晶體中電子能帶理論第1頁，課件共26頁，創作于2023年2月引言:晶體最大的特點就是具有周期性結構，滿足平移對稱性。在考慮電子和離子實之間的相互作用的前提下，給出周期性結構中系統的哈密頓量，并考慮對哈密頓的近似處理-------模型的建立假定晶體體積，含有N個帶正電荷Ze的離子實，Z為單原子的價電子數目，晶體中有NZ個價電子。即：N個離子實，每個離子實帶正電荷Ze，其位矢用表示；NZ個價電子，簡稱為電子，其位矢用表示。模型的建立第2頁，課件共26頁，創作于2023年2月系統的哈密頓為：NZ個電子的動能和庫侖勢

N個離子實的動能和庫侖勢

電子和離子實之間的庫侖勢

式中表示求和時ij,?源于考慮了兩次相互作用第3頁，課件共26頁，創作于2023年2月描寫體系的薛定諤方程為：（其中代表，代表）上述問題是一個NZ+N的多體問題，無法直接求解薛定諤方程，為此進行如下假設和近似：1、絕熱近似（玻恩—奧本海默近似）

認為離子實固定在其瞬時位置上，只關注電子體系的運動。此時，離子實的動能項和離子實之間的庫侖勢可不考慮。為離子實的瞬時位置，是其中的一個參量。一般情況下，離子實是圍繞其平衡位置作小振動（晶格振動）。絕熱近似忽略晶格振動的影響，認為即是平衡位置的第4頁，課件共26頁，創作于2023年2月2、單電子近似(平均場近似)

哈密頓中的項，使電子的運動彼此關聯，難于處理。為此，用一個平均場來代替項。(每個電子處于其他電子的平均場中)則電子體系的哈密頓進一步簡化為：此式表明，晶體中總的是NZ個單電子的哈密頓之和，即多體問題簡化為單體問題。單電子勢能第5頁，課件共26頁，創作于2023年2月3、周期場近似單電子勢能:周期場近似的內容是：假定具有和晶格同樣的平移對稱性，即：成立絕熱近似單電子近似周期場近似將復雜的多粒子體系問題簡化為周期場中單電子的運動單電子勢能第6頁，課件共26頁，創作于2023年2月周期場中單電子薛定諤方程的本征函數（布洛赫波函數）。從兩個極端情況出發（電子受原子核束縛強弱），近自由電子近似和緊束縛近似，了解晶體中電子能帶結構的起源。周期場中電子的動力學行為。從能帶論的角度講述何以有導體、半導體和絕緣體之分。本章主要內容：第7頁，課件共26頁，創作于2023年2月§5.1布洛赫波函數一、布洛赫定理及證明（有關周期場中單電子薛定諤方程的本征函數）二、波矢k的取值與物理意義本節主要內容:第8頁，課件共26頁，創作于2023年2月布洛赫定理(Blochtheorem)及證明布洛赫定理：對于周期性勢場，即其中取布拉維格子的所有格矢，則單電子薛定諤方程:的本征函數是按布拉維格子周期性調幅的平面波，即且對取布拉維格子的所有格矢成立。第9頁，課件共26頁，創作于2023年2月具有此形式的波函數稱為布洛赫波函數。且布洛赫定理也可以表述為：對前述定理中薛定諤方程的每一本征解，存在一波矢，使得：對屬于布拉維格子的所有格矢成立。第10頁，課件共26頁，創作于2023年2月布洛赫定理的證明(1)引入平移對稱算符(2)說明:布洛赫電子(Blochelectron)

把遵從周期勢單電子薛定諤方程的電子，或用布洛赫波函數描述的電子稱為布洛赫電子，相應的描述晶體電子行為的這種波稱為布洛赫波。對屬于布拉維格子的所有格矢,只要證得即可。(3)證明思路第11頁，課件共26頁，創作于2023年2月(1)引入平移對稱算符定義：性質：第12頁，課件共26頁，創作于2023年2月(2)證明：即平移對稱算符與晶體中布洛赫電子的哈密頓算符對易所以晶體中單電子哈密頓量具有晶格周期性。微分算符與坐標原點的平移無關，比如在直角坐標系中：第13頁，課件共26頁，創作于2023年2月所以平移對稱操作算符與哈密頓算符是對易的。由于對易的算符有共同的本征函數，所以如果波函數是的本征函數，那么也一定是算符的本征函數。第14頁，課件共26頁，創作于2023年2月根據平移算符的性質：(3)證明：其中第15頁，課件共26頁，創作于2023年2月可得到：即周期性邊界條件：第16頁，課件共26頁，創作于2023年2月同理可得：這樣的本征值取下列形式為整數則：第17頁，課件共26頁，創作于2023年2月引入矢量：為整數式中為晶格三個倒格基矢，由于,---布洛赫定理得證。第18頁，課件共26頁，創作于2023年2月可以看出平面波能滿足上式：因此矢量具有波矢的意義。討論的意義第19頁，課件共26頁，創作于2023年2月取分立值為使與本征值一一對應，必須把波矢的取值限制在一個倒格子原胞區間內（第一布里淵區）為整數波矢k的取值與物理意義第20頁，課件共26頁，創作于2023年2月在第一布里淵區內，電子的波矢數目等于晶體的原胞數目N=N1N2N3。在波矢空間內，由于N的數目很大，波矢點的分布是準連續的。電子的波矢密度為：取值是量子化的，在空間均勻分布，一個值平均占據體積：為晶體的體積第21頁，課件共26頁，創作于2023年2月證明：根據布洛赫定理下面證明得證令：第22頁，課件共26頁，創作于2023年2月說明：在第六章描述的自由電子情形，由于波函數：對自由電子情形，動量算符有確定的本征值，代表電子的動量。

但是，對于布洛赫電子，由于布洛赫波函數：所以，布洛赫波函數不再是動量算符的本征函數，不再代表布洛赫電子的動量。一般把稱為晶體動量,而把理解為標志電子在具有平移對稱性的周期場中不同狀態的量子數。第23頁，課件共26頁，創作于2023年2月

例：一維周期場中電子的波函數應當滿足布洛赫定理，若晶格常量為a，電子波函數為f為某一確定函數，試求電子在此狀態的波矢。解：據布洛赫定理，在周期性勢場中運動的波函數具有以下特點：令m-n=l，第24頁，課件共26頁，創作于2023年2月據布洛赫定理，即在第一布里淵區中，即取（s為整數）第25頁，課件共26頁