第2章控制系統的數學模型及其轉換本章內容(1)

利用MATLAB描述在控制系統中常見的幾種數學模型；(2)

利用MATLAB實現任意數學模型之間的相互轉換；(3)

利用MATLAB求解系統經過串聯、并聯和反饋連接后的系統模型；(4)

利用MATLAB獲取一些典型系統的模型；(5)

利用MATLAB實現連續系統的離散化和離散系統的連續化，以及離散模型按另一采樣周期的重新離散化；(6)

利用MATLAB求取系統的特性函數。

1編輯版pppt控制系統計算機仿真是建立在控制系統數學模型基礎之上的一門技術。需對系統進行仿真，首先應該知道系統的數學模型，然后才可以在此基礎上設計一個合適的控制器，使得原系統的響應達到預期的效果。2編輯版pppt2.1線性系統數學模型的基本描述方法2.1.1傳遞函數傳遞函數在MATLAB下可以方便的由其分子和分母多項式系數所構成的兩個向量唯一確定出來。即num=[b0

b1…bm];den=[1a1a2…an]3編輯版pppt例2-1若給定系統的傳遞函數為解

可以將其用下列MATLAB語句表示>>num=[612610];den=[12311];>>printsys(num,den)執行結果為num/den=4編輯版pppt當傳遞函數的分子或分母由若干個多項式乘積表示時，它可由MATLAB提供的多項式乘法運算函數conv()來處理，以便獲得分子和分母多項式向量，此函數的調用格式為

c=conv(a,b)其中a和b分別為由兩個多項式系數構成的向量，而c為a和b多項式的乘積多項式系數向量。conv()函數的調用是允許多級嵌套的。5編輯版pppt例2-2若給定系統的傳遞函數為解

則可以將其用下列MATLAB語句表示>>num=4*conv([12],[166])>>den=conv([10],conv([11],conv([11],conv([11],[1325]))))6編輯版pppt對具有r個輸入和m個輸出的多變量系統，可把m×r的傳遞函數陣G(s)寫成和單變量系統傳遞函數相類似的形式，即

(2-5)式中B0,B1,…,Bn均為m×r實常數矩陣，分母多項式為該傳遞函數陣的特征多項式。

在MATLAB控制系統工具箱中，提供了表示單輸入多輸出系統的表示方法，即

num=[B0B1…Bn];den=[1a1

a2

…an]其中分子系數包含在矩陣num中，num行數與輸出y的維數一致，每行對應一個輸出，den是行向量,為傳遞函數陣公分母多項式系數。7編輯版pppt例2-3對于單輸入多輸出系統

解則可將其用下列MATLAB語句表示>>num=[0032;1025];den=[3521];8編輯版pppt2.1.2零極點增益形式單輸入單輸出系統的零極點模型可表示為式中zj(j=1,2,…,m)和pi(i=1,2,…,n)稱為系統的零點和極點，它們既可以為實數又可以為復數，而K稱為系統的增益。在MATLAB下零極點模型可以由增益K和零、極點所構成的列向量唯一確定出來。即

Z=[z1;z2;…;zm];P=[p1;p2;…;pn]9編輯版pppt對于單輸入多輸出系統，列向量P中儲存為系統的極點；零點儲存在矩陣Z的列中,Z的列數等于輸出向量的維數，每列對應一個輸出，對應增益則在列向量K中。10編輯版ppptMATLAB工具箱中的函數poly()和roots()可用來實現多項式和零極點間的轉換，例如在命令窗口中進行如下操作可實現互相轉換。>>P=[1352];>>R=roots(P)

R=-1.2267+1.4677i-1.2267-1.4677i-0.5466>>P1=poly(R)

P1=1.00003.00005.00002.000011編輯版pppt2.1.3部分分式形式傳遞函數也可表示成部分分式或留數形式，即

(2-8)式中pi(i=1,2,…,n)為該系統的n個極點，與零極點形式的n個極點是一致的，ri

(i=1,2,…,n)是對應各極點的留數；h(s)則表示傳遞函數分子多項式除以分母多項式的余式，若分子多項式階次與分母多項式相等，h(s)為標量；若分子多項式階次小于分母多項式，該項不存在。

