《函數(shù)的單調(diào)性》提優(yōu)講義知識(shí)講解一、函數(shù)單調(diào)性的定義1.定義如果函數(shù)對(duì)區(qū)間內(nèi)的任意，當(dāng)時(shí)都有，則稱在內(nèi)是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)都有，則在內(nèi)時(shí)減函數(shù)．2.等價(jià)形式設(shè)，那么在是增函數(shù)；在是減函數(shù)；在是減函數(shù)．3.應(yīng)用即若在區(qū)間上遞增（遞減）且（）；若在區(qū)間上遞遞減且．（）．1.比較函數(shù)值的大小．2.可用來(lái)解不等式．3.求函數(shù)的值域或最值等二、單調(diào)性判別1.判斷前注意討論函數(shù)單調(diào)性必須在其定義域內(nèi)進(jìn)行，因此要研究函數(shù)單調(diào)性必須先求函數(shù)的定義域，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是定義域的子集；2.用于判斷的方法定義法：用定義法證明函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：①取值：即設(shè)，是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且②作差變形：通過(guò)因式分解、配方，有理化等方法，向有利于判斷差的符號(hào)的方向變形．③定號(hào)：確定差（或）的符號(hào)，若符號(hào)不確定，可以進(jìn)行分類討論．④下結(jié)論：即根據(jù)定義得出結(jié)論，注意下結(jié)論時(shí)不要忘記說(shuō)明區(qū)間．子區(qū)間法：如果在區(qū)間上是增（減）函數(shù)，那么在的任一非空子區(qū)間上也是增（減）函數(shù)；圖象法：復(fù)合性質(zhì)法：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性結(jié)論：“同增異減”；運(yùn)算性質(zhì)法：在公共定義域內(nèi)增函數(shù)增函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)減函數(shù)是減函數(shù)；增函數(shù)減函數(shù)是增函數(shù)；減函數(shù)增函數(shù)是減函數(shù)．特殊函數(shù)：函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上是單調(diào)遞減．經(jīng)典例題一．填空題（共16小題）1．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）﹣f（﹣x）=0，且對(duì)任意a，b∈（﹣∞，0]，都有（a﹣b）[f（a）﹣f（b）]＜0，若對(duì)于實(shí)數(shù)x1，x2有如下條件：①x1＞x2，②|x1|＞|x2|，③|x1|＞x2，④x1＞|x2|，則其中能使f（x1）＞f（x2）恒成立的條件序號(hào)是②④．【解答】解：∵f（x）﹣f（﹣x）=0，∴f（﹣x）=f（x），則函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，∵對(duì)任意a，b∈（﹣∞，0]，都有（a﹣b）[f（a）﹣f（b）]＜0，∴當(dāng)x∈（﹣∞，0]時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)，則當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，函數(shù)f（x）為增函數(shù)，則①x1＞x2，不一定成立，②|x1|＞|x2|成立，③|x1|＞x2，不一定成立，④x1＞|x2|成立，故答案為：②④2．若f（x）是R上的增函數(shù)，且f（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，﹣1）和點(diǎn)B（3，3），則不等式﹣1＜f（x+1）＜3的解集是（﹣1，2）．【解答】解：由題意可知f（0）=﹣1，f（3）=3．∴﹣1＜f（x+1）＜3等價(jià)于f（0）＜f（x+1）＜f（3）又∵f（x）是R上的增函數(shù)∴0＜x+1＜3，∴﹣1＜x＜2即不等式﹣1＜f（x+1）＜3的解集是（﹣1，2）．故答案為：（﹣1，2）3．函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（﹣∞，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，且其圖象過(guò)點(diǎn)（﹣3，2）和（1，﹣2），則不等式|f（x）|＜2的解集為（﹣3，1）．【解答】解：由不等式|f（x）|＜2，得到：﹣2＜f（x）＜2，又因?yàn)閒（x）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（﹣3，2）和（1，﹣2），所以f（﹣3）=2，f（1）=﹣2，所以f（1）＜f（x）＜f（﹣3），又f（x）在區(qū)間（﹣∞，+∞）上為減函數(shù)，∴x∈（﹣3，1），故答案為：（﹣3，1）4．若f（x）={(x-1)2;x≥0x+1;x＜0，則f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（﹣∞，0），[1，+∞），單調(diào)減區(qū)間是【解答】解：函數(shù)的圖象為：則當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=（x﹣1）2，對(duì)稱軸為x=1，則當(dāng)0≤x≤1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)x≥1時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，0），[1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為[0，1]，故答案為：（﹣∞，0），[1，+∞）；[0，1]5．