激光器的輸出特性1第1頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月引言前兩章由發(fā)光的物理基礎(chǔ)出發(fā),討論了激光產(chǎn)生的工作原理、在激光諧振腔中受激輻射大于自發(fā)輻射而導(dǎo)致光的受激輻射放大的過(guò)程和條件；為研究激光的輸出特性（從激光諧振腔中傳播到腔外的光束的強(qiáng)度與相位的大小與分布）建立了基礎(chǔ)。激光器作為光源與普通光源的主要區(qū)別：激光器有一個(gè)諧振腔。諧振腔作用：倍增激光增益介質(zhì)的受激放大作用長(zhǎng)度以形成光的高亮度；提高了光源發(fā)光的方向性；由于激光器諧振腔中分立的振蕩模式的存在，大大提高了輸出激光的單色性，實(shí)現(xiàn)了高度的相干性，改變了輸出激光的光束結(jié)構(gòu)及其傳輸特性。本章從諧振腔的衍射理論開始研究激光輸出的高斯光束傳播特性，激光器的輸出功率以及激光器輸出的線寬極限。2第2頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.1光學(xué)諧振腔的衍射理論3.1.1惠更斯-基爾霍夫衍射公式

惠更斯提出了關(guān)于子波的概念，認(rèn)為波面上每一點(diǎn)可看作次球面子波的波源，下一時(shí)刻新的波前形狀由次級(jí)子波的包絡(luò)面所決定。空間光場(chǎng)是各子波干涉疊加的結(jié)果。

惠更斯－菲涅耳原理設(shè)波陣面上任一源點(diǎn)的光場(chǎng)復(fù)振幅為，則空間任一觀察點(diǎn)P的光場(chǎng)復(fù)振幅由下列積分式計(jì)算：

圖3-1惠更斯-菲涅耳原理式中為源點(diǎn)與觀察點(diǎn)之間的距離；為源點(diǎn)處的波面法線與的夾角；

為光波矢的大小，為光波長(zhǎng)；為源點(diǎn)處的面元。

3第3頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.1.2光學(xué)諧振腔的自再現(xiàn)模積分方程自再現(xiàn)模概念起因：由于反射鏡的有限大小，它在對(duì)光束起反射作用的同時(shí)，還會(huì)引起光波的衍射效應(yīng)，引起反射回來(lái)的光束的強(qiáng)度減弱.特點(diǎn)1：當(dāng)反射次數(shù)足夠多時(shí)（大約三百多次反射）光束的橫向場(chǎng)分布便趨于穩(wěn)定，分布不再受衍射的影響。特點(diǎn)2：場(chǎng)分布在腔內(nèi)往返傳播一次后能夠“再現(xiàn)”出來(lái)，反射只改變光的強(qiáng)度大小，而不改變光的強(qiáng)度分布。這種穩(wěn)態(tài)場(chǎng)經(jīng)一次往返后，唯一的變化是，鏡面上各點(diǎn)的場(chǎng)振幅按同樣的比例衰減，各點(diǎn)的相位發(fā)生同樣大小的滯后。這個(gè)穩(wěn)定的橫向場(chǎng)分布，就是激光諧振腔的自再現(xiàn)模。4第4頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月圖(3-2)所示為一個(gè)圓形鏡的平行平面腔，鏡面和上分別建立了坐標(biāo)軸兩兩相互平行的坐標(biāo)和。利用上式由鏡面上的光場(chǎng)分布可以計(jì)算出鏡面M上的場(chǎng)分布函數(shù)，即任意一個(gè)觀察點(diǎn)的光場(chǎng)強(qiáng)度。自再現(xiàn)模積分方程圖3-2鏡面上場(chǎng)分布的計(jì)算示意圖

假設(shè)為經(jīng)過(guò)q次渡越后在某一鏡面上所形成的場(chǎng)分布，表示光波經(jīng)過(guò)q+1次渡越后，到達(dá)另一鏡面所形成的光場(chǎng)分布，則

與之間應(yīng)滿足如下的迭代關(guān)系：

考慮對(duì)稱開腔的情況，按照自再現(xiàn)模的概念，除了一個(gè)表示振幅衰減和相位移動(dòng)的常數(shù)因子以外，應(yīng)能夠?qū)⒃佻F(xiàn)出來(lái)，兩者之間應(yīng)有關(guān)系：

