第十章定性選擇模型與受限因變量模型第1頁，課件共58頁，創作于2023年2月對于被解釋變量而言，很多情況也會對其取值有所限制。有時，因變量描述的是微觀個體的某種選擇、特征或所屬等，即因變量為定性變量，相應的模型稱為定性選擇模型或定性響應模型；另一些情況是，因變量的取值被限定在某個特殊范圍，一般我們稱這類取值范圍受到限制的因變量為受限因變量，相應的模型稱為受限因變量模型。兩類模型樣本數據一般是橫截面數據。兩類模型被廣泛應用于消費者行為、勞動經濟學、農業經濟學等領域，大多屬于微觀計量經濟學的研究范疇。本章介紹幾種常見的定性選擇模型與受限因變量模型。第2頁，課件共58頁，創作于2023年2月第一節線性概率模型

因變量為虛擬變量的模型被稱為定性選擇模型或定性響應模型。如果只有兩個選擇，我們可用0和1分別表示它們，如乘公交為0，自駕車為1，這樣的模型稱為二元選擇模型（binarychoiceModels），多于兩個選擇（如上班方式加上一種騎自行車）的定性選擇模型稱為多項選擇模型（Multinomialchoicemodels）。我們先從基礎的二元選擇模型入手，介紹定性選擇模型的設定和估計。最簡單的二元選擇模型是線性概率模型（LinearProbabilityModels,LPM）。第3頁，課件共58頁，創作于2023年2月一、線性概率模型的概念下面用一個關于是否讀研究生的例子來說明如何解釋線性概率模型的結果。模型為：其中：第4頁，課件共58頁，創作于2023年2月

設回歸結果如下（所有系數值均在10%水平統計上顯著）：

對每個觀測值，我們可根據（10.3）式計算因變量的擬合值或預測值。在常規OLS回歸中，因變量的擬合值或預測值的含義是，平均而言，我們可以預期的因變量的值。但在本例的情況下，這種解釋就不適用了。假設學生甲的平均分為3.5，家庭年收入為5萬美元，Y的擬合值為第5頁，課件共58頁，創作于2023年2月

盡管因變量在這個二元選擇模型中只能取兩個值：0或1，可是該學生的的擬合值或預測值為0.8。我們將該擬合值解釋為該生決定讀研的概率的估計值。因此，該生決定讀研的可能性或概率的估計值為0.8。需要注意的是，這種概率不是我們能觀測到的數字，能觀測的是讀研還是不讀研的決定。對斜率系數的解釋也不同了。在常規回歸中，斜率系數代表的是其他解釋變量不變的情況下，該解釋變量的單位變動引起的因變量的變動。而在線性概率模型中，斜率系數表示其他解釋變量不變的情況下，該解釋變量的單位變動引起的因變量等于1的概率的變動。第6頁，課件共58頁，創作于2023年2月CPA的系數估計值0.4意味著家庭收入不變的情況下，一個學生的增加一個點（如從3.0到4.0），該生決定去讀研的概率的估計值增加0.4。

INCOME的系數估計值0.002表明，一個學生的成績不變，而家庭收入增加1000美元（單位為千美元），該生決定去讀研的概率的估計值增加0.002。

LPM模型中，解釋變量的變動與虛擬因變量值為1的概率線性相關，因而稱為線性概率模型。第7頁，課件共58頁，創作于2023年2月二、線性概率模型的估計和問題第一個問題是線性概率模型存在異方差性。擾動項的方差是，這里p是因變量等于1的概率，此概率對于每個觀測值不同，因而擾動項方差將不是常數，導致異方差性。可以使用WLS法，但不是很有效，并且將改變結果的含義。第二個問題是擾動項不是正態分布的。事實上，線性概率模型的擾動項服從二項分布。第三個問題，它假定自變量與Y=1的概率之間存在線性關系，而此關系往往不是線性的。第8頁，課件共58頁，創作于2023年2月

第四個問題是，擬合值可能小于0或大于1，而概率值必須位于0和1的閉區間內。回到有關讀研的例子。假設學生乙的為4.0，家庭收入為20萬美元，則代入（10.3）式，Y的擬合值為

