第三講有限元數學原理第1頁，課件共77頁，創作于2023年2月一般說來，求解方程的途徑有兩大類：1）直接針對原始方程進行求解2）間接針對原始方程進行求解第2頁，課件共77頁，創作于2023年2月直接解法——解析法：解析法從力平衡關系、幾何關系以及物理關系出發，推導出一個或一組關于應力或者關于應變、有時是同時含有應力、應變的微分方程或偏微分方程，通過求解微分方程，解出應力、應變和變形量。工程中，常采用的解析方法有材料力學中對桿件的分析，彈性力學中平面問題的求解，板殼理論等。解析法的很多基本理論是建立在一些簡化的假設基礎之上的，經過大量的工程實踐，被證明能很好的符合構件實際工作情況，已成為成熟的理論。解析法得到的結果是未知量（應力、應變等）的函數解，可直接得到結構中任意點的精確解。解析法在分析理論問題以及一些工程問題時起著重要作用。但是解析法在應用到一些形狀復雜或應力分布復雜的結構時，往往由于數學上的問題而顯得無能為力，因而使解析法在應力分析中的應用受到限制。第3頁，課件共77頁，創作于2023年2月——根據問題的性質，確定基本未知量和相應的基本方程，并且假設一組滿足全部基本方程的應力函數或位移函數。然后在確定的坐標系下，考察具有確定的幾何尺寸和形狀的物體，其表面將受什么樣的面力作用或者將有什么樣的位移。直接解法——逆解法：第4頁，課件共77頁，創作于2023年2月——對于給定的彈性力學問題，根據彈性體的幾何形狀，受力特征和變形特點，或已知簡單結論，如材料力學解，假設部分應力分量或者部分位移分量的函數形式為已知，由基本方程確定其他的未知量，然后根據邊界條件確定未知函數中的待定系數。直接解法——半逆解法：逆解法和半逆解法的應用將在以后的章節中介紹，其求解過程帶有“試算”的性質。第5頁，課件共77頁，創作于2023年2月直接解法——有限差分法：有限差分法：微分方程和積分微分方程數值解的方法。其基本思想是：有限差分方法(finitedifferencemethod)是計算機數值模擬最早采用的方法，至今仍被廣泛運用。該方法將求解域劃分為差分網格，用有限個網格節點代替連續的求解域。有限差分法以Taylor級數展開等方法，把控制方程中的導數用網格節點上的函數值的差商代替進行離散，從而建立以網格節點上的值為未知數的代數方程組。該方法是一種直接將微分問題變為代數問題的近似數值解法，數學概念直觀，表達簡單，是發展較早且比較成熟的數值方法。

第6頁，課件共77頁，創作于2023年2月有限差分格式格式精度：一階格式、二階格式和高階格式。差分的空間形式：中心格式時間因子：顯格式、隱格式、顯隱交替格式等。構造差分的方法有多種形式，目前主要采用的是泰勒級數展開方法。其基本的差分表達式主要有三種形式：一階向前差分、一階向后差分、一階中心差分和二階中心差分等，其中前兩種格式為一階計算精度，后兩種格式為二階計算精度。通過對時間和空間這幾種不同差分格式的組合，可以組合成不同的差分計算格式。

第7頁，課件共77頁，創作于2023年2月間接解法——加權殘值法：是一種應用廣泛的求解微分方程的方法.該方法先假定一族帶有待定參數的定義在全域上的近似函數,該近似解不能精確滿足微分方程和邊界條件,即存在殘差.在加權平均的意義下消除殘差,就得到加權殘值法的方程.由于試函數定義在全域上,所得方程的系數矩陣一般為滿陣.選取不同的權函數,可得到不同的加權參量法.

