隨機變量的數(shù)字特征4.1隨機變量的數(shù)學(xué)期望DepartmentofMathematics,TianjinUniversity內(nèi)容提要離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望1連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望2隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望3DepartmentofMathematics,TianjinUniversity設(shè)X是離散型隨機變量，其分布律為

P(X=xi)=pi,i=1,2,….若|x1|p1+|x2|p2+…+|xi|pi+…存在，則稱

x1p1+x2p2+…+xipi+…為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望或均值，記為EX,即EX=Σixipi.離散型隨機變量數(shù)學(xué)期望1注:(1)絕對收斂.

(2)數(shù)學(xué)期望是一種加權(quán)平均.(3)隨機變量的數(shù)學(xué)期望可能不存在.DepartmentofMathematics,TianjinUniversity舉例例1：設(shè)X的分布律為

P(X=k)=1/2k,(k=1,2,…).求EX.

DepartmentofMathematics,TianjinUniversity例2:設(shè)某團體有N個人，為普查某種疾病都去驗血.驗血可分兩種方式：

(I)每個人分別驗，共需N次；

(II)按每k個人一組進行分組檢驗.對每一組，將該組每個人所抽的血取出一半混合在一起驗，若呈陰性，則該組均為陰性,且k個人只需化驗一次；若呈陽性，則再對這k個人分別驗，此時k個人需要k+1次檢驗.假定對所有人，驗血的結(jié)果呈陽性的概率為p,且這些人的化驗結(jié)果是相互獨立的.試求：(1)k個人的血混合后呈陽性的概率;(2)在方案(II)中，檢驗N個人所需的化驗次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望；(3)k取什么值時，(2)的數(shù)學(xué)期望最小.DepartmentofMathematics,TianjinUniversity解:(1)1-(1-p)k;(2)EX=N[1-(1-p)k+1/k];(3)k應(yīng)滿足：k2(1-p)kln(1-p)+1=0.特別，當p=0.05時，可解得k=5.若N=1000,則用方案(II)需化驗

1000（1-0.955+1/5）=426(次).(3)類似離散型隨機變量，對乘積求和并取極限得期望.記T=max{Δxi:i=1,2,…n},則

EX=limT->0Σixif(xi)Δxi=DepartmentofMathematics,TianjinUniversity連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望2設(shè)X是連續(xù)型隨機變量，其概率密度函數(shù)為f(x).要求X的數(shù)學(xué)期望：(2)概率離散化：設(shè)在(xi-1,xi]上，P(xi-1<X≤xi)≈f(xi)Δxi(1)取值離散化：設(shè)在區(qū)間(xi-1,xi]上，X≈xi;DepartmentofMathematics,TianjinUniversity連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望2定義：設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為f(x).若積分收斂，則稱X的數(shù)學(xué)期望存在，并將稱為X的數(shù)學(xué)期望或均值.即

EX=注：若發(fā)散，則稱連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望不存在.DepartmentofMathematics,TianjinUniversity例3.設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為求(1)a,b;（2）EX.例4.設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度f(x)滿足

f(c+x)=f(c-x),-∞<x<+∞.其中c為常數(shù)，且X的數(shù)學(xué)期望存在，證明EX=c.DepartmentofMathematics,TianjinUniversity注：Γ函數(shù)在計算期望時經(jīng)常用到且DepartmentofMathematics,TianjinUniversity已知X的數(shù)學(xué)期望，求Y=g(X)的數(shù)學(xué)期望.方法1.先求Y的分布，再求Y的期望.方法2.不求Y的分布而直接計算其期望.隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望3例5.設(shè)隨機變量X的分布律為求Y=X2+X-1的數(shù)學(xué)期望.X-101PX0.20.30.5例6.設(shè)隨機變量X～U(0,π/2),求Y=sinX的期望.DepartmentofMathematics,TianjinUniversity定理：設(shè)隨機變量Y是隨機變量X的函數(shù)Y=g(X),y=g(x)是連續(xù)函數(shù)，(1)若X是離散型的，且分布律為

P(X=xi)=pi,i=1,2,….且收斂，則有(2)若X是連續(xù)型的，其概率密度為f(x),且收斂，則有DepartmentofMathematics,TianjinUniversity例7.國際市場每年對我國某種商品的需求量是隨機變量X（噸），它服從區(qū)間[2,4]（單位：噸）上的均勻分布.設(shè)每售出商品一噸，可掙外匯3千元；每積壓一噸，則損失1千元.問需要組織多少貨源，才能使收益的期望最大？DepartmentofMathematics,TianjinUniversity已知(X,Y)是二維隨機變量，g(x,y)是二元連續(xù)函數(shù).(1).若(X,Y)是離散型的，且聯(lián)合分布律為

P(X=xi,Y=yj)=pij,i,j=1,2,…,且級數(shù)ΣiΣjg(xi,yj)pij絕對收斂，則隨機變量g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望為

E[g(X,Y)]=ΣiΣjg(xi,yj)pij(2).若(X,Y)是連續(xù)型的，且聯(lián)合概率密度為f(x,y),且積分絕對收斂，隨機變量g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望為