5第5頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月其中，稱為積分方程的核。綜合上兩式可得自再現(xiàn)模積分方程(續(xù))

簡(jiǎn)化：對(duì)于一般的激光諧振腔來(lái)說(shuō)，腔長(zhǎng)L與反射鏡曲率半徑R通常都遠(yuǎn)大于反射鏡的線度a，而a又遠(yuǎn)大于光波長(zhǎng)。對(duì)上式做兩點(diǎn)近似可得到自再現(xiàn)模所滿足的積分方程：和的下標(biāo)表示該方程存在一系列的不連續(xù)的本征函數(shù)解與本征值解，這說(shuō)明在某一給定開腔中，可以存在許多不同的自再現(xiàn)模。

6第6頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月積分方程解的物理意義本征函數(shù)和激光橫模本征函數(shù)的模代表對(duì)稱開腔任一鏡面上的光場(chǎng)振幅分布，幅角則代表鏡面上光場(chǎng)的相位分布。它表示的是在激光諧振腔中存在的穩(wěn)定的橫向場(chǎng)分布，就是自再現(xiàn)模，通常叫做“橫模”，m、n稱為橫模序數(shù)。圖3-3橫模光斑示意圖

用TEMmnq來(lái)表示激光模式，TEM代表橫電磁波(transverseelectro-magneticwave)的簡(jiǎn)寫，m、n分別代表在截面的x、y軸方向出現(xiàn)的節(jié)線數(shù)，為橫模序數(shù)；q代表在z軸上出現(xiàn)的節(jié)線數(shù)，為縱模序數(shù)7第7頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月?lián)p耗包括衍射損耗和幾何損耗，但主要是衍射損耗，稱為單程衍射損耗，用表示。定義為本征值和單程衍射損耗、單程相移本征值的模反映了自再現(xiàn)模在腔內(nèi)單程渡越時(shí)所引起的功率損耗.本征值幅角與自再現(xiàn)模腔內(nèi)單程渡越后所引起的總相移有關(guān)。

自再現(xiàn)模在對(duì)稱開腔中單程渡越所產(chǎn)生的總相移定義為自再現(xiàn)模在對(duì)稱開腔中的單程總相移一般并不等于由腔長(zhǎng)L所決定的幾何相移，它們的關(guān)系為8第8頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.1.3光學(xué)諧振腔諧振頻率和激光縱模諧振條件、駐波和激光縱模光波在腔內(nèi)往返一周的總相移應(yīng)等于2的整數(shù)倍，即只有某些特定頻率的光才能滿足諧振條件每個(gè)q值對(duì)應(yīng)一個(gè)駐波，稱之為：縱模，q為縱模序數(shù)。諧振腔的諧振頻率主要決定于縱模序數(shù)。9第9頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月縱模頻率間隔腔內(nèi)兩個(gè)相鄰縱模頻率之差稱為縱模的頻率間隔舉例1：10cm腔長(zhǎng)的He-Ne激光器可能出現(xiàn)的縱模數(shù)（一種，單縱模）舉例2：30cm腔長(zhǎng)的He-Ne

激光器可能出現(xiàn)的縱模數(shù)

（三種，多縱模）圖(3-4)腔中允許的縱模數(shù)10第10頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2.1共焦腔鏡面上的場(chǎng)分布方形鏡面共焦腔自再現(xiàn)模積分方程的解析解

(1)設(shè)方鏡每邊長(zhǎng)為2a，共焦腔的腔長(zhǎng)為L(zhǎng)，光波波長(zhǎng)為λ，并把x，y坐標(biāo)的原點(diǎn)選在鏡面中心而以(x，y)來(lái)表示鏡面上的任意點(diǎn)，則在近軸情況下，積分方程有本征函數(shù)近似解析解本征值近似解Hm(X)和Hn(Y)均為厄密多項(xiàng)式，其表示式為：11第11頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月鏡面上自再現(xiàn)模場(chǎng)的特征

振幅分布:令,則有圖(3-5)畫出了m=0，1，2和n=0，1的的變化曲線，同時(shí)還畫出了相應(yīng)的光振動(dòng)的鏡面光強(qiáng)分布圖(3-5)的變化曲線及相應(yīng)的光強(qiáng)分布激光模式的符號(hào)：TEMmnq，TEM00是基橫模。m、n的數(shù)值正好分別等于光強(qiáng)在x，y方向上的節(jié)線(光強(qiáng)為零的線)數(shù)目，而且m、n的數(shù)值越大，光場(chǎng)也越向外擴(kuò)展。

