泛函中三大定理及其應用泛函分析科學體系的建立得益于20世紀初關于巴拿赫空間的三大基本定理，即Hahn-Banach定理，共鳴定理和開映射、逆算子及閉圖像定理。其中：一致有界定理，該定理描述一族有界算子的性質；譜定理包括一系列結果，其中最常用的結果給出了希爾伯特空間上正規算子的一個積分表達，該結果在量子力學數學描述中起核心作用；罕-巴拿赫定理(Hahn-BanachTheorem)研究了如何保范地將某算子從某子空間延拓到整個空間。另一個相關結果則是描述對偶空間非平凡性的；開映射定理和閉圖像定理。1、 Hahn-Banach延拓定理定理：設G為線性賦范空間X的線性子空間，f是G上的任一線性有界泛函，則存在X上的線性有界泛函F，滿足：當xeG時，F(x)=f(x)；Fx=||f|lG；其中IIfII表示F作為X上的線性泛函時的范數；||f||表示G上的線性泛函的范數.X G延拓定理被應用于Riesz定理、Liouville定理的證明及二次共軛空間等的研究中.2、 逆算子定理在微積分課程中介紹過反函數的概念，并且知道“單調函數必存在反函數”，將此概念和結論推廣到更一般的空間.定義1逆算子(廣義上)：設X和y是同一數域K上的線性賦范空間，GuX，算子T:G—Y，T的定義域為D(T)=G；值域為R(T)-用T1表示從R(T—D(T)的逆映射(蘊含t是單射)，則稱T1為T的逆算子(invertiableoperator).定義2正則算子：設x和Y是同一數域K上的線性賦范空間，若算子T:G(uX)—Y滿足(1)T是可逆算子；(2)T是滿射，即R(T)=Y； (3)T-1是線性有界算子，則稱t為正則算子(normaloperator).注：①若T是線性算子，T-1是線性算子嗎？②若T是線性有界算子，T-1是線性有界算子嗎？性質1若T:G(uX)rY是線性算子，則T-1是線性算子.證明：七七eY，a,PeK，由T線性性知：T(T-1(ay+Py)—aT-\y-PT-1y)=TT-1(ay+Py)-aTT-1y-PTT-1yTOC\o"1-5"\h\z12 1 2 1 2 1 2=(ay+Py)—ay—Py=012 12由于T可逆，即T不是零算子，于是T-1(ay+Py)=aT-1y+PT-1y，故T-1是線性算12 1 2子.口定理2逆算子定理：設t是Banach空間x到Banach空間y上的雙射(既單又滿)、線性有界算子，則t-1是線性有界算子.

例1設線性賦范空間X上有兩個范數||.||和||.||，如果(X,||.||)和(X,||.||)均是1 2 1 2Banach空間，而且||.||比||.||強，那么范數||.||和||.||等價.(等價范數定理)2 1 1 2證明：設I是從由(X』』)到(X』』)上的恒等映射，由于范數||.||比||.||強，所以存在M>0，使得VxeX有于是I是線性有界算子，是線性有界算子，即存在M'lllxl「I虬于是I是線性有界算子，是線性有界算子，即存在M'加之；既是單射又滿射，因此根據逆算子定理知J>0，使得VxeX有||I-ix|[=|lx.<M，||叫?故范數IHI和IHI等價。3、一致有界原理定義1一致有界：設X和Y是同一數域K上的線性賦范空間，FuB(XrY)，如果｛|T||\TgF｝是有界集，則稱算子族F為一致有界.定理1共鳴定理：設X是Banach空間，Y是線性賦范空間，算子族FuB(XrY)，那么：｛ITIITGF｝是有界集(F一致有界)dVxeX，｛|叫|\tgF｝為有界集.證明:(1)必要性n因為｛||t||TgF｝是有界集，所以存在M>0,VTgF,有|T||<M,于是VxeX，不妨設||x||=婦那么ITxll<||t||||x||<MIWI<M.a因此｛Tx||TeF｝為有界集.（2）充分性uVxeX，定義||x||/||+sup|低||，顯然IHI是X上的范數且比||?||強，F TeF F下面證明（x,IHIf）完備.如果||x-x||=||x-x||+sup|T（x-x）||r0（m,nr。，由X是Banach空間知存在mnfmn mnTeFxeX，使得||x-x||r0（nr。）.又因為Vs>0，3NeN，使得只要m,n>N，便有sup||Tx-Tx||<s.TeF mn從而VTeF有||tx-Tx||=||tx-Tx+Tx-Tx||<||tx-Tx||+|T||||x-x||r0（nr。）.因此得||x-x||+sup||t（x.-x）||r0（nr。），即||x-x||r0，可見（X,||」|）完備.n TeF n nF F根據等價范數定理知范數||?||和||?||等價，從而存在M>0，使得VxeX有Fsup||Tx||<||x||+sup|Tx||=||x||<M||x||FTeF TeF于是可得VTeF有||T||<M.口注：共鳴定理也稱為一致有界定理（或原理），由共鳴定理知，當F不一致有TOC\o"1-5"\h\z界時，即sup{|『|||"尸}=3，則存在XGX，使得sup{||TxII|TgF}=00?稱工為算子0 0 0族W的共鳴點。例2設無窮矩陣(a a ??- a11 12 lja a ??- a21 22 2jA=: :…：aaa/I 12 jj滿足￡|qF<8,j=1,2,3,…，并對任何x=(x,x，…,x，…)e史有ij 1 2zi=l/aa...a..Aii12ijaa?..a.??21222jTx=xA=(x,x,,,,,x,,,,)??...：??.1 2 zaa???a??./i/2jj?????=(>,>=yeh其中y=Z,/=1,2,…，證明算子T是線性連續算子.jiij例3(Fourier級數的發散問題)存在一個周期為2兀的實值連續函數，它的Fourier級數在—0點發散.證明：記周期是2兀的實值連續函數全體為C,對于feC,f導出的Fourier級數2兀 2兀為：—a+￡(qcosnt+bsinnt)?其中20 n nn=la=—f71f(t)cosntdt(〃=0,1,2,???);b=—f71f(t)sinntdt(〃=1,2,3,77丸一兀 〃兀一兀當—0時，級數為匕+乙,前〃+1項部分和為TOC\o"1-5"\h\z20 ?n=lS(/)=-?+La=—pfQ)[l+2Ecosm]出

n 20 n271_兀n=l n=l./1、▽ sm(n+—)t記K什)=l+2Zcosm,計算可得K(r)= ，于是n n .177=1 sm—r2S(f)==卜W)K(z)dr?

? 2?！?下面證明存在/gC,使得｛S(/)｝發散.顯然S:CtR是線性泛函.又因為TOC\o"1-5"\h\z2?！?n27115(/)l<max"h」jHK(血-11/11

n 「 /7T _n nte[-兀，兀] 匕幾一兀其中M=—P\K(r)ldr,所以S是C上的線性連續泛函.可證明S的范數為n2?！? n 2兀 nIls||=M=—p\k⑺|由。nn271—兀n

由于=是Banach空間，為了證明存在fe￡兀，使得｛S(f)｝無界，根據共鳴定理，只需證｛|S||｝無界.因為 "nsinusin(2n+1)ssins兀 —sk=02(2n+1)2無jTt+rwl兀岳k=02du (u=(2n+1)s)uds