第8頁，課件共77頁，創作于2023年2月虛功原理定義：彈性體處于平衡狀態，對于滿足變形連續條件的虛位移及其虛應變，外力在虛位移上所做的虛功，等于真實應力分量在對應的虛應變上所做的虛功，即虛應變能。最小勢能原理要求最后得間接解法——虛功原理：第9頁，課件共77頁，創作于2023年2月應變能

應變余能

應變能應變余能間接解法——最小勢能原理：有限元上的應用（位移法）：假設單元位移模式單元剛度方程第10頁，課件共77頁，創作于2023年2月把一個物理學問題用變分法化為求泛函極值（或駐值）的問題，后者就稱為該物理問題的變分原理。如果建立了一個新的變分原理，它解除了原有的某問題變分原理的某些約束條件，就稱為該問題的廣義變分原理；如果解除了所有的約束條件，就稱為無條件廣義變分原理，或稱為完全的廣義變分原理。在當代，變分原理已成為有限元法的理論基礎，而廣義變分原理已成為混合和雜交有限元的理論基礎。在實際應用中，通常很少能求出精確的解析解，因此大多采用近似計算方法。間接解法——變分原理：第11頁，課件共77頁，創作于2023年2月1）假定2）將上式代入泛函，計算變分。3）由極值條件，算出待定常數，使之滿足基本微分方程。4）把得到的常數代回，得到所求問題的解。與有限元方法比較：相同點：都是求解極值問題的方法，方法類似。不同點：求解問題區域不同：局部和整體

關系。對于泛函第12頁，課件共77頁，創作于2023年2月工程問題無論是幾何形狀、受力方式還是材料特性都是前變萬化的，因此一種求解方法是否有優勢，其判斷標準應該是具有良好的規范性（不需要太多的經驗和個人技巧）具有良好的適應性（可以處理任何復雜的工程實際）具有良好的可靠性（計算結果收斂穩定，精度高）具有良好的求解可行性（計算工作量）

第13頁，課件共77頁，創作于2023年2月本章主要內容3.1簡明問題的解析求解3.2彈性力學問題近似求解的加權殘值法3.3彈性力學近似求解的虛功原理、最小勢能原理及其變分原理3.4各種求解方法的特點及比較第14頁，課件共77頁，創作于2023年2月3.1簡明問題的解析求解——一維拉壓桿問題基本變量：ux(x),σx(x),εx(x)第15頁，課件共77頁，創作于2023年2月基本方程：幾何方程物理方程平衡方程邊界條件第16頁，課件共77頁，創作于2023年2月對三大方程直接進行求解得幾何方程物理方程平衡方程根據邊界條件可得，c=P/A,c1=0第17頁，課件共77頁，創作于2023年2月討論1若用材料力學的經驗方法求解，則需先作平面假設，即假設應力為均勻分布

σx=P/A

由廣義胡克定律得

εx=P/EA

右端的伸長量為

Δu=εxl=Pl/EA第18頁，課件共77頁，創作于2023年2月討論2

應變能

動能

勢能第19頁，課件共77頁，創作于2023年2月有限元分析步驟-單元分析由于桿單元只有兩個節點位移，故可以設桿單元的位移模式為之包含兩個待定常數的形式

u(x)=a1+a2x根據有限元法的基本思路，將彈性體離散成有限個單元體的組合，以結點的位移作為未知量。彈性體內實際的位移分布可以用單元內的位移分布函數來分塊近似地表示。在單元內的位移變化可以假定一個函數來表示，這個函數稱為單元位移函數、或單元位移模式。第20頁，課件共77頁，創作于2023年2月回代得寫成矩陣形式為其中Ni，Nj是形函數。根據位移條件有u(0)=u0，u(l)=ul，從而得第21頁，課件共77頁，創作于2023年2月根據幾何方程得根據物理方程得從而，根據單元分析結果，進行整體分析，求解整體方程組，進行結果分析。第22頁，課件共77頁，創作于2023年2月由虛功原理可以推得