從而得到一個不可能的結果（概率值大于1）。假設另有一個學生丙的為1.0，家庭收入為5萬元，則其Y的擬合值為-0.2，表明讀研的概率為負數，這也是一個不可能的結果。第9頁，課件共58頁，創作于2023年2月

解決此問題的一種方法是，令所有負擬合值都等于0，所有大于1的擬合值都等于1。但也無法令人十分滿意，因為在現實中很少會有決策前某人讀研的概率就等于1的情況，同樣，盡管某些人成績不是很好，但他去讀研的機會仍會大于0。線性概率模型傾向于給出過多的極端結果：估計的概率等于0或1。

第10頁，課件共58頁，創作于2023年2月

第五個問題是在線性概率模型中，以及不再是合適的擬合優度測度。事實上，此問題不僅是線性概率模型的問題，而是所有定性選擇模型的問題。較好一點的測度是模型正確預測的觀測值的百分比。首先，我們將每一預測歸類為1或0。如果擬合值大于等于0.5，則認為因變量的預測值為1。若小于0.5，則認為因變量的預測值為0。然后，將這些預測值與實際發生的情況相比較，計算出正確預測的百分比：

第11頁，課件共58頁，創作于2023年2月

需要指出的是，這個測度也不是很理想，但預測結果的好壞，并非定性選擇模型唯一關心的事，這類模型常被用于研究影響人們進行某個決策的因素。讓我們來看一個競選的例子。假設候選人甲和乙二人競選某市市長，我們可以用一個二元選擇模型來研究影響選民決策的因素，模型為：其中：第12頁，課件共58頁，創作于2023年2月VariableCoefficientStandarderrort-Statisticp-ValueConstant-0.510.19-2.650.01INCOME0.00980.0033.250.00AGE0.0160.00533.080.00MALE0.00310.130.020.98表10.2兩候選人選舉線性概率模型回歸結果Dependentvariable：CAND1Observations：30=0.58Adjusted=0.53ResidualSumofSquares=3.15F-statistic=11.87第13頁，課件共58頁，創作于2023年2月

如表所示，INCOME的斜率估計值為正，且在1%的水平上顯著。年齡和性別不變的情況下，收入增加1000元，選擇候選人甲的概率增加0.0098。

AGE的斜率估計值也在1%的水平上顯著。在收入和性別不變的情況下，年齡增加1歲，選擇候選人甲的概率增加0.016。的斜率系數統計上不顯著，因而沒有證據表明樣本中男人和女人的選票不同。我們可以得出如下結論：年老一些、富裕一些的選民更喜歡投票給候選人甲。表中給出CAND1的擬合值，每個大于等于0.5的擬合值計入CAND1為1的預測，而小于0.5的擬合值則計入CAND1為0的預測。第14頁，課件共58頁，創作于2023年2月

從表可看出，30個觀測值中，27個（或90%）預測正確。選甲的14人中，12人（或85.7%）預測正確。選乙的16人中，15人（或93.8%）預測正確。是0.58，表明模型解釋了因變量的58%的變動，這與90%的正確預測比例相比，低了不少。注意表10－3中有一些擬合值大于1或小于0。這是我們前面指出的這類模型的缺點之一，這些擬合值是概率的估計值，而概率永遠不可能大于1或小于0。第15頁，課件共58頁，創作于2023年2月第二節Probit模型和Logit模型

雖然估計和使用線性概率模型很簡單，但存在上面討論的幾個問題，其中最嚴重的兩個問題是擬合值小于0或大于1的問題和假定自變量和的概率之間存在線性關系的假設不現實的問題。使用更為復雜的二元響應模型可以克服這些缺陷第16頁，課件共58頁，創作于2023年2月一．Probit和Logit模型的設定估計二元選擇模型的另一類方法假定回歸模型為這里不可觀測，通常稱為潛變量（latentvariable）。我們能觀測到的是虛擬變量：第17頁，課件共58頁，創作于2023年2月

