第一章矩陣12節第一章矩陣12節第一章矩陣12節此表格可簡記為

這樣的一個矩形數表就稱為一個4行3列或4×3的矩陣。此表格可簡記為

這樣的一個矩形數表就稱為一個4行3列或4×3的矩陣。例2設有三個煉油廠以原油為主要原料，利用一噸原油生產的燃料油、柴油和汽油數量如表1.2所示（單位：t）:第一煉油廠第二煉油廠第三煉油廠燃料油0.7620.4760.286柴油0.1900.4760.381汽油0.2860.3810.571可以組成一個數表，并稱之為3階矩陣：二、矩陣的概念定義1.1設F是由一些數組成的集合，其中包含0和1。如果F中的任意兩個數的和、差、積、商仍然是F中的數，則F就稱為一個數域。有理數域Q，實數域R，復數域C。若無特別說明，各章中涉及的數均為實數。問：最小的數域是什么？定義1.2

由個數排成的行列的數表稱為矩陣.簡稱矩陣.記作簡記為元素是實數的矩陣稱為實矩陣,元素是復數的矩陣稱為復矩陣.主對角線副對角線例如是一個實矩陣,是一個復矩陣,是一個矩陣,是一個矩陣,是一個1×1矩陣.（2）例如是一個3階方陣.三、幾種特殊矩陣(2)只有一行的矩陣稱為行矩陣(或行向量).行數與列數都等于的矩陣，稱為階方陣.也可記作只有一列的矩陣稱為列矩陣(或列向量).（3）形如的方陣,不全為0

稱為對角矩陣(或對角陣）.記作

（4）元素全為零的矩陣稱為零矩陣，零矩陣記作或.注意不同階數的零矩陣是不相等的.例如(5)方陣稱為單位矩陣（或單位陣）.全為1(６)數量矩陣

當對角矩陣的主對角線上的元都相同時，

稱為數量矩陣．(７)上三角形與下三角形矩陣

形如的矩陣稱為上三角形矩陣．形如的矩陣稱為下三角形矩陣．(8)對稱矩陣與反稱矩陣

如果n階矩陣A=()的元滿足

，則稱A為n階對稱矩陣;例如：

如果n階矩陣A=()的元滿足則稱A為n階反稱矩陣。例如：

同型矩陣與矩陣相等的概念1.兩個矩陣的行數相等,列數相等時,稱為同型矩陣.例如為同型矩陣.2.兩個矩陣為同型矩陣,并且對應元素相等,即則稱矩陣相等,記作§1.2矩陣的運算一、矩陣的加法

定義1.4：設有兩個m×n矩陣A=(aij)

和B=(bij)

，則矩陣A與B矩陣的和矩陣規定為注意:只有當兩個矩陣具有相同的行數和相同的列數時才能相加.我們稱矩陣

為A=(aij)的負矩陣，記作-A.

按照矩陣的加法定義可得出矩陣的減法：

矩陣的加法,滿足下列運算律（設A,B,C都是m×n矩陣）：

(1)(2)(3)例設兩矩陣

求

解:

二、數與矩陣的乘法定義1.5：設矩陣A=(aij)

，λ是一個數，則數λ與矩陣A的乘積規定為：數與矩陣的乘法滿足下列運算律（設A，B為m×n矩陣，λ，μ為實數）：(1)(2)(3)例設

求3A-2B.解：

三、矩陣的乘法定義1.6：設兩個矩陣

其中

則A與B的乘積矩陣,注意:只有當矩陣A的列數與B的行數相同時，A與B才能作乘積，并且乘積矩陣的行數與A的行數相等，乘積矩陣的列數與B的列數相等.矩陣的乘法滿足下列運算律（假設運算都是成立的）：

(1)結合律:

(2)分配律：

(3)設k是實數:

例設

求乘積矩陣.

解：

例設求AB，BA與AC.解：例設則但是

例設可見，單位矩陣在矩陣乘法中的作用相當于數1在數的乘法中的作用。

從例題中我們可以得出下面的結論：(1)矩陣的乘法不滿足交換律,即AB≠BA，但對任一方矩陣A,有EA=AE.(2)兩個非零矩陣的乘積可能等于零矩陣.若

A≠0,B≠0,而AB=0,則稱A,B互為零因子,稱A為B的左零因子,B為A的右零因子.一般:AB=0,不能推出A=0或B=0.

(3)矩陣乘法中消去律不成立,即

AB=AC,且A≠0，不一定有B=C.必須注意：根據矩陣乘法分配律，對AB-Ka=0（k是正整數）只能推出A(B-kE)=0),不能推出A(B-k)=0,因為在一般情況下B-k沒有意義.

定義

如果兩矩陣相乘,有則稱矩陣A與矩陣B可交換.簡稱A與B可換.例：設矩陣求出所有與A可交換的矩陣。解：設為與A可交換的矩陣，由AX=XA可得

定義:

設A是一個n階方陣，規定

（k是正整數）

稱

為A的k次方冪.

方陣的冪滿足下列運算律:(l,k為正整數）

兩個n階方陣A與B，一般：

定義:若

則稱A為冪等矩陣(inempotentmatrix),則稱A為冪零矩陣(nilpotentmatrix).若有正整數k,使例設

,n為正整數,試求解:

設

有

而

所以有

四、矩陣的轉置定義1.7：

設

則矩陣

稱為A的轉置矩陣(transposedmatrix),記作

矩陣的轉置是一種運算，它滿足下列運算律（假設運算都是可行的）：（1）

（2）

（3）

（k是數）

（4）

例9

已知

求

解:

A為對稱矩陣當且僅當