在MATLAB下它也可由系統的極點、留數和余式系數所構成的向量唯一確定出來，即

P=[p1;p2;…;pn];R=[r1;r2;…;rn]；H=[h0

h1…hm-n]12編輯版pppt2.1.4狀態空間表達式設線性定常連續系統的狀態空間表達式為

(2-9)式中A:n×n；B:n×r；C:m×n；D:m×r如果傳遞函數（陣）各元素為嚴格真有理分式，則D＝0，此時上式可寫為(2-10)它們可分別簡記為Σ(A,B,C,D)和Σ(A,B,C)13編輯版pppt例2-5設系統的狀態空間表達式為

解此系統可由下面的MATLAB語句唯一地表示出來>>A=[001;-3/2-2-1/2;-30-4];>>B=[11;-1-1;-1-3];C=[100;010];>>D=zeros(2,2);14編輯版pppt2.2系統數學模型間的相互轉換2.2.1狀態空間表達式到傳遞函數的轉換在MATLAB控制系統工具箱中，給出一個根據狀態空間表達式求取系統傳遞函數的函數ss2tf()，其調用格式為

[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,iu).其中A,B,C,D為狀態空間形式的各系數矩陣，iu為輸入的代號，即用來指定第幾個輸入，對于單變量系統iu=1，對多變量系統，不能用此函數一次地求出對所有輸入信號的整個傳遞函數陣。而必須對各個輸入信號逐個地求取傳遞函數子矩陣，最后獲得整個的傳遞函數矩陣。15編輯版pppt例2-6對于例2-5中給出的多變量系統，可以由下面的命令分別對各個輸入信號求取傳遞函數向量，然后求出這個傳遞函數陣。

解利用下列MATLAB語句>>[num1,den1]=ss2tf(A,B,C,D,1)num1=01.00005.00006.00000-1.0000-5.0000-6.0000den1=1611616編輯版pppt>>[num2,den2]=ss2tf(A,B,C,D,2)num2=01.00003.00002.0000

0-1.0000-4.0000-3.0000den2=16116則可得系統的傳遞函數陣17編輯版pppt2.2.2狀態空間形式到零極點形式的轉換MATLAB函數ss2zp()的調用格式為[Z,P,K]=ss2zp(A,B,C,D,iu)其中A,B,C,D為狀態空間形式的各系數矩陣，iu為輸入的代號，對于單變量系統iu＝1，對于多變量系統iu表示要求的輸入序號，返回量列矩陣P儲存傳遞函數的極點，而零點儲存在矩陣Z中，Z的列數等于輸出y的維數，每列對應一個輸出，對應增益則在列向量K中。18編輯版pppt2.2.3傳遞函數到狀態空間表達式的轉換如果已知系統的傳遞函數模型，求取系統狀態空間表達式的過程又稱為系統的實現。由于狀態變量可以任意地選取，所以實現的方法并不是唯一的，這里只介紹一種比較常用的實現方法。對于單輸入多輸出系統19編輯版pppt適當地選擇系統的狀態變量，則系統的狀態空間表達式可以寫成

(2-16)在MATLAB控制系統工具箱中稱這種方法為能控標準型實現方法，并給出了直接實現函數，該函數的調用格式為[A,B,C,D]=tf2ss(num,den)其中num的每一行為相應于某輸出的按s的降冪順序排列的分子系數，其行數為輸出的個數，行向量den為按s的降冪順序排列的公分母系數。返回量A,B,C,D為狀態空間形式的各系數矩陣。20編輯版pppt2.2.4傳遞函數形式到零極點形式的轉換

