/單級倒立擺的LQR控制一、問題描述倒立擺是一種典型的快速、多變量、非線性、絕對不穩(wěn)定、非最小相位系統(tǒng).由于它的行為與兩足機(jī)器人行走有極大的相似性,因而對其進(jìn)行研究具有重要的理論和實踐意義.線性二次型最優(yōu)控制設(shè)計是在狀態(tài)空間技術(shù)的基礎(chǔ)上設(shè)計一個最優(yōu)的動態(tài)控制器——即LQR控制器。線性二次型最優(yōu)控制問題其目標(biāo)函數(shù)是屬于二次型形式的最優(yōu)控制。這種控制問題在現(xiàn)代控制理論中占有非常重要的地位，越來越受到控制界的高度重視,這是因為它的最優(yōu)解具有標(biāo)準(zhǔn)的解析式，它不局限于某種特定物理系統(tǒng)，而且經(jīng)過人們的多次實驗，證明這樣可以很容易獲得解析解，且可以形成簡單的線性狀態(tài)反饋控制規(guī)律，容易構(gòu)成最優(yōu)反饋控制，在工程中便于實現(xiàn),所以廣泛應(yīng)用于實際的工程問題中[１,2]。本文對單級倒立擺進(jìn)行LQＲ控制，建立其單級倒立擺數(shù)學(xué)模型，設(shè)計LQＲ控制器。二、解決方案1單級倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立單級倒立擺系統(tǒng)的物理模型可以描述為：在光滑水平平面上擺放著滑軌,在滑軌上放置著以左右自由移動的小車，一根視為剛體的擺桿通過其底端的一個不計摩擦的固定端點與小車相連構(gòu)成一個倒立擺。單級倒立擺可以在平行于滑軌的范圍內(nèi)隨意擺動.倒立擺控制系統(tǒng)的目的是在系統(tǒng)的初始狀態(tài)不為零時,由設(shè)計的控制器對小車作用一個力(控制量），使小車停在給定位置且倒立擺的擺桿仍然保持豎直向上狀態(tài)。當(dāng)小車靜止的情況下，由于受到重力的作用,導(dǎo)致倒立擺的穩(wěn)定性發(fā)生不可逆轉(zhuǎn)的破壞而使倒立擺無法復(fù)位，所以小車在平行于滑軌的方向上產(chǎn)生加速度。根據(jù)牛頓力學(xué)原理,這里的作用力（控制量）與小車位移對時間的二階導(dǎo)數(shù)存在線性關(guān)系，所以說單級倒立擺系統(tǒng)是一個非線性系統(tǒng)[2，4］。在各種摩擦忽略不計之后,可將單級倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和均勻質(zhì)量擺桿組成的系統(tǒng)，單級倒立擺的結(jié)構(gòu)簡圖如圖1所示.圖1單級倒立擺的結(jié)構(gòu)簡化模型設(shè)小車質(zhì)量為Ｍ，擺桿質(zhì)量為m，擺桿長為l，F(xiàn)為作用于小車上的外力,μ為小車摩擦數(shù),I為擺桿轉(zhuǎn)動慣量，x為小車的位移,擺桿角度為,重力加速度為ｇ。在建立數(shù)學(xué)模型之前，先進(jìn)行幾點假設(shè)：（1）將倒立擺的擺桿視為質(zhì)量分布均勻的剛體；（2）除小車與滑軌之間的摩擦外其它摩擦力可以忽略。通過對倒立擺分析,可得如下系統(tǒng)動力學(xué)方程組顯然，這是一個非線性方程組。為了便于對控制器的設(shè)計需要將該方程組進(jìn)行線性化.考慮倒立擺動態(tài)過程中擺角在平衡點處附近的微小變化。則有，即方程組可簡化為：令作用力、位移與角度參數(shù)為時間的函數(shù)有于是最終得到方程組為即系統(tǒng)的狀態(tài)變量為，，則系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為，代入仿真數(shù)據(jù)取M=１.00kg,m=0。10kg,l=０．５m，后得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間數(shù)學(xué)模型為以小車位移x和擺角為輸出變量的系統(tǒng)的輸出方程式為2線性二次型最優(yōu)控制器設(shè)計控制器設(shè)計的前提主要看系統(tǒng)是否能控,所以在設(shè)計控制器之前要進(jìn)行能控性分析.可以由能控性矩陣的秩來判斷是否能控，或利用Matlab中可控性矩陣的ｃtrb命令來計算，可以得出Ｒank（M）=４，可知單級倒立擺系統(tǒng)是可控的，因此可以對倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行LＱR控制器的設(shè)計,使該系統(tǒng)穩(wěn)定.