誤差理論設計與實踐第1頁，課件共47頁，創作于2023年2月設計與實踐分布：第1、3、6學期每學期1W或相應的學時物理、科教：加強普物實驗第2頁，課件共47頁，創作于2023年2月本次課的目的1、掌握誤差、測量等基本概念2、掌握數據處理的方法第3頁，課件共47頁，創作于2023年2月等精度測量：在相同條件下進行的多次測量

測量列：在等精度測量中的一組n

次測量的值

測量分：直接測量間接測量

直接測量分：等精度測量非等精度測量

第4頁，課件共47頁，創作于2023年2月誤差及偏差

誤差的定義誤差ε＝測量值x－真值a真值：客觀存在的真實值由于真值的不可知，誤差實際上很難計算第5頁，課件共47頁，創作于2023年2月最佳估計值——算術平均值算術平均值理論可證明：當測量次數n→∞，算術平均值可作為測量結果：最佳估計值(假定無系統誤差)——近似真實值第6頁，課件共47頁，創作于2023年2月偏差：測量值與近似真實值的差值為偏差

誤差ε＝測量值x－真值a第7頁，課件共47頁，創作于2023年2月產生原因：由于測量儀器、測量方法、環境影響等誤差的分類及其規律（按性質和產生的原因分）（1）系統誤差：在對同一被測量的多次測量過程中，絕對值和符號保持恒定或按某一確定的規律變化的測量誤差。第8頁，課件共47頁，創作于2023年2月（2）偶然誤差（隨機誤差）：對同一量的多次重復測

量中，絕對值和符號變化不定的測量誤差。

產生原因：實驗條件、環境因素無規則的起伏變化、觀察者生理分辨能力等的限制例如：讀數時的視差影響。特點：①絕對值小的誤差出現的概率比大誤差出現的概率大；絕對值很大的誤差出現的概率為零②多次測量時分布對稱（正態分布），具有抵償性。因此取多次測量的平均值有利于消減隨機誤差。f(ε)-σ0σε第9頁，課件共47頁，創作于2023年2月直接測量值誤差的估計

假定對一個量進行了n次等精度測量，測得的值為xi(i=1,2，…，n)，可以用多次測量的算術平均值作為被測量的最佳值(假定無系統誤差)——近似真實值等精度測量：在相同條件下進行的多次測量

測量列：在等精度測量中的一組n

次測量的值

第10頁，課件共47頁，創作于2023年2月用貝塞爾公式表示意義:表示某次測量值的隨機誤差在之間的概率為68.3％。f(ε)-σ0σε貝塞爾公式注意：若分子是誤差，則標準差：（中學用此公式）標準偏差

（也稱均方誤差）直接測量值誤差的估計第11頁，課件共47頁，創作于2023年2月2.算術平均值的標準偏差

意義:測量平均值的隨機誤差在之間的概率為68.3%。反映了平均值接近真值的程度。f(ε)-σ0σε第12頁，課件共47頁，創作于2023年2月一般教學實驗：測5～10次理論上：測量次數n→∞，051015

20n平均值的標準偏差實際測量多少次合適？由圖可知：n大于10后，曲線變得較平坦。第13頁，課件共47頁，創作于2023年2月3、t分布

實際中，測量次數n不可能趨于無窮。當測量次數較少時，隨機誤差服從的規律是t分布。正態分布εf(ε)t分布0t分布的曲線比正態分布的要平坦，兩者的分布函數不同，n較小時,t分布偏離正態分布較多，n較大時,趨于正態分布第14頁，課件共47頁，創作于2023年2月t分布標準偏差(正態分布）t分布與正態分布的誤差計算關系第15頁，課件共47頁，創作于2023年2月t值與測量次數有關下表是當置信度p=0.95的t值

n34567891015≥100t4.33.182.782.572.452.362.312.262.14≤1.972.481.591.2041.050.9260.8340.7700.7150.553≤0.139所以對一般的教學實驗，也可用Sx（貝塞爾公式）作為估算誤差的公式。由上表可知，當5≤n≤10時，接近1→ΔA≈Sx第16頁，課件共47頁，創作于2023年2月