MATLAB函數tf2zp()的調用格式為[Z,P,K]=tf2zp(num,den)2.2.5零極點形式到狀態空間表達式的轉換

MATLAB函數zp2ss()的調用格式為[A,B,C,D]=zp2ss(Z,P,K)2.2.6零極點形式到傳遞函數形式的轉換

MATLAB函數zp2tf()的調用格式為

[num,den]=zp2tf(Z,P,K)21編輯版pppt2.2.7傳遞函數形式與部分分式間的相互轉換

MATLAB的轉換函數residue()調用格式為[R,P,H]=residue(num,den)或[num,den]=residue(R,P,H)其中列向量P為傳遞函數的極點，對應各極點的留數在列向量R中，行向量H為原傳遞函數中剩余部分的系數，num,den分別為傳遞函數的分子分母系數。22編輯版pppt2.2.8相似變換由于狀態變量選擇的非唯一性，系統傳遞函數的實現不是唯一的，即系統的狀態空間表達式也不是唯一的，在實際應用中，常常根據所研究問題的需要，將狀態空間表達式化成相應的幾種標準形式。MATLAB控制系統工具箱給出了一個直接完成線性變換的函數ss2ss()，該函數的調用格式為通過上式不僅可求得系統的各種標準型實現，也可利用系統的結構分解來求取系統的最小實現。23編輯版pppt另外利用MATLAB控制系統工具箱提供的minreal()函數可直接求出一個給定系統狀態空間表達式的最小實現，該函數的調用格式為[Am

,Bm

,Cm

,Dm]=minreal(A,B,C,D,tol)其中A,B,C,D為原狀態空間表達式的各系數矩陣，而tol為用戶任意指定的誤差限，如果省略此參數，則會自動地取作eps。而Am

,Bm

,Cm

,Dm為最小實現的狀態空間表達式的各系數矩陣。24編輯版pppt最小實現是一種模型的實現，它消除了模型中過多的或不必要的狀態，對傳遞函數或零極點增益模型，這等價于將可彼此對消的零極點對進行對消。利用MATLAB控制系統工具箱提供的minreal()函數可直接求出一個給定系統狀態空間表達式的最小實現，該函數的調用格式為[Am,Bm,Cm,Dm]=minreal(A,B,C,D,tol)[zm,pm]=minreal(z,p)[numm,denm]=minreal(num,den)其中

A,B,C,D為原狀態空間表達式的各系數矩陣，而tol為用戶任意指定的誤差限，如果省略此參數，則會自動地取作eps。而Am,Bm,Cm,Dm為最小實現的狀態空間表達式的各系數矩陣。

2.2.9最小實現25編輯版pppt例2-12已知系統的狀態空間表達式為求出系統最小實現的狀態空間表達式的各系數矩陣。解利用下列MATLAB語句>>A=[-5800;-4700;0004;00-26];B=[4;-2;2;1];>>C=[2-2-22];D=0;>>[Am,Bm,Cm,Dm]=minreal(A,B,C,D)26編輯版pppt結果顯示2statesremovedAm=-1.00000.0000-0.00002.0000Bm=4.24262.2361Cm=2.8284-0.8944Dm=027編輯版pppt如果原系統模型由傳遞函數形式num,den給出，則可以直接調用minreal()函數來獲得零極點對消最小實現的傳遞函數NUMm,DENm這里的調用格式為[NUMm,DENm]=minreal(num,den,tol)例2-13對于例2-12中給出的狀態空間表達式，可以容易地得出系統的傳遞函數，然后由傳遞函數直接進行最小實現運算。

解利用下列MATLAB語句>>A=[-5800;-4700;0004;00-26];>>B=[4;-2;2;1];C=[2-2-22];D=0;>>[num,den]=ss2tf(A,B,C,D,1)>>[NUMm,DENm]=minreal(num,den)28編輯版pppt結果顯示num=010.0000-96.0000302.0000-312.0000den=1-8172-242pole-zeroscancelledNUMm=0.000010.0000-26.0000DENm=1.0000-1.0000-2.0000則可得出零極點對消后的傳遞函數29編輯版pppt2.3系統模型的連接

