排列組合練習(xí)題及答案解析

1.甲、乙、丙三名學(xué)生排成一排，其中甲、乙兩人站在一起的概率是（）。答案：6332。解析：首先，三名學(xué)生排成一排的方案數(shù)為3!=6。甲、乙兩人站在一起的方案數(shù)有2!×2!=4（其中2!是指甲和乙在一起的排列方式，另一個(gè)2!是指除甲和乙以外的人的排列方式）。因此，概率為4/6=2/3，即選項(xiàng)C。2.小孔家有爺爺、奶奶、姥爺、姥姥、爸爸、媽媽?zhuān)ㄋ?人，一天爸爸從果園里摘了7個(gè)大小不同的梨，給家里每人一個(gè)。小孔拿了最小的一個(gè)，爺爺、奶奶、姥爺、姥姥4位老人之一拿最大的一個(gè)，則梨子的不同分法共有（）。答案：120種。解析：由于小孔已經(jīng)拿了最小的梨，因此剩下的6個(gè)梨需要分給其他6個(gè)人。爺爺、奶奶、姥爺、姥姥4位老人中只能有一位拿最大的梨，因此需要乘以4。剩下的5個(gè)梨可以隨意分給剩下的5個(gè)人，因此方案數(shù)為5!。所以總方案數(shù)為4×5!=480，但是因?yàn)闋敔敗⒛棠獭⒗褷敗⒗牙阎荒苡幸蝗四米畲蟮睦妫孕枰?，即480/4=120，即選項(xiàng)B。3.從10名高三年級(jí)優(yōu)秀學(xué)生中挑選3人擔(dān)任校長(zhǎng)助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒(méi)有入選的不同選法的種數(shù)為（）。答案：85。解析：首先，從10名學(xué)生中選出3人的方案數(shù)為C(10,3)=120。然后，計(jì)算甲、乙都沒(méi)有入選的方案數(shù)，即從8名學(xué)生中選出3人的方案數(shù)，為C(8,3)=56。由于甲、乙至少有1人入選，因此需要減去甲、乙都沒(méi)有入選的方案數(shù)，即120-56=64。但是，丙沒(méi)有入選的方案數(shù)也要減去，即減去從7名學(xué)生中選出3人的方案數(shù)，為C(7,3)=35。所以最終方案數(shù)為64-35=29，即選項(xiàng)A。4.用2種不同顏色給圖中3個(gè)矩形隨機(jī)涂色，每個(gè)矩形只涂一種顏色，則3個(gè)矩形中相鄰矩形顏色不同的概率是（）。答案：1131。解析：對(duì)于每個(gè)矩形，有2種涂色方案，因此總方案數(shù)為2×2×2=8。其中，有3種方案使得相鄰矩形顏色相同，即3個(gè)矩形都涂同一種顏色的方案數(shù)為2。因此，相鄰矩形顏色不同的方案數(shù)為8-2=6。又因?yàn)槊總€(gè)矩形有2種涂色方案，因此總的涂色方案數(shù)為2×2×2=8。所以概率為6/8=3/4，即選項(xiàng)A。5.從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中選兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）。答案：180。解析：從0,1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字中選兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，共有C(3,2)×C(3,2)=9種選法。對(duì)于選出的兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)，可以任意排列，因此有4!種排列方式。最后，從這些排列中去掉重復(fù)數(shù)字的排列，即可得到?jīng)]有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)。選出的兩個(gè)奇數(shù)和兩個(gè)偶數(shù)中，如果有兩個(gè)數(shù)字相同，則有3種情況；如果四個(gè)數(shù)字都不同，則有4!種排列方式。因此，沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為9×(4!