第23頁，課件共77頁，創作于2023年2月3.1簡明問題的解析求解——平面梁問題基本方程1）一般的建模及分析方法，取微單元體2）特征建模法，采用工程宏觀特征量來進行問題描述第24頁，課件共77頁，創作于2023年2月簡支梁的特征：梁為細長梁，因此可以只用x坐標來刻畫；主要變形是垂直于x的撓度，可以只用撓度來描述位移場。針對這兩個特征，可以做出以下兩個假定：直法線假定小變形和平面假設第25頁，課件共77頁，創作于2023年2月直法線假定：一垂直中面的直線(稱為法線)，變形時不伸縮，并且仍為彈性曲面的法線。平截面假定：平截面假定是材料力學中最基本的假定之一。這個假定認為所有與桿軸線垂直的截面在桿件變形后仍保持為平面。這樣截面上每一個點的變形趨勢就可以確定，如果知道了中性軸的位置和任意一點的應變（變形），整個斷面的應變就可以知道，這是建立該假設的基礎。實驗也證明勻質彈性體根據此項假定所得的計算結果是準確的。第26頁，課件共77頁，創作于2023年2月基于以上假定，該問題的三類基本變量為位移：中性層的撓度v（x=y=0）應力：x方向的正應力σx，其他應力分量很小忽略不計，該變量對應于梁截面上的彎矩M

應變：采用εx，滿足直法線假定第27頁，課件共77頁，創作于2023年2月平衡方程：

x方向y方向第28頁，課件共77頁，創作于2023年2月幾何方程：ab的變形為：因此正應變為：

其中ρ為曲率半徑。第29頁，課件共77頁，創作于2023年2月物理方程：

由廣義虎克定律有整理得邊界條件。彎矩第30頁，課件共77頁，創作于2023年2月x方向平衡y方向平衡。第31頁，課件共77頁，創作于2023年2月求解方程得其中c1,c2,c3是待定系數。最后可得第32頁，課件共77頁，創作于2023年2月討論

應變能

外力功

勢能第33頁，課件共77頁，創作于2023年2月由于單元有四個位移分量，可設梁單元的位移模式v(x)為包含4個待定常數的三次多項式：有限元分析步驟-單元分析第34頁，課件共77頁，創作于2023年2月根據邊界條件可以確定待定系數，將其進一步回代，可以得到用節點位移表示的梁單元位移。

式中第35頁，課件共77頁，創作于2023年2月根據梁的平面假定可知梁單元的軸向應變為：這里利用平面假設（變形后橫截面仍保持平面，與縱線正交）如圖：第36頁，課件共77頁，創作于2023年2月從而可以由單向虎克定律得出單元的軸向應力：第37頁，課件共77頁，創作于2023年2月由虛功原理可以推得

第38頁，課件共77頁，創作于2023年2月3.2彈性力學問題近似求解的加權殘值法直接針對原始三大類方程邊界條件下求解三大類變量往往是非常困難的，尤其是當幾何形狀和邊界條件比較復雜時，一般求不出相應的解析解。如果事先假定滿足一定邊界條件的試函數，再在此基礎上進行近似求解，則可以大大降低求解難度。這種試函數方法可以使得求解過程比較規范和簡單，并有一定的適應性，但是求解的精度有所降低。第39頁，課件共77頁，創作于2023年2月試函數方法的基本原理：先假定滿足一定邊界條件的試函數，然后將其帶入需要求解的方程中（控制方程），通過使與原來的方程的誤差殘值最小來確定試函數中的待定系數。為了提高解或逼近精度，可以采用較多項數的試函數來進行計算，這種方法叫做加權殘值法。加權殘值法WRM:Galerkin加權殘值殘值最小二乘法第40頁，課件共77頁，創作于2023年2月3.2.1梁彎曲問題近似求解的Galerkin加權殘值法設滿足以下方程和邊界條件的位移場為公式中的L為微分算子。由于平面彎曲梁的平衡方程為故第41頁，課件共77頁，創作于2023年2月假設能找到事先滿足式中的邊界條件的一個試函數，將其帶入到控制方程，則一定存在殘差，記為對于更一般的情形，設有一組滿足所有邊界條件的試函數，將其線性組合為新的試函數其中c1,c2,c3…cn為待定系數。第42頁，課件共77頁，創作于2023年2月將試函數代入原始方程組，則必有殘差，真實的c1,c2,c3…cn使得殘值的積分為零，即其中w1,w2,w3…wn為權函數。以上為關于c1,c2,c3…cn的方程組，由上式可以求出他們，最后由線性組合形式的試函數得到真實。如果將權函數w1,w2,w3…wn取為1,