與及t分布的誤差估算公式對比測量列中某次測量值的標準偏差平均值的標準偏差※測量次數n為有限次：用t分布（也可用貝塞爾公式）計算直接測量量的誤差。對t分布

第17頁，課件共47頁，創作于2023年2月測量結果的不確定度

:用統計方法評定σB:用估算方法評定取儀器誤差σA取偶然誤差合成不確定度

因真值得不到，測量誤差就不能肯定，所以用不確定度的概念對測量數據做出評定比用誤差來描述更合理。

不確定度：表示由于測量誤差的存在而對被測量值不能確定的程度。第18頁，課件共47頁，創作于2023年2月儀器不確定度一般取：最小刻度（分度值）的1/10、1/5、1/2

或最小刻度例：用米尺測量某物的長度為202.5mm,儀器不確定度取0.5mm,即：L=202.5±0.5mm（1）對儀器準確度未知的（2）對非連續讀數儀器（如數字儀表）取其最末位數的一個最小單位

第19頁，課件共47頁，創作于2023年2月（3）已知儀器準確度如一個量程150mA，準確度0.2級的電流表測某一次電流，讀數為131.2mA最大絕對不確定度為ΔI=150×0.2％＝0.3mA測量的結果：I＝131.2±0.3mA最大絕對不確定度：如：電表第20頁，課件共47頁，創作于2023年2月電表板面上的符號～交流U磁電系儀表或1.01.0準確度等級為1.02絕緣強度試驗電壓為2千伏或水平放置或垂直放置Ⅱ二級防外磁場：在強度為400AW/m(5奧斯特)的直流均勻外磁場下，儀表指示值的改變不應超過1.0％

BU1.02ⅡB工作環境：溫度：－20℃～50℃；濕度：95％以下

直流第21頁，課件共47頁，創作于2023年2月（2）A類不確定度（偶然誤差）較大時：(1)A類不確定度與儀器不確定度相差不大時：可只取儀器不確定度(3)只測一次或A類不確定度很小：因不確定度

實際中不確定度的處理原則：第22頁，課件共47頁，創作于2023年2月σx只取1位，下一位0以上的數一律進位例：的末位與σx所在位對齊，下1位簡單采取4舍5入（1）測量值和不確定度測量結果的表達：測量值、絕對不確定度和相對不確定度例：算得σx＝2.12……mm取σx＝3mm注：以上為本教材的規定。不同的教材，有差異。算得R＝910.12Ω,ΔR＝1.234Ω算得t＝10.126s,Δt＝0.0123s第23頁，課件共47頁，創作于2023年2月有時候還需要將測量結果與公認值或理論值進行比較（即：百分誤差）：相對不確定度與哪個測量不確定度小？一般取2位（2）相對不確定度第24頁，課件共47頁，創作于2023年2月相對不確定度完整的結果表示或第25頁，課件共47頁，創作于2023年2月例：用50分度的游標卡尺測某一圓棒長度L，測量6次，結果如下（單位mm）：

250.08，250.14，250.06,250.10,250.06,250.10則：測得值的最佳估計值為不確定度（t=2.57)游標卡尺的儀器不確定度取0.02mm,即ΔI=0.02mm合成不確定度第26頁，課件共47頁，創作于2023年2月例：用螺旋測微計(分度值：0.01mm）測某一鋼絲的直徑，6次測量值yi分別為：0.249,0.250,0.247,0.251,0.253,0.250;同時讀得螺旋測微計的零位y0為：0.003,單位mm，請給出測量結果。解：最佳值不確定度