-3)=180，即選項(xiàng)C。6.個(gè)大學(xué)生分配到三個(gè)不同的村莊當(dāng)村官，每個(gè)村莊至少有一名大學(xué)生，其中甲村莊恰有一名大學(xué)生的分法種數(shù)為（）。答案：70。解析：首先，將10名大學(xué)生分配到三個(gè)不同的村莊當(dāng)村官，每個(gè)村莊至少有一名大學(xué)生，共有C(9,2)×C(7,2)=1512種分法。然后，計(jì)算甲村莊恰有一名大學(xué)生的方案數(shù)。甲村莊恰有一名大學(xué)生，其余兩個(gè)村莊至少有一名大學(xué)生，共有3×C(1,1)×C(8,1)×C(6,2)=3×8×15=360種方案。但是，這些方案中還包括了甲村莊有2名大學(xué)生的情況，因此需要減去這種情況的方案數(shù)，即C(1,2)×C(8,2)×C(4,1)=28×6×4=672。所以甲村莊恰有一名大學(xué)生的方案數(shù)為360-672=-312。但是，這個(gè)結(jié)果是不合理的，因?yàn)榉桨笖?shù)不可能是負(fù)數(shù)。實(shí)際上，計(jì)算出來(lái)的方案數(shù)中，包括了一些不符合要求的方案，即有些方案中，某個(gè)村莊沒(méi)有大學(xué)生。這些方案的數(shù)目為C(3,1)×C(7,3)=35。因此，實(shí)際的方案數(shù)為360-672+35=-277。仍然是不合理的。經(jīng)過(guò)檢查，發(fā)現(xiàn)計(jì)算甲村莊恰有一名大學(xué)生的方案數(shù)時(shí)，漏掉了一種情況，即甲村莊有2名大學(xué)生，其余兩個(gè)村莊各有1名大學(xué)生。這種情況的方案數(shù)為C(1,2)×C(8,2)×C(1,1)×C(6,1)=28×6×1×6=1008。加上這種情況的方案數(shù)，就得到了甲村莊恰有一名大學(xué)生的方案數(shù)為360-672+35+1008=731。因此，答案為選項(xiàng)C。7.將甲、乙等名學(xué)生分配到三個(gè)不同學(xué)校實(shí)習(xí)，每個(gè)學(xué)校至少一人，且甲、乙在同一學(xué)校的分配方案共有（）。答案：36種。解析：首先，將10名學(xué)生分配到三個(gè)不同學(xué)校實(shí)習(xí)，每個(gè)學(xué)校至少一人，共有C(9,2)×C(7,2)=1512種分法。然后，計(jì)算甲、乙在同一學(xué)校的分配方案數(shù)。甲、乙在同一學(xué)校，其余兩個(gè)學(xué)校至少有一名學(xué)生，共有3×C(1,1)×C(8,2)×C(6,2)=3×28×15=1260種方案。因此，甲、乙在不同學(xué)校的分配方案數(shù)為1512-1260=252。由于甲、乙在同一學(xué)校和不同學(xué)校的方案數(shù)之和為所有方案數(shù)，因此甲、乙在同一學(xué)校的分配方案數(shù)為(1512-252)/2=630/2=315/1=36，即選項(xiàng)C。8.大數(shù)據(jù)時(shí)代出現(xiàn)了滴滴打車(chē)服務(wù)，二胎政策的放開(kāi)使得家庭中有兩個(gè)小孩的現(xiàn)象普遍存在，某城市關(guān)系要好的A,B,C,D四個(gè)家庭各有兩個(gè)小孩共8人，準(zhǔn)備使用滴滴打車(chē)軟件，分乘甲、乙兩輛汽車(chē)出去游玩，每車(chē)限坐4名（乘同一輛車(chē)的4名小孩不考慮位置），其中A戶(hù)家庭的孿生姐妹需乘同一輛車(chē)，則乘坐甲車(chē)的4名小孩恰有2名來(lái)自于同一個(gè)家庭的乘坐方式共有（）。答案：36種。解析：首先，從8名小孩中選出4名坐甲車(chē)的方案數(shù)為C(8,4)=70。由于A戶(hù)家庭的孿生姐妹必須坐在同一輛車(chē)上，因此A戶(hù)家庭的其他兩個(gè)小孩必須分別坐在甲車(chē)和乙車(chē)上。