2,

3…

n，則該方法稱作伽遼金法。第43頁，課件共77頁，創作于2023年2月受均布外載荷簡支梁的Galerkin加權殘值法求解代入控制方程得殘差由Galerkin加權殘值方程分析可得，試函數取為第44頁，課件共77頁，創作于2023年2月求解上式可得第45頁，課件共77頁，創作于2023年2月受均布外載荷簡支梁的Galerkin加權殘值法求解代入控制方程得殘差由Galerkin加權殘值方程分析可得取另一個試函數為第46頁，課件共77頁，創作于2023年2月求解上式可得第47頁，課件共77頁，創作于2023年2月受均布外載荷簡支梁的Galerkin加權殘值法求解同時滿足面力邊界條件，根據Galerkin法分析可得

第48頁，課件共77頁，創作于2023年2月幾種函數結果比較

1、僅僅取1項試函數時，由伽遼金加權殘數法得到的結果與精確解得相對誤差為0.3861%。2、僅僅取2項試函數時，由伽遼金加權殘數法得到的結果與精確解得相對誤差為-0.027%。由以上比較可以看出，此解法精度還是比較高的。第49頁，課件共77頁，創作于2023年2月3.2.2梁彎曲問題近似求解的最小二乘法同樣，設有滿足所有邊界條件的試函數，若將試函數代入原始方程中，則必有殘差值，真實地待定常數使得殘差值平方的加權積分取極小值，即其中w為權函數，一般可以取1。將上式進一步具體化，即對上式取極值，有這是一組關于c1,c2,c3…cn的方程組，由上式可以求出它們，從而得到真實的試函數。第50頁，課件共77頁，創作于2023年2月受均布外載荷簡支梁的殘值最小二乘法求解將其帶入到控制方程，則一定存在殘差，取權函數為1，則殘差平方的積分為由最小二乘法有由上式可以解出與用伽遼金加權殘值法相同的結果。試函數取為第51頁，課件共77頁，創作于2023年2月3.2.3一般彈性問題近似求解的加權殘值法平面問題有：三大應力分量，三個應變分量，以及兩個位移分量。三個物理方程，三個幾何方程，兩個平衡方程，三類邊界條件基于三大物理量之間的關系（見三大方程），可以得到基于位移表達的平衡方程（控制方程）如下：加上邊界條件，就構成了基于位移求解的平面應力問題的所有方程。第52頁，課件共77頁，創作于2023年2月設有位移的試函數為式中的cui和cvi是待定常數，ψui和ψvi是滿足所有邊界條件的基底函數。將試函數代入控制方程，使得其殘值在加權積分下為零，即可得到Garlerkin加權殘值方程，得到一組關于待定系數的方程組。第53頁，課件共77頁，創作于2023年2月同樣，也可以得到空間問題的加權殘值法，包括伽遼金加權殘值法和最小二乘法。可以看出，彈性問題的加權殘值法的特點為：1、試函數要滿足所有邊界條件，即位移邊界條件和力邊界條件2、積分中試函數的最高階導數較高（對梁的彎曲問題，導數為4階，而對于其他一般彈性問題為2階），因此試函數對連續性要求較高3、整個方法為計算一個全場的積分4、有求取積分問題的最小值，將原方程得求解化為線性方程組的求解5、整個方法的處理流程比較規范6、難點在于如何在全場范圍內尋找同時滿足所有邊界條件的具有較高連續性的試函數？第54頁，課件共77頁，創作于2023年2月3.3彈性問題近似求解最小勢能原理及其變分原理3.3.2最小勢能原理設有滿足位移邊界條件的許可位移場，真實的位移使得物體的總勢能取最小值。當以試函數取為許可的基底函數的線性組合時，該原理所描述的方法也叫做Rayleigh-Ritz（瑞利—里茲）原理。Rayleigh-Ritz（瑞利—里茲）原理：通過泛函駐值條件求未知（位移）函數的近似方法。令所求函數為n個已知函數的線性組合，通過泛函的駐值條件，得到n個關于未知待定系數的代數方程組，從而可以確定假定函數的具體形式。