人教版初中數學八年級下冊18.1.2平行四邊形的性質（2）教學設計一、教學目標：1.掌握平行四邊形對角線互相平分的性質；2.經歷對平行四邊形性質的猜想與證明的過程，滲透轉化思想，體會圖形性質探究的一般思路.二、教學重、難點：重點：平行四邊形對角線互相平分的性質.難點：利用平行四邊形對角線互相平分解決有關問題.三、教學過程：情境引入一位飽經滄桑的老人，經過一輩子的辛勤勞動，到晚年的時候，終于擁有了一塊平行四邊形的土地，由于年邁體弱，他決定把這塊土地分給他的四個孩子，他是這樣分的：當四個孩子看到時，爭論不休，都認為自己分的地少，同學們，你認為老人這樣分合理嗎？為什么？知識精講探究：如圖，在□ABCD中，連接AC，BD，并設它們相交于點O，OA與OC，OB與OD有什么關系？你能證明發現的結論嗎？猜想：在□ABCD中，OA=OC，OB=OD.已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，對角線AC、BD相交于點O.求證：OA=OC，OB=OD.證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC，AD=BC∴∠1=∠2，∠3=∠4∴△AOD≌△COB(ASA)∴OA=OC，OB=OD形成定理平行四邊形性質定理3：平行四邊形的對角線互相平分幾何符號語言：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=OC，BO=OD學以致用問題平行四邊形的對角線分平行四邊形ABCD為四個三角形，它們的面積有怎樣的關系呢？解：相等.理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴OA=OC，OB=OD∵△ADO與△ODC等底同高∴S△ADO=S△ODC同理可得S△ADO=S△ODC=S△BCO=S△AOB典例解析例1.如圖，在□ABCD中，AB=10，AD=8，AC⊥BC.求BC，CD，AC，OA的長，以及□ABCD的面積.解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴BC=AD=8，CD=AB=10∵AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形根據勾股定理，AC===6又OA=OC，∴OA=AC=3，S□ABCD=BC?AC=8×6=48【針對練習】如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，且AB≠AD，過O作OE⊥BD，交BC于點E.若△CDE的周長為10，則平行四邊形ABCD的周長是多少？解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，BC=AD，OB=OD.∵OE⊥BD，∴BE=DE.∵△CDE的周長為10，∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10，∴平行四邊形ABCD的周長為2×(BC+CD)=20．例2.已知□ABCD的周長為60cm，對角線AC、BD相交于點O，△AOB的周長比△DOA的周長長5cm，求這個平行四邊形各邊的長．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC.∵△AOB的周長比△DOA的周長長5cm，∴AB－AD＝5cm.又∵□ABCD的周長為60cm，∴AB＋AD＝30cm，則AB＝CD＝17.5cm,AD＝BC＝12.5cm.【點睛】平行四邊形被對角線分成四個小三角形，相鄰兩個三角形的周長之差等于鄰邊邊長之差．【針對練習】如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，平行四邊形ABCD的周長是100cm，△AOB與△BOC的周長的和是122cm，且AC:DB=2:1，求AC和BD的長．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AB=CD，OB=OD，∴AB+BC=50.∵△AOB與△BOC的周長的和是122cm，∴OA+OB+AB+OB+OC+BC=122，即AC+BD=122-50=72.又∵AC:DB=2:1，∴AC=48cm，BD=24cm．例3.如圖,平行四邊形ABCD中，AC、BD交于O點，點E、F分別是AO、CO的中點，試判斷線段BE、DF的關系并證明你的結論．解：BE＝DF，BE∥DF.理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA＝OC，OB＝OD,∴OE＝OF.在△OFD和△OEB中，OE＝OF，∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，∴△OFD≌△OEB，∴∠OEB＝∠OFD，BE＝DF，∴BE∥DF.例4.如圖，□ABCD的對角線AC,BD交于點O.點O作直線EF,分別交AB,CD于點E，F.求證：OE=OF.證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,OD=OB,∴∠ODF=∠OBE,∠DFO=∠BEO,∴△DOF≌△BOE（ASA）,∴OE=OF.