這就是Probit和Logit方法的思路。Probit模型和Logit模型的區別在于對中擾動項u的分布的設定，前者設定為正態分布，后者設定為logistic分布。與線性概率模型的區別是，這里假設潛變量的存在。例如，若被觀測的虛擬變量是某人買車還是不買車，將被定義為“買車的欲望或能力”，注意這里的提法是“欲望”和“能力”，因此解釋變量是解釋這些元素的。可以看出，乘上任何正數都不會改變，因此這里習慣上假設Var(ui)=1，從而固定的規模。我們有第18頁，課件共58頁，創作于2023年2月其中F是u的累積分布函數。如果u的分布是對稱的，則，我們可以將上式寫成我們可寫出似然函數：第19頁，課件共58頁，創作于2023年2月

上式中F的函數形式取決于有關擾動項u的假設，如果的累積分布是logistic分布，則我們得到的是logit模型。在這種情況下，累積分布函數為：因此第20頁，課件共58頁，創作于2023年2月請注意，對于logit模型：

上式的左端是機會（odds）的對數，稱為對數機會比率（log-oddsratio），因而上式表明對數機會比率是各解釋變量的線性函數，而對于線性概率模型，為各解釋變量的線性函數。如果服從正態分布，我們得到的是probit模型（或normit模型），在這種情況下，累積分布函數為：第21頁，課件共58頁，創作于2023年2月

無論是probit模型還是logit模型，極大似然函數都伴隨著非線性估計方法，目前很多計量經濟分析軟件已可用于probit和logit分析，用起來很方便。由于累積正態分布和累積logistic分布很接近，只是尾部有點區別，因此，我們無論logit法還是probit法，得到的結果都不會有很大不同。可是，兩種方法得到的參數估計值不是直接可比的。由于logistic分布的方差為，因此，logit模型得到的的估計值必須乘以，才能與probit模型得到的估計值相比較（正態分布標準差為1）。第22頁，課件共58頁，創作于2023年2月概率=F(Z)10ZProbit模型線性概率模型圖10-1線性概率模型和Probit模型第23頁，課件共58頁，創作于2023年2月二、Probit模型和Logit模型的極大似然估計和假設檢驗估計LPM，我們可以采用OLS或WLS。在Probit模型和Logit模型中，由于的非線性性質，OLS或WLS都不再適用。估計Probit模型和Logit模型，通常采用極大似然法。第24頁，課件共58頁，創作于2023年2月極大似然估計量（MLE）即由極大化此對數似然函數得到。對于logit模型，G是標準logisticcdf，是logit估計量；對于probit模型，G是標準正態cdf，是probit估計量。由于此最大化問題的非線性性質，我們很難寫出Probit模型和Logit模型的參數的極大似然估計量的具體表達式。可以證明，在很一般的條件下，MLE是一致的、漸近正態和漸近有效的(一般性討論參見Woodridge（2002））。第25頁，課件共58頁，創作于2023年2月伴隨每一個極大似然估計值，有一個與之對應的標準誤差。支持Probit和Logit的軟件包在給出系數估計值的同時會給出與之對應的標準誤差。一旦我們從軟件包的報告中得到了標準誤差，就可以構造（漸近的）t檢驗和置信區間，與應用OLS、2SLS估計量做檢驗時一樣。例如要檢驗，我們做法是，構造t統計量，然后按通常的檢驗程序進行檢驗。我們也可以對Probit模型和Logit模型的參數的多重約束(即關于的多個線性或非線性約束)進行檢驗，可以采用沃爾德檢驗、拉格朗日乘數檢驗和似然比檢驗，詳細討論見第4、5章有關內容。第26頁，課件共58頁，創作于2023年2月三、偏效應在二元響應模型的大多數應用中，首要的目標是解釋對響應概率的影響。在潛變量模型中，對潛變量的偏效應是，我們下面將看到對響應概率的偏效應是，對正態分布和logistic分布而言，總有，因而上述兩個效應的符號相同，影響的方向總是一致的。潛變量極少有一個確定的度量單位，因而本身的大小，往往不是很有用的（相對于線性概率模型而言）。對于大多數應用而言，我們要估計的是解釋變量對響應概率的影響。由于的非線性本質，使得這個工作相當復雜，通常需要區分為連續變量和離散變量兩種情況。第27頁，課件共58頁，創作于2023年2月（1）如果是一個大致連續的變量，則無論Probit模型還是Logit模型，對響應概率的偏效應都在處取最大值：在Probit模型中，；在Logit模型中，（2）對于離散解釋變量，微分沒有實際意義。若離散解釋變量從變化到，則其對響應概率的離散偏效應可由下式表示第28頁，課件共58頁，創作于2023年2月與LPM模型相比，偏效應的值多出一個乘積項，稱為比例因子（scalefactor）或調整因子（adjustmentfactor），它與全部解釋變量有關，因而會隨的值而變。在計算偏效應時，為方便起見，通常希望有一個適用于模型中所有斜率的比例因子。有兩種方法解決這個問題：第一種方法是用解釋變量觀測值的均值計算偏效應的表達式，比例因子為第二種方法是對每個觀測值計算偏效應，然后計算它們的樣本均值，這樣得到的是平均偏效應（averagepartialeffect,APE）。第29頁，課件共58頁，創作于2023年2月四、擬合優度的測度從實際角度看，在現代計算機解決了復雜的計算問題之后，Probit和Logit模型最困難之處就落在模型結果的提供和解釋方面。支持Probit和Logit的軟件包都會報告系數估計值、它們的標準誤差和對數似然函數值。如同在線性概率模型中討論的一樣，Probit模型和Logit模型也可以計算正確預測的百分比這一指標作為擬合優度的測度。首先，我們將每一預測歸類為1或0。如果擬合值大于等于0.5，則認為因變量的預測值為1。若小于0.5，則認為因變量的預測值為0。然后，將這些預測值與實際發生的情況相比較，計算出正確預測的百分比。第30頁，課件共58頁，創作于2023年2月盡管正確預測的百分比作為擬合優度的測度是有用的，但它也可能造成誤導，特別是在對小可能結果的預測非常糟糕的情況下仍能得到相當高的正確預測的百分比。例如，假設n＝200，160個觀測值為，這160個觀測值中，有140個預測值也是0，即使對于的那40個觀測值的預測都錯，正確預測全部結果的百分比仍高達70％！度量Probit和Logit模型的擬合優度的測度還可以采用各種pseudo-R2