在一般情況下，控制系統常常由若干個環節通過串聯、并聯和反饋連接的方式而組成，對在各種連接模式下的系統能夠進行分析就需要對系統的模型進行適當的處理,在MATLAB的控制系統工具箱中提供了大量的對控制系統的簡單模型進行連接的函數。30編輯版pppt2.3.1串聯連接

在MATLAB的控制系統工具箱中提供了系統的串聯連接處理函數series()，它既可處理由狀態方程表示的系統，也可處理由傳遞函數陣表示的單輸入多輸出系統，其調用格式為[A,B,C,D]=series(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)和[num,den]=series(num1,den1,num2,den2)31編輯版pppt2.3.2并聯連接在MATLAB的控制系統工具箱中提供了系統的并聯連接處理函數parallel()，該函數的調用格式為[A,B,C,D]=parallel(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)和[num,den]=parallel(num1,den1,num2,den2)其中前一式用來處理由狀態方程表示的系統，后一式僅用來處理由傳遞函數陣表示的單輸入多輸出系統。32編輯版pppt2.3.3反饋連接在MATLAB的控制系統工具箱中提供了系統反饋連接處理函數feedback(),其調用格式為[A,B,C,D]=feedback(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2,sign)和[num,den]=feedback(num1,den1,num2,den2,sign)其中前一式用來處理由狀態方程表示的系統，后一式用來處理由傳遞函數表示的系統，sign為反饋極性，對于正反饋sign取1，對負反饋取-1或缺省。33編輯版pppt特別地，對于單位反饋系統，MATLAB提供了更簡單的處理函數cloop()，其調用格式為[A,B,C,D]=cloop(A1,B1,C1,D1,sign)和[num,den]=cloop(num1,den1,sign)[A,B,C,D]=cloop(A1,B1,C1,D1,outputs,inputs)其中

第三式表示將指定的輸出outputs反饋到指定的輸入inputs,以此構成閉環系統,outputs指定反饋的輸出序號，inputs指定輸入反饋序號。

34編輯版pppt例2-17已知系統的方框圖如圖2-7所示，求系統的傳遞函數。35編輯版pppt解MATLAB語句如下所示ex2_17結果顯示num/den=36編輯版pppt2.3.4將狀態增廣到狀態空間系統的輸出中利用MATLAB的augstate()函數，其調用格式為[Ab,Bb,Cb,Db]=augstate(A,B,C,D)其中（A,B,C,D)為原系統的系數矩陣，(Ab,Bb,Cb,Db)為狀態增廣后系統的系數矩陣。37編輯版pppt2.3.5系統的組合MATLAB的組合函數append()的調用格式為[A,B,C,D]=append(A1,B1,C1,D1,A2,B2,C2,D2)38編輯版pppt2.3.6.根據框圖建模利用connect()函數，可以根據系統的方框圖按指定方式求取系統模型，其函數調用格式為[A1,B1,C1,D1]=connect(A,B,C,D,Q,inputs,outputs)其中

（A,B,C,D）為由函數append()生成的無連接對角方塊系統的狀態空間模型系數矩陣；Q矩陣用于指定系統（A,B,C,D）的內部連接關系，Ｑ矩陣的每一行對應于一個有連接關系的輸入，其第一個元素為輸入編號，其后為連接該輸入的輸出編號，如采用負連接，則以負值表示；inputs和outputs用于指定系統（A1,B1,C1,D1）的輸入和輸出的編號；（A1,B1,C1,D1）為在指定輸入和輸出并按要求的內部連接關系下所生成的系統。