思考：改變直線EF的位置，OE=OF還成立嗎?【針對練習】如圖，□ABCD的對角線AC,BD交于點O.點O作直線EF,分別交CD，AB所在直線于點E，F.求證：OE=OF.證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,OD=OB,∴∠ODE=∠OBF,∠DOE=∠BOF,∴△DOE≌△BOF（ASA）,∴OE=OF.【針對練習】如圖，□ABCD的對角線AC,BD交于點O.點O作直線EF,分別交BC，AD所在直線于點E，F.求證：OE=OF.證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,OA=OC,∴∠OEC=∠OFA,∠COE=∠AOF,∴△DOE≌△BOF（AAS）,∴OE=OF.【總結提升】如圖，□ABCD的對角線AC,BD交于點O.點O作直線EF,分別交平行四邊形各邊所在直線于點E，F.則OE=OF.【點睛】過平行四邊形的對角線交點作直線與平行四邊形的一組對邊或對邊的延長線相交，得到線段總相等.例5.如圖，AC，BD交于點O，EF過點O，平行四邊形ABCD被EF所分的兩個四邊形面積相等嗎？解：設直線EF交AD，BC于點N，M.∵AD∥BC∴∠NAO=∠MCO，∠ANO=∠CMO.又∵AO=CO,∴△NAO≌△MCO，∴S四邊形ANMB=S△NAO+S△AOB+S△MOB=S△MCO+S△AOB+S△MOB=S△AOB+S△COB=.∴S四邊形ANMB=S四邊形CMND,即平行四邊形ABCD被EF所分的兩個四邊形面積相等.【總結提升】如圖，AC，BD交于點O，EF過點O，平行四邊形ABCD被EF所分的兩個四邊形面積相等.【點睛】過對角線交點的任一條直線都將平行四邊形分成面積相等的兩部分.課堂小結1.本節課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？【設計意圖】培養學生概括的能力。使知識形成體系，并滲透數學思想方法。達標檢測1.如圖，在□ABCD中，AC，BD交于點O，則下列結論中錯誤的是()A.OA=OCB.∠ABC=∠ADCC.AB=CDD.AC=BD2.如圖，□ABCD的對角線交于點O，且AB=5，△OCD的周長為23，則□ABCD的兩條對角線長的和是()A.18B.28C.36D.463.如圖，在□ABCD中，對角線AC和BD相交于點O，如果AC=12，BD=10，AB=m，那么m的取值范圍是()A.10<m<12B.1<m<11C.2<m<22D.5<m<64.如圖，在□ABCD中，AC、BD為對角線，BC=9，BC邊上的高為6，則陰影部分的面積為______.5.如圖，EF過□ABCD對角線的交點O，交AD于E，交BC于F.若□ABCD的周長為18，OE=1.5，則四邊形EFCD的周長為______.6.如圖，?ABCD的對角線AC，BD相交于點O．已知AB=5cm，△OAB的周長比△BOC的周長小7.在平行四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，若DO=1.5cm，AB=5cm，BC=4cm，求平行四邊形ABCD的面積．8.如圖，在□ABCD中，AC與BD相交于點O，點E、F在AC上，且BE//DF．求證：BE=DF.9.如圖，□ABCD和□EBFD的頂點A，E，F，C在一條直線上，求證：AE=CF.10.如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，且AB≠AD,過O作OE⊥BD，交BC于點E.若△CDE的周長為10，則平行四邊形ABCD的周長是多少?11.如圖，在□ABCD中，對角線AC與BD交于點O，AB⊥AC,∠DAC=45°，AC=2，求BD的長.【參考答案】DCB27126.解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，AD=BC．∵△OAB的周長比△BOC的周長小3cm，∴OB+OC+BC∵AB=5cm∴BC=AB+3=5+3=8cm∴AD=BC=8cm7.解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BD=2DO=3cm，AD=BC=4∵32+4∴△ABD為直角三角形，且∠ADB∴BD為平行四邊形ABCD底邊AD上的高，∴S?8.證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形.∴OB=OD∵BE//DF∴∠BEO=∠DFO又∵∠BOE=∠DOF∴△BOE≌△DOF(AAS)∴BE=DF9.證明:連接BD交AC于O∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AO=CO∵四邊形EBFD是平行四邊形∴EO=FO∴AO-EO=CO-FO即AE=CF10.解:∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AB=CD，BC=AD，OB=OD∵OE⊥BD∴BE=DE∵△CDE的周長為10∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10∴平行四邊形ABCD的周長為2×(BC+CD)=2011.解:∵四邊形ABCD是平行四邊形∴A