。pseudo-原意是偽(假)，這里采用它，意思是與常規R2類似但不相同，而不是說它是假的。對于Probit模型和Logit模型，已經開發了幾種有用的pseudo-R2測度，其中最常用的是McFadden(1974)提出的pseudo-R2測度第31頁，課件共58頁，創作于2023年2月表10－4兩候選人選舉模型的Probit回歸結果Dependentvariable：CAND1VariableCoefficientStandarderrort-Statisticp-ValueConstant-5.191.70-3.060.00INCOME0.0710.0342.100.04AGE0.0730.0342.180.03MALE-0.700.90-0.780.44Observations：30McFaddenpseudo-R2=0.61ResidualSumofSquares=2.62第32頁，課件共58頁，創作于2023年2月

采用Probit模型估計的結果與前面用線性概率模型估計的結果有所不同。采用Probit模型的情況下，INCOME和AGE的系數估計值在5%的誤差水平上顯著，而在線性概率模型的情況下，在1%的水平上顯著。由于我們知道線性概率模型存在嚴重的問題，因此Probit結果可能更準確一些。可是，如果是實際研究的話，要有一個大得多的樣本。Probit模型的系數估計值不能像線性概率模型那樣，解釋成概率的變動（有些計量經濟分析軟件程序可以將系數估計值轉換為與線性概率模型相當的概率變動）。使用Probit模型的一種有意思的方式是求出擬合值進行預測，如我們用線性概率模型所做的一樣。第33頁，課件共58頁，創作于2023年2月Probit模型中用McFadden的pseudo-R2作為擬合優度的測度。pseudo-R2是用于虛擬因變量模型的擬合優度的測度的名字。pseudo-原意是偽（假），這里采用它，意思是與常規R2類似但不相同，而不是說它是假的。對于定性選擇模型，已經開發了幾種有用的pseudo-R2測度，這里所用的是McFadden開發的。很多估計Probit或Logit模型的計量經濟程序計算pseudo-R2。本例中給出的0.61的含義是，Probit模型解釋了因變量61%的變動。第34頁，課件共58頁，創作于2023年2月