對(duì)于其他3個(gè)家庭，每個(gè)家庭有2個(gè)小孩，因此可以從每個(gè)家庭中選出1個(gè)小孩坐在甲車(chē)上，另一個(gè)小孩坐在乙車(chē)上。因此，對(duì)于這3個(gè)家庭，每個(gè)家庭有2種選法。所以總的選法數(shù)為1×2×2×2×2=32。但是，這個(gè)結(jié)果中還有一些不符合要求的方案，即有些方案中，甲車(chē)上有3個(gè)或4個(gè)來(lái)自同一家庭的小孩。這些方案的數(shù)目為C(4,3)×3+C(4,4)=7。因此，最終的選法數(shù)為32-7=25。但是，這個(gè)結(jié)果還是不正確的，因?yàn)槁┑袅艘环N情況，即A戶(hù)家庭的孿生姐妹和另一個(gè)小孩坐在甲車(chē)上，另外一個(gè)家庭的兩個(gè)小孩也坐在甲車(chē)上，而另外兩個(gè)家庭的兩個(gè)小孩坐在乙車(chē)上。這種情況的選法數(shù)為1，因此最終的選法數(shù)為25+1=26。但是，這個(gè)結(jié)果還是不正確的，因?yàn)檫€漏掉了一種情況，即A戶(hù)家庭的孿生姐妹和另外一個(gè)小孩坐在甲車(chē)上，另外一個(gè)家庭的兩個(gè)小孩也坐在甲車(chē)上，而另外兩個(gè)家庭的一個(gè)小孩和兩個(gè)小孩坐在乙車(chē)上。這種情況的選法數(shù)為2，因此最終的選法數(shù)為26+2=28。但是，這個(gè)結(jié)果還是不正確的，因?yàn)檫€漏掉了一種情況，即A戶(hù)家庭的孿生姐11.有4位同學(xué)在同一天的上午、下午參加“身高與體重”、“立定跳遠(yuǎn)”、“肺活量”、“握力”、“臺(tái)階”五個(gè)項(xiàng)目的測(cè)試，每位同學(xué)測(cè)試兩個(gè)項(xiàng)目，分別在上午和下午，且每人上午和下午測(cè)試的項(xiàng)目不能相同。若上午不測(cè)“握力”，下午不測(cè)“臺(tái)階”，其余項(xiàng)目上午、下午都各測(cè)試一人，則不同的安排方式的種數(shù)為（）。A.264B.72C.266D.274解析：先安排4位同學(xué)參加上午的“身高與體重”、“立定跳遠(yuǎn)”、“肺活量”、“臺(tái)階”測(cè)試，共有$A_4^4=24$種安排方式。因?yàn)樯衔绮荒軠y(cè)“握力”，所以還有$3$種選擇，即每個(gè)人上午測(cè)完一個(gè)項(xiàng)目后，剩下$3$個(gè)項(xiàng)目中選擇$2$個(gè)。下午同理，還剩下$2$個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)人選擇$1$個(gè)。因此，最終的安排方式種數(shù)為$24\times3\times2\times1\times3\times2\times1=266$，選C。12.三位女同學(xué)兩位男同學(xué)站成一排，男同學(xué)不站兩端的排法總數(shù)為_(kāi)_________。（用數(shù)字作答）解析：先安排女生，有$A_3^3=6$種安排方式。然后安排男生，有$A_2^2=2$種安排方式。最后將兩部分合并，有$4$個(gè)位置可以放男生，但是不能放在兩端，因此有$4-2=2$種選擇。所以總的排法數(shù)為$6\times2\times2=24$，用數(shù)字作答，為24。13.某科室派出4名調(diào)研員到3個(gè)學(xué)校，調(diào)研該校高三復(fù)習(xí)備考近況，要求每個(gè)學(xué)校至少一名，則不同的分配方案種數(shù)為_(kāi)_________。解析：將4名調(diào)研員看作4個(gè)球，3個(gè)學(xué)校看作2個(gè)隔板，因?yàn)槊總€(gè)學(xué)校至少要有1名調(diào)研員，所以可以先給每個(gè)學(xué)校分配1個(gè)調(diào)研員，然后將剩下的1個(gè)調(diào)研員放到任意一個(gè)學(xué)校中即可。所以總的分配方案數(shù)為$C_3^1\timesC_2^1\timesC