第55頁，課件共77頁，創作于2023年2月受均布外載荷簡支梁的Rayleigh-Ritz法求解解：用瑞利—里茨法。位移試函數滿足梁的位移邊界條件在x=0，l處，w=0總勢能第56頁，課件共77頁，創作于2023年2月根據則所以回代故第57頁，課件共77頁，創作于2023年2月受均布外載荷簡支梁的最小勢能原理求解解：按照最小勢能原理方法求解，設有位移的試函數為式中的cui和cvi是待定常數，ψui和ψvi是滿足所有邊界條件的基底函數。計算應變能為第58頁，課件共77頁，創作于2023年2月相應的外力功為則總的勢能為U-W為了使得其取極小值，則有第59頁，課件共77頁，創作于2023年2月解出待定常數后又試函數（許可位移場）的具體表達可以看出，該方法與虛功原理求解出來的結果相同，這是因為兩種取了相同的試函數。以上求解過程中所用的試函數為許可基底函數的線性組合，因此，上式求解方法也是基于Rayleigh-Ritz原理。第60頁，課件共77頁，創作于2023年2月一般彈性問題的最小勢能原理設有許可位移場，它滿足位移邊界條件，那么真實的一組位移可以使得該系統的勢能取極小值，即其中第61頁，課件共77頁，創作于2023年2月3.3.3最小勢能原理的變分基礎最小勢能原理證明推導的過程實際上就是數學上的變分過程，所采用的方法叫做變分方法。（variationalmethod）。這里還是以受均布載荷作用下簡支梁的平面彎曲問題為例來證明，從特殊到一般的推導過程。該問題的原始提法為：假定有位移v（x），它滿足剪支梁的控制方程：第62頁，課件共77頁，創作于2023年2月對于該問題的最小勢能原理，其數學變分問題為：設有滿足位移邊界條件的許可位移場函數，其中真實的一組使得以下泛函取極小值，即計算簡支梁勢能的變分（復合函數的求導）有第63頁，課件共77頁，創作于2023年2月考慮到剪力、彎矩和位移之間的關系，以及邊界條件等，勢能的變分可以變為第64頁，課件共77頁，創作于2023年2月可以看出，要使得勢能的變分等于0，必須要滿足以下幾個條件：1、兩端的彎矩等于02、力平衡方程對于能量泛函求二次變分有可以知道，能量泛函的極值為極小值。第65頁，課件共77頁，創作于2023年2月一般彈性問題最小勢能原理求解的變分基礎其中又有第66頁，課件共77頁，創作于2023年2月由變分方法，對泛函取極值，故有故有第67頁，課件共77頁，創作于2023年2月以上的證明說明，總能夠找到滿足位移邊界條件的試函數，即許可位移場，在滿足幾何條件和物理方程的條件下，當勢能取最小值時，其結果精度可以滿足剩下的平衡方程以及力邊界條件。但是在實際上，由于選擇許可位移場的局限性和盲目性，一般很難將真正精確的位移場包含在許可位移場中，這樣，就不可能由最小勢能原理來求出精確解，只能在所選擇的試函數（即許可位移場）范圍內，通過最小勢能原理求出最好的一組解，它在加權殘值最小的意義下，對平衡方程和力邊界條件進行最佳逼近。第68頁，課件共77頁，創作于2023年2月由以上的情況可以看出，彈性問題的最小勢能原理的特點為：1、試函數為許可位移場，即只需要滿足位移邊界條件，而不用滿足力邊界條件2、積分中試函數的最高階導數教低（對梁的彎曲問題導數為2階，對于一般問題導數為1階）3、整個計算方法是計算以個全場的積分4、由取積分問題的最小值，可以將原方程的求解化為線性方程組的求解5、整個方法的處理流程比較規范第69頁，課件共77頁，創作于2023年2月幾種方法之間的關系1、變分方法是從純數學的角度來描述，只是用方程、泛函、極值等術語來表達和推導，而沒有考慮背后的物理意義2、最小勢能原理和虛功原理