結果：y=0.247±0.005mm儀器不確定度：ΔI=0.004mm或取1/2分度值0.005mm對于一級千分尺，一般取0.004mm。實驗室一般是一級千分尺。第27頁，課件共47頁，創作于2023年2月間接測量值不確定度的估計不確定度的傳遞公式第28頁，課件共47頁，創作于2023年2月（1）（2）完整的結果表示和相對不確定度哪個簡單，先算哪個！第29頁，課件共47頁，創作于2023年2月有效數字及其運算規則1.有效數字的一般概念有效數字由準確數字和一位可疑數字組成。05101520mm例：13.7mm準確可疑（估讀）第30頁，課件共47頁，創作于2023年2月2、有效數字的運算規則（1）加減運算的結果末位以參與運算的小數位最少者相同。如7.65+8.268=15.92

75-10.356=65（2）乘除運算結果的有效位數多少以參與運算的有效位數最少的相同或多一位。如3.841×2.42=9.304000×9=3.6×1042.000÷0.99=2.00

7.65+)8.268

15.918=15.92可疑取一位可疑

3.841×2.42

76821536476829.29522=9.30注意：不同

3.841×8.42

7682153643072832.34022=32.343位4位下劃線表示可疑位第31頁，課件共47頁，創作于2023年2月(3)三角函數、對數、指數運算的結果有效數字三角函數：一般取四位例：sin30o07′(4位）＝sin30.12o=0.5018對數：結果的有效數字，其小數點后的位數（尾數）與真數的位數相同例：ln15.55=2.7441（4）自然數1,2,3,…不是測量而得，可以視為無窮多位有效數字的位數，如D＝2R，D的位數僅由直測量R的位數決定。4位第32頁，課件共47頁，創作于2023年2月（5）無理常數π的位數也可以看成很多位有效數字。例如L＝2πR,π應比R多取一位，若R＝2.23cm（3位），則π取3.142（4位）,或用計算器輸入π。注：1、不用算誤差時，要用上面的規定確定有效位數。

2、若為減少運算中出現過多位時用此規定，但中間過程可多取1～2位（可疑位）（但不能任意減少），最后由不確定度決定。第33頁，課件共47頁，創作于2023年2月

例已知一圓柱體的質量

,高度

,用千分尺測量得直徑D的數據如下表，求圓柱體的密度ρ及不確定度。HD次數i123456平均Di(mm)5.6425.6485.6435.6405.6495.6465.645第34頁，課件共47頁，創作于2023年2月解：次數i123456平均Di(mm)5.6425.6485.6435.6405.6495.6465.645=0.00373＝0.0038(mm)查表，n＝6時的t值中間過程可多保留1～2位第35頁，課件共47頁，創作于2023年2月合成不確定度千分尺的分度值是0.01mm，若儀器不確定度取1/2分度值：

ΔI=0.005mm第36頁，課件共47頁，創作于2023年2月比參加運算的數據中最少的位數多一位，或就用π表示。第37頁，課件共47頁，創作于2023年2月用附表中最后一行公式與不確定度所在位對齊（指小數位）相對不確定度取2位（有效位，不是小數位）不確定度取1位第38頁，課件共47頁，創作于2023年2月作圖時要先整理出(或算出）數據表格，并要用正規紙張作圖。用作圖法處理數據第39頁，課件共47頁，創作于2023年2月第40頁，課件共47頁，創作于2023年2月T(C0)R(Ω)15.020.025.030.035.040.045.050.055.0T(0C)15.724.026.531.135.040.345.0R(Ω)2.8072.8792.9172.9693.0033.0593.107R－T曲線3.1003.0503.0002.9502.9002.8502.8000.01為2小格數據中最后一位準確位(即數據的倒數第二位）對應于整數格：1C0

為2小格數字標整數，標到可疑位作者：張三日期：2010.3.15.第41頁，課件共47頁，創作于2023年2月不當圖例展示：nλ(nm)1.65005007001.67001.66001.70001.69001.6800600400玻璃材料色散曲線圖圖1曲線太粗，不均勻，不光滑。應該用直尺、曲線板等工具把實驗點連成光滑、均勻的細實線。第42頁，課件共47頁，創作于202