線性二次型最優(yōu)控制是一種應(yīng)用較多的最優(yōu)控制系統(tǒng)設(shè)計方法，其對象是現(xiàn)代控制理論中以狀態(tài)空間形式給出的線性系統(tǒng)，線性二次型最優(yōu)設(shè)計指旨在尋求最優(yōu)控制,使二次型目標(biāo)函數(shù)J取最小值[5，6]。根據(jù)單級倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)方程，由于終端時間=∞，系統(tǒng)的二次型性能指標(biāo)為式中:，為系統(tǒng)期望輸出；Ｑ，R分別為輸出誤差變量和輸入變量的加權(quán)矩陣，決定了系統(tǒng)誤差與控制能量消耗之間的相對重要性(Q為半正定對稱矩陣；R為正定對稱矩陣）。找一狀態(tài)反饋控制律:u（ｔ）=—Kx(t），使得二次型性能指標(biāo)最小化。為使J最小,由最小值原理得到最優(yōu)控制為式中：矩陣為微分Riccａt(yī)ti方程:的解。如果令終止時間=∞，為一個常數(shù)矩陣,且＝0,即Riccａt(yī)ti方程簡化為對于最優(yōu)反饋系數(shù)矩陣Matlab仿真軟件控制系統(tǒng)工具箱中提供了解決線性二次型最優(yōu)控制問題的函數(shù)，可使用lｑr（A,Ｂ,Q,R）命令來求取K。由于輸入變量u為一維向量，所以Ｒ為1×1維矩陣，可?。遥?；這里關(guān)鍵是選擇加權(quán)矩陣Ｑ,一般Q越大,系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需時間越短，反之亦然，這里經(jīng)過多次仿真，選擇下面的Q值比較理想。該系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣，其中為外界作用在小車上的力，是一個脈沖輸入；為ＬQR控制器輸出的控制力;為作用在小車上的合力.圖２為LQＲ最優(yōu)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖三、仿真根據(jù)上面得到的數(shù)據(jù)，利用Matlab軟件中Simｕlinｋ對倒立擺的運動進(jìn)行仿真［7,８]。Q和R矩陣用來平衡系統(tǒng)對輸入量和狀態(tài)量的感應(yīng)程度,通過調(diào)整矩陣Q和R來獲得滿意的響應(yīng)效果。經(jīng)過多次仿真試湊，可以使系統(tǒng)能夠準(zhǔn)確地跟蹤階躍輸入信號,擺桿的角度的超調(diào)量足夠小，穩(wěn)態(tài)誤差很小、上升時間與調(diào)整時間也比較短。倒立擺擺角和小車位移的仿真結(jié)果如圖3和圖4所示.這時如果繼續(xù)再增大Q，系統(tǒng)的響應(yīng)性能還會有更近一步的改善，除了保證Q足夠小還要兼顧其它指標(biāo),系統(tǒng)響應(yīng)性能已經(jīng)足夠了。圖3倒立擺擺角仿真響應(yīng)曲線圖4小車位移仿真響應(yīng)曲線使用線性二次型最優(yōu)控制器（LＱR）對單級倒立擺的運動有較好的控制，可以達(dá)到最優(yōu)控制的目的，而且具有較優(yōu)的穩(wěn)態(tài)特性,適應(yīng)性較強(qiáng)，因此有進(jìn)一步研究和推廣的必要性。四、參考文獻(xiàn)[1]KHALILＳＵLTAN。InverｔedPendulum-Analｙsｉs,DesignａndImｐlｅｍｅntation［M]．Pakiｓtan:CＳIRIＩEE，2００5.[２］王仲民，孫建軍，岳宏?；贚QＲ的倒立擺最優(yōu)控制系統(tǒng)研究[J］。工業(yè)儀表與自動化裝置，２00５（3)：６—９.[３］叢爽,張冬軍,魏衡華.單級倒立擺三種控制方法的對比研究[J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，２001，23（１1):47．[4]黃丹，周少武，吳新開，等.基于ＬQＲ最優(yōu)調(diào)節(jié)器的倒立擺控制系統(tǒng)［J]．微計算機(jī)信息,20０4(２0）:37-3８。[5］符曦.系統(tǒng)最優(yōu)化及控制［M］。北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1９９５。[6]蔡壽康，張正方。最優(yōu)控制[M].