E[g(X,Y)]=DepartmentofMathematics,TianjinUniversity例8.已知聯(lián)合概率分布律為求EX,EY,E(XY),E(X2+Y2).求EX,EY,E(Y/X),E[(X-Y)2].YX123-10.20.1000.100.310.10.10.1例9.已知聯(lián)合概率密度為DepartmentofMathematics,TianjinUniversity例10.已知隨機變量X1,X2均服從區(qū)間(0,1)上的均勻分布，且相互獨立.若X=max{X1,X2},Y=min{X1,X2}.求(1)EX,EY;(2)E(X+Y).DepartmentofMathematics,TianjinUniversity1.E(c)=c.(c為常數(shù))3.E(X+Y)=EX+EY.4.若X,Y獨立，則E(XY)=E(X)E(Y).

推廣：若X1,X2,…,Xn相互獨立，則

E(X1X2…Xn)=E(X1)E(X2)…E(Xn)2.a,b為常數(shù)，則E(aX+b)=aEX+b.

特別：E(aX)=aE(X).由2和3可得：E(aX+bY)=aEX+bEY;E(a1X1+a2X2+…+anXn+b)=a1EX1+a2EX2+…+anEXn+bDepartmentofMathematics,TianjinUniversity例11.已知隨機變量X～N(50,1),Y～N(60,4).Z=3X-2Y-10.求EZ.第四章

隨機變量的數(shù)字特征4.2隨機變量的方差DepartmentofMathematics,TianjinUniversity內(nèi)容提要方差的定義1方差的性質(zhì)2常見分布的期望與方差3DepartmentofMathematics,TianjinUniversity設(shè)X是一個隨機變量.若E[X-E(X)]2存在，則稱之為隨機變量X的方差，記為D(X)或Var(X),即

D(X)=E[X-E(X)]2.并稱為X的標準差.

隨機變量的方差1注:

(1)方差的計算:(2)常用公式：

D(X)=E(X2)-(EX)2.DepartmentofMathematics,TianjinUniversity例1.設(shè)X的分布律為P(X=k)=1/2k,k=1,2,….求DX.例2.設(shè)X～N(μ,σ2).求D(X)和σ(X).DepartmentofMathematics,TianjinUniversity1.D(c)=0.(c為常數(shù))3.D(X)=0<=>P(X=c)=1,(c=EX為常數(shù)).4.若X,Y獨立，則D(X+Y)=DX+DY.注:(1)

若X1，X2，…，Xn相互獨立，則

D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+E(Xn).(2)

若X,Y相互獨立，則D(X-Y)=D(X)+D(Y);D(aX+bY)=a2D(X)+b2D(Y).2.a,b為常數(shù)，則D(aX+b)=a2DX.特別：D(aX)=a2D(X),D(-X)=DX,D(X+b)=DX.5.對任意的x∈R,D(X)≤E(X-x)2.DepartmentofMathematics,TianjinUniversity常見分布的期望與方差3分布期望方差0-1分布B(1,p)pp(1-p)二項分布B(n,p)npnp(1-p)泊松分布P(λ)λλ幾何分布g(p)1/p(1-p)/p2均勻分布U(a,b)(a+b)/2(b-a)2/12指數(shù)分布EXP(λ)1/λ1/λ2正態(tài)分布N(μ,σ2)μσ2DepartmentofMathematics,TianjinUniversity例3.(分解變量法)設(shè)X服從二項分布B(n,p),再求EX,DX.例4.一套儀器有n個獨立元件組成，第i個發(fā)生故障的概率為pi,(i=1,2,…,n).問整套儀器平均有多少個元件發(fā)生故障？第四章

隨機變量的數(shù)字特征4.3隨機變量的協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)DepartmentofMathematics,TianjinUniversity內(nèi)容提要隨機變量的協(xié)方差1隨機變量的相關(guān)系數(shù)2DepartmentofMathematics,TianjinUniversity定義：設(shè)二維隨機變量(X,Y)的函數(shù)(X-EX)(Y-EY)的數(shù)學(xué)期望E[(X-EX)(Y-EY)]存在,則稱之為隨機變量X與Y的協(xié)方差.記為Cov(X,Y).即Cov(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)].隨機變量的協(xié)方差1注:(1)協(xié)方差的求法:(2)常用公式：

Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY.

(3)Cov(X,X)=E(X2)-(EX)2=DX.DepartmentofMathematics,TianjinUniversity協(xié)方差的性質(zhì)：(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);(2)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);(3)Cov(aX+b,cY+d)=acCov(X,Y);(4)D(X+Y)=DX+DY+2Cov(X,Y).

定義：設(shè)(X,Y)是二維隨機變量，若DX>0,DY>0，則稱DepartmentofMathematics,TianjinUniversity隨機變量的相關(guān)系數(shù)2為X與Y的相關(guān)系數(shù)，記為ρXY.注：ρXY與Cov(X,Y)的關(guān)系:當ρXY=0時，稱X與Y