39編輯版pppt2.3.7化簡系統在MATLAB中使用ssselect()函數，可根據系統指定的輸入和輸出產生一個子系統，其函數調用格式為[A1,B1,C1,D1]=ssselete(A,B,C,D,inputs,outputs)或[A1,B1,C1,D1]=ssselete(A,B,C,D,inputs,outputs,states)其中（A,B,C,D）為給定的狀態空間模型系數矩陣，inputs和outputs用于指定作為子系統的輸入和輸出的編號，states用于指定作為子系統的狀態的編號。40編輯版pppt2.4典型系統的生成1.建立二階系統模型可利用MATLAB所提供的函數ord2()來建立，其調用格式為[num,den]=ord2(ωn,ζ)或[A,B,C,D]=ord2(ωn,ζ)41編輯版pppt2.具有純時延系統的padè近似

[num,den]=pade(,n)%對具有時延的系統產生n階padè逼近；

pade((,n)%對具有時延的系統繪制n階padè逼近的階躍響42編輯版pppt2建立隨機n階模型[A,B,C,D]=rmodel(n)%可得到一個單變量n階穩定系統模型；[A,B,C,D]=rmodel(n,m,r)%可得到一個r輸入m輸出的隨機n階穩定模型；[num,den]=rmodel(n)%可得到一個單變量系統的隨機n階穩定模型；[num,den]=rmodel(n,m)%可得到一個單輸入m輸出的隨機n階穩定模型；drmodel()%可得到穩定的離散時間隨機模型。43編輯版pppt2.5系統的離散化和連續化1.連續系統的離散化在采樣周期T下離散化后的狀態空間表達式可表示為

44編輯版pppt在MATLAB中若已知連續系統的狀態模型Σ(A,B)和采樣周期T，便可利用函數[G,H]=c2d(A,B,T)方便地求得系統離散化后的系數矩陣G和H。對具有輸入純延時τ的連續時間狀態系統。(2-24)在采樣周期T下離散后的狀態空間表達式也可表示為45編輯版pppt相應地MATLAB的轉換函數c2dt()的調用格式為[G,H,Cd,Dd]=c2dt(A,B,C,D,T,τ)或[G,H,C,D]=c2dm(A,B,C,D,T,‘選項’)[numd,dend]=c2dm(num,den,T,‘選項’)46編輯版pppt式中

選項如表2-5中所示，num,den為連續系統傳遞函數的分子分母系數，numd,dend為離散化后脈沖傳遞函數的分子分母系數，其余參數定義同前。可見此函數即可用于狀態空間形式又可用于傳遞函數。

表2-5離散化變換方式選項選項說明Zoh假設輸入端加一個采樣開關和零階保持器Foh假設輸入端加一個采樣開關和一階保持器。Tustin采用雙線性變換（Tustin算法）方法Prewarp采用改進的Tustin變換方法Matched采用SISO系統的零極點匹配法47編輯版pppt2.離散函數的連續化在MATLAB中也提供了從離散化系統轉換為連續系統各系數矩陣求取的功能函數，其調用格式分別如下[A,B]=d2c(G,H,T)或[A,B,C,D]=d2cm(G,H,C,D,T,’選項’)其中選項見表2-5。

48編輯版pppt3.離散時間系統重采樣在MATLAB中也提供了將系統離散化后模型按另一采樣周期重新離散化的功能函數，其調用格式如下sys1=d2d(sys,T)或sys1=d2c(sys,[],N)其中

第一式將離散時間LTI對象sys（關于LTI對象的定義見第十章）重采樣，從而構成新的離散時間系統sys1，采樣周期為T，單位秒。該調用等價于命令：sys1=c2d(d2c(sys,T))。第二式給離散時間LTI對象sys將加入輸入延時。輸入延時必須是采樣周期的整數倍，它由N給出。如果N為標量，則各輸入通道具有相同的輸入延時；如果N為向量，則分別定義各輸入通道的輸入延時。

49編輯版pppt2.6系統的特性值在分析控制系統的時候，經常用到系統的一些特性函數，如系統的增益、阻尼系數和自然頻率等等，MATLAB的控制系統工具箱中提供了相應的函數用來計算系統的特性函數，如表2-6所示。

函數名功能damp()求系統的阻尼系數和自然頻率ddamp()求離散系統的阻尼系數和自然頻率dcgain()求連續控制