與probit模型一樣，logit模型也不能用OLS法估計，而要用極大似然法估計。采用表10-1中的同樣數據估計logit模型，回歸結果如表10-5所示。表10-5兩候選人選舉模型的Logit回歸結果Dependentvariable：CAND1VariableCoefficientStandarderrort-Statisticp-ValueConstant-8.963.23-2.770.01INCOME0.120.061.980.05AGE0.130.062.030.04MALE-1.031.54-0.670.51Observations：30McFaddenpseudo-R2=0.60ResidualSumofSquares=2.59第35頁，課件共58頁，創作于2023年2月

McFaddenpseudo-R2和統計顯著性與probit模型的結果類似。INCOME和AGE的系數估計值亦在5%誤差水平上顯著。而MALE則在兩種模型回歸中均不顯著。而斜率系數估計值則不同，這是因為它們的意義不一樣。例如，AGE的系數估計值0.13意味著收入和性別不變的情況下，年齡增大一歲，選舉候選人甲的機會的對數增加0.13。實際上，除了斜率系數的解釋不同，使用probit模型和logit模型并沒有多大區別。第36頁，課件共58頁，創作于2023年2月六、多項選擇模型多項選擇模型是研究在多于兩個的選項中進行決策的模型。一般可以依照選擇集分為有序和無序兩種寬泛的類型。比如，城市交通工具的選擇顯然是無序的，而投資者選擇公司債券(債券經過評級)是有序的。有關二元選擇的Logit模型可以推廣到因變量有兩個以上離散取值的情況，構成多項Logit模型(multinomiallogitmodel)，此模型的主要優點是容易計算，選擇給定方案的概率易于被表示，并且極大似然函數可以用簡單明了的方式產生和最大化。第37頁，課件共58頁，創作于2023年2月該模型的缺點是它以所謂的不相干選擇的獨立性（independenceofirrelevantalternatives，IIA）性質為特征。假設一個幾乎與一個已有選項相同的新選項被加進選擇集中，我們期望的是，從此模型得到的選擇這兩個幾乎相同的選項（如乘公共汽車時選老車型還是新車型）的概率將被分成兩半，而選擇其它選項的概率不受影響。不幸的是，情況不是這樣。因此當兩個或多個選項是相近替代方案時，采用多項Logit模型不適合。在這種情況下，可考慮多項Probit模型(multinomialProbitmodel)。多項Probit模型允許擾動項跨選項相關，從而繞過IIA困境。它的缺點是計算困難，計算四個以上選項的問題幾乎不可行。隨著計算機能力和計算方法的改進，多項Probit模型的應用前景會越來越好。第38頁，課件共58頁，創作于2023年2月如果因變量本質上是有序的，多項Logit模型和多項Probit模型均無法解釋解釋因變量的序數性質。因為決策者選擇不同的方案所得到的效用也是排序的，一般多元離散選擇模型中的效用關系不再適用。處理有序離散因變量的常用方法是有序Probit模型與有序Logit模型。第39頁，課件共58頁，創作于2023年2月*第三節Censored模型Censored模型研究一類重要的受限因變量：在取正值時大致連續，但總體中有一個不可忽略的部分取值為零。考察決定居民家庭用于耐用消費品(如汽車等)支出的因素，或者研究居民每年用于慈善捐助支出的決定因素，或者研究居民每月用于特殊消費品(如酒類等)支出的決定因素等等。這些研究都需要對總體進行抽樣調查取得相關的數據，而抽樣調查的結果有一個共同的特點，那就是有相當一部分個體用于這些方面支出的金額為零，同時不為零的支出數據會呈現出基本連續的形態。第40頁，課件共58頁，創作于2023年2月一、Censored模型的概念當因變量在特定范圍內的值都轉換成（或報告為）某個值時，稱因變量被歸并(censoring)，稱此變量為歸并變量(censoredvariable)。censored回歸模型的一般形式是第41頁，課件共58頁，創作于2023年2月二、Tobit模型的估計為了計估模型參數，我們推導Y的均值設，稱為逆米爾斯比率(inverseMillsratio)，它是標準正態pdf與標準正態cdf在c處的比值。則第42頁，課件共58頁，創作于2023年2月有了上面的結果，我們可以計算從總體中隨機抽取的觀測值的均值因此，一旦有了的估計值，我們就可以確保Y的預測值為正。當然，保證Y的預測值為正的代價是使用了更為復雜的非線性模型。第43頁，課件共58頁，創作于2023年2月Censored模型通常采用極大似然估計。由Y的分布，可得模型的對數似然函數為該對數似然函數由兩部分組成：一部分對應于沒有限制的觀測值，是經典回歸部分；一部分對應于受到限制的觀測值。因而上式是一個非標準的對數似然函數，實際上是離散分布與連續分布的混合。最大化對數似然函數，可得極大似然估計量。這一估計量的性質與普通MLE的性質相同。一般情況下，需采用數值方法來求極大似然估計值。第44頁，課件共58頁，創作于2023年2月求標準誤差的矩陣表達式很復雜，詳細的討論見Wooldridge（2002）。利用Eviews軟件，很方便得到模型的參數估計值及標準誤差，因而可以進行參數的假設檢驗。我們還可以采用沃爾德統計量或似然比統計量同時檢驗多個約束，其方法與一般的MLE相同。