12第12頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月振幅分布:基橫模TEM00場(chǎng)分布為：鏡面上基模的“光斑有效截面半徑”鏡面上自再現(xiàn)模場(chǎng)的特征(續(xù))相位分布:共焦腔反射鏡面本身構(gòu)成光場(chǎng)的一個(gè)等相位面。

單程衍射損耗：一般忽略不計(jì)，但是在討論激光器單橫模的選取時(shí)必須考慮單程衍射損耗13第13頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月鏡面上自再現(xiàn)模場(chǎng)的特征(續(xù))單程相移與諧振頻率：共焦腔的頻率間隔：共焦腔諧振頻率的簡(jiǎn)并性：只要保證（2q+m+n+1）

不變,對(duì)應(yīng)的諧振頻率是

可以相同的.圓形鏡共焦腔：圖(3-6)方形鏡共焦腔的振蕩頻譜14第14頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2.2共焦腔中的行波場(chǎng)與腔內(nèi)外的光場(chǎng)分布

腔內(nèi)的光場(chǎng):

可以通過(guò)基爾霍夫衍射公式計(jì)算由鏡面M1上的場(chǎng)分布在腔內(nèi)造成的行波求得，行波被反射鏡M2反射產(chǎn)生傳播方向相反的另一列行波，兩列行波在腔內(nèi)迭加成駐波。

腔外的光場(chǎng):

則就是腔內(nèi)沿一個(gè)方向傳播的行波透過(guò)鏡面的部分。即行波函數(shù)乘以鏡面的透射率t。求空間場(chǎng)分布的關(guān)鍵是：求出鏡面場(chǎng)分布生成的行波在任意空間點(diǎn)的表達(dá)式。15第15頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.2.2共焦腔中的行波場(chǎng)與腔內(nèi)外的光場(chǎng)分布

如圖3-7所示，將鏡面場(chǎng)分布[式(3-18)]代入基爾霍夫衍射公式[式(3-1)]可得：圖3-7計(jì)算腔內(nèi)外光場(chǎng)分布的示意圖16第16頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)場(chǎng)振幅為軸上()的值的e-1倍，即強(qiáng)度為軸上的值的e-2倍時(shí)，所對(duì)應(yīng)的橫向距離即z處截面內(nèi)基模的有效截面半徑為；3.3.1高斯光束的振幅和強(qiáng)度分布基橫模TEM00的場(chǎng)振幅U00和強(qiáng)度I00分布分別為：在共焦腔中心(z＝0)的截面內(nèi)的光斑有極小值，稱為高斯光束的束腰半徑17第17頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3.1高斯光束的振幅和強(qiáng)度分布(續(xù))用束腰半徑表示的形式圖(3-8)基模光斑半徑隨z按雙曲線規(guī)律的變化基模光斑半徑隨z按雙曲線規(guī)律變化：18第18頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3.2高斯光束的相位分布

隨坐標(biāo)而變化，與腔的軸線相交于點(diǎn)的等相位面的方程為

忽略由于z變化引起的的微小變化，用代替，則在腔軸附近有19第19頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3.2高斯光束的相位分布(續(xù))令，則有：表明等位相面在近軸區(qū)域可看成半徑為R0的球面20第20頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3.2高斯光束的相位分布(續(xù))由式子可知：當(dāng)z0＞0時(shí)，z-z0＜0；而當(dāng)z0＜0時(shí),z-z0＞0

當(dāng)當(dāng)共焦腔反射鏡面是共焦場(chǎng)中曲率最大的等相位面共焦場(chǎng)中等相位面的分布如圖(3-9)所示。

圖(3-9)共焦腔中等位相面的分布21第21頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3.3高斯光束的遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角(全角)定義為雙曲線的兩根漸近線之間的夾角[參見圖(3-8)]

共焦腔基模光束的理論發(fā)散角具有毫弧度的數(shù)量綴，它的方向性相當(dāng)好.

由于高階模的發(fā)散角是隨著模的階次的增大而增大，所以多模振蕩時(shí)，光束的方向性要比單基模振蕩差。22第22頁(yè)，課件共25頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3.3.4高斯光束的高亮度

亮度B:

單位面積的發(fā)光面在其法線方向上單位立體角范圍內(nèi)輸出去的輻射功率。一般的激光器是