5.4.2

正弦函數、余弦函數的性質第2課時

單調性與最值課標定位素養闡釋1.掌握y=sin

x,y=cos

x的單調性,并能利用單調性比較大小.2.掌握y=sin

x,y=cos

x的最大值與最小值,并會求簡單三角函數的值域和最值.3.借助圖象理解正弦函數、余弦函數的性質.4.體會數學抽象的過程,加強邏輯推理和數學運算能力的培養.自主預習·新知導學合作探究·釋疑解惑易

錯

辨

析隨

堂

練

習

自主預習·新知導學一、正弦函數、余弦函數的單調性【問題思考】2.觀察余弦函數y=cosx,x∈[-π,π]的圖象,余弦函數在區間[-π,π]上函數值的變化有什么特點?推廣到整個定義域呢?提示:觀察圖象可知,當x∈[-π,0]時,曲線逐漸上升,函數y=cos

x在區間[-π,0]上單調遞增,cos

x的值由-1增大到1;當x∈[0,π]時,曲線逐漸下降,函數y=cos

x在區間[0,π]上單調遞減,cos

x的值由1減小到-1.推廣到整個定義域可得:當x∈[2kπ-π,2kπ],k∈Z時,余弦函數y=cos

x單調遞增,函數值由-1增大到1;當x∈[2kπ,(2k+1)π],k∈Z時,余弦函數y=cos

x單調遞減,函數值由1減小到-1.答案:C二、正弦函數、余弦函數的最值【問題思考】1.觀察下圖中的正弦曲線和余弦曲線.正弦曲線:余弦曲線:(1)從正弦曲線、余弦曲線上很容易看出正弦函數、余弦函數的定義域都是實數集R,值域是什么?提示:[-1,1].(2)當x取何值時,正弦函數y=sinx,x∈R分別取得最大值1和最小值-1?3.做一做:函數y=2-sinx取得最大值時x的值為

.

【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“√”,錯誤的打“×”.(1)在區間[0,3π]上,函數y=cosx僅在x=0時取得最大值1.(×)(2)正弦函數在第一象限是單調遞增函數.(×)(4)余弦函數y=cosx在區間[0,π]上單調遞減.(√)

合作探究·釋疑解惑探究一

求正弦函數、余弦函數的單調區間反思感悟1.用整體替換法求函數y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)的單調區間時,如果式子中x的系數為負數,那么先利用誘導公式將x的系數變為正數再求其單調區間.求單調區間時,需將最終結果寫成區間形式.2.此類問題可先解出f(x)的單調區間,將問題轉化為集合間的包含關系,再列不等式組求出參數范圍.探究二

正弦函數、余弦函數單調性的應用反思感悟用正弦函數或余弦函數的單調性比較大小時,應先將異名化同名,把不在同一單調區間內的角用誘導公式轉化到同一單調區間,再利用單調性來比較大小.【變式訓練2】

cos1,cos2,cos3的大小關系是

.(用“>”連接)

解析:因為0<1<2<3<π,且y=cos

x在區間[0,π]上單調遞減,所以cos

1>cos

2>cos

3.答案:cos1>cos2>cos3探究三

正弦函數、余弦函數的值域或最值分析:將已知轉化為關于sin

x的二次函數求值域.反思感悟常見的三角函數求值域或最值的類型有以下幾種(1)形如y=sin(ωx+φ)或y=cos(ωx+φ)的三角函數,令t=ωx+φ,先根據題中x的取值范圍,求出t的取值范圍,再利用三角函數的單調性、有界性求出y=sin

t或y=cos

t的最值(值域).(2)形如y=asin2x+bsin

x+c(a≠0)的三角函數,可先設t=sin

x,將函數y=asin2x+bsin

x+c(a≠0)轉化為關于t的二次函數y=at2+bt+c(a≠0),再根據二次函數的單調性求值域(最值).(3)對于形如y=asin

x(或y=acos

x)的函數的最值還要注意對a的討論.答案:C易

錯

辨

析用換元法求三角函數最值時忽視范圍致錯【典例】

函數y=cos2x-4cosx+5的值域是

.

錯解:令t=cosx,因為x∈R,所以-1≤t≤1.所以y=t2-4t+5=(t-2)2+1≥1.所以函數y的值域為[1,+∞).以上求解過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:錯解忽視了t的取值范圍.正解:令t=cosx,因為x∈R,所以-1≤t≤1.所以y=t2-4t+5=(t-2)2+1.當t=-1,即cosx=-1時,函數y有最大值10;當t=1,即cosx=1時,函數y有最小值2.所以函數y的值域是[2,10].答案:[2,10]防范措施利用換元法求解有關“二次函數型”值域問題時,要特別注意換元后“新元”的范圍,即新函數的定義域,以便求解函數的值域.如本例,若忽略余弦函數的有界性,即不注意“新元”的范圍,則極易致錯.隨

堂

練

習1.下列不等式正確的是(

)A.sin11°<cos10°<sin168°B.sin168°<sin11°<cos10°C.sin11°<sin168°<cos10°D.sin168°<cos10°<sin11°解析:由誘導公式,得cos

10°=sin

80°,sin

168°=sin(180°-12°)=sin

12°.因為當0°≤x≤90°時,y=sin

x是單調遞增的,所以sin

11°<sin

12°<sin

80°,即sin

11°<sin

168°<cos

10°.故選C.答案:C2.y=sinx-|sinx|的值域是(

)A.[-1,0] B.[0,1] C.[-1,1] D.[-2,0]答案:D答案:D4.若函數y=cosx