Censored模型的MLE需要兩個基本假定：潛變量模型中隨機干擾項的同方差性和正態性。如果存在異方差性或非正態性，那么MLE估計量便是不一致的。第45頁，課件共58頁，創作于2023年2月在實踐中，研究人員估計Censored模型時往往采用OLS法，盡管OLS估計值不一致。人們發現OLS估計值通常小于ML估計值，幾乎沒有例外。一個值得注意的經驗規律是，極大似然估計值通常約等于OLS估計值除以樣本中非受限觀測值的比例。這恐怕是人們估計Censored模型時采用OLS法的原因。第46頁，課件共58頁，創作于2023年2月三、Tobit模型的偏效應在潛變量模型中，參數的含義與線性模型相同，事實上但潛變量不可觀測，因而這個結果通常沒有什么意義。我們更關心的是解釋變量如何影響可觀測變量。可以證明，在Tobit模型擾動項正態分布的假設下，對的偏效應為

第47頁，課件共58頁，創作于2023年2月四、實例Wooldridge報告了一個美國已婚婦女工作時數的例子。樣本數據包括753個已婚婦女的年工作小時數，其中有428個婦女小時數大于0，另外325個婦女的工作小時數為0。對工作時間為正的婦女而言，其工作時間范圍相當寬，從12小時到4950小時，可以看作連續變化。因此，年工作小時數很適合用Tobit模型，Wooldridge同時還用OLS估計了線性模型(使用全部753個數據)，結果由下表給出。第48頁，課件共58頁，創作于2023年2月因變量：hours自變量線性模型(OLS)Tobit模型(MLE)Nwifeinc-3.45(2.54)-8.81(4.46)Educ28.76(12.95)80.65(21.58)Exper65.67(9.96)131.56(17.28)Exper2-0.70(.325)-1.86(0.54)Age-30.51(4.36)-54.41(7.42)Kidslt6-442.09(58.85)-894.02(111.88)Kidsge6-32.78(23.18)-16.22(38.64)Constant1330.48(270.78)965.31(446.44)ConstantLog-likelihoodvalue-3819.09R-squared0.2660.275750.181122.02第49頁，課件共58頁，創作于2023年2月我們對比OLS估計與Tobit估計，可以看出：(1)Tobit系數估計值與OLS估計值具有相同的符號，而且統計顯著性也類似。可能的例外的是nwifeinc與kidsge6的系數，nwifeinc在OLS估計中的ｔ統計量為-1.41,在Tobit估計中的ｔ統計量為-1.98。kidsge6在OLS估計中的ｔ統計量為-1.41,在Tobit估計中的ｔ統計量為-0.42。(2)本例的結果可以驗證我們前面介紹的經驗法則。樣本中非受限觀測值的比例為428/753=0.568，除個別例外（kidsge6），OLS估計值除以0.568得到的值與Tobit估計值大致相當。如將Exper的OLS系數估計值65.67除以0.568，得到115.62。除了kidsge6外，換算后的OLS估計值的絕對值都小于對應的Tobit估計值的絕對值。第50頁，課件共58頁，創作于2023年2月(3)線性模型和Tobit模型都報告了R-squared值，但其計算方法是不同的。線性模型的R-squ