已知函數(shù)f（x）=&x+a，(x≥0)&ax+2a-1，(x＜0)在（﹣∞，+∞）上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【解答】解：當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x+a在[0，+∞）上是遞增的，∴f（x）≥f（0）=a；當(dāng)x＜0時(shí)，由f（x）=ax+2a﹣1在（﹣∞，0）上也是遞增的知，a＞0，且f（x）＜2a﹣1．又∵f（x）在（﹣∞，+∞）上是增函數(shù)，∴2a﹣1≤a，解得a≤1．綜上，0＜a≤1．故答案為：0＜a≤1．6．若函數(shù)f（x）=&logax+a，x＞1&(2-a3)x+2，x≤1【解答】解：由分段函數(shù)f（x）=&logax+a可得&a＞1&2-可得3≤a＜6，則a的取值范圍是[3，6）．故答案為：[3，6）．7．函數(shù)f（x）=|2x+4|+5的單調(diào)增區(qū)間為[﹣2，+∞）．【解答】解：函數(shù)f（x）=|2x+4|+5=&-2x+1故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[﹣2，+∞），故答案為：[﹣2，+∞）8．函數(shù)y=x|x﹣3|的單調(diào)減區(qū)間為(32【解答】解：y=x|x-3|={xx≥3時(shí)，y=x2﹣3x單調(diào)遞增，x＜3時(shí)，y=﹣x2+3x在（-∞，32∴原函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為(3故答案為：(39．（2017秋?興隆臺(tái)區(qū)校級(jí)月考）函數(shù)f（x）=-x2+3x+4的單調(diào)遞減區(qū)間為[32，【解答】解：函數(shù)f（x）=-x設(shè)t=﹣x2+3x+4，由t≥0，可得﹣1≤x≤4，則函數(shù)y=t，由t=﹣x2+3x+4在[﹣1，32]遞增，[32，4而y=t在[0，+∞）遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：同增異減，可得函數(shù)f（x）=-x2+3x+4的單調(diào)遞減區(qū)間為[32故答案為：[32，4]10．已知f（x+1）=﹣x2+1，則f（x）=2x﹣x2，y=1f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，2【解答】解：f（x+1）=﹣x2+1，令x+1=t，可得x=t﹣1，則f（t）=1﹣（t﹣1）2=2t﹣t2，則f（x）=2x﹣x2；y=1f(x)=由2x﹣x2＞0，解得0＜x＜2，定義域?yàn)椋?，2），且f（x）的對(duì)稱軸為x=1，所以內(nèi)函數(shù)f(x)在（0，1）單調(diào)遞增，（1，2）單調(diào)遞減，又外函數(shù)y=1f(x)在（0，根據(jù)復(fù)合函數(shù)“同增異減”，原函數(shù)y=12x-x2的單調(diào)增區(qū)間為（1故答案為：2x﹣x2；（1，2）．11．函數(shù)f（x）=x2x-1的單調(diào)遞減區(qū)間是[0，1），（1，2]【解答】解：f'(x)=x解f′（x）≤0得，0≤x＜1，或1＜x≤2；∴原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是[0，1），（1，2]．故答案為：[0，1），（1，2]．12．設(shè)函數(shù)f（x）=&1，x＞0&0，x=0&-1，x＜0，g（x）=x2f（x﹣1【解答】解：f(x-1)={1∴g(x)={x∴g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[0，1）．故答案為：[0，1）．13．已知函數(shù)f（x）=&x2+x，x≥0&x-x2，x＜0，若f（a）＞f（【解答】解：函數(shù)f（x）=&x2+x∵f（a）＞f（2﹣a），∴a＞2﹣a，∴a＞1，故答案為a＞114．若函數(shù)f（x）=&-x+3a，x≥0&x2-ax+1，x＜0是（﹣∞，+∞）上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)【解答】解：由題意，∵f（x）在R上是減函數(shù)，∴x＜0時(shí)f（x）=x2﹣ax+1，其過(guò)定點(diǎn)（0，1），且x＜0時(shí)是減函數(shù)，∴對(duì)稱軸x=a2≥0，又∵x≥0時(shí)，f（x）=﹣x+3a，是減函數(shù)，且在R上是減函數(shù)，∴3a≤1，②又①②得0≤a≤1315．已知函數(shù)f(x)=&-x2-ax-5，(x≤1)&ax(x＞1)是R【解答】解：要使函數(shù)在R上為增函數(shù)，須有f（x）在（﹣∞，1]上遞增，在（1，+∞）上遞增，且-1所以有&-a2≥1&a＜0&-1故a的取值范圍為[﹣3，﹣2]．故答案為：[﹣3，﹣2]．16．已知函數(shù)f（x）=ax+1x+2在（﹣2，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（﹣∞，12【解答】解：由題意可得，當(dāng)x＞﹣2時(shí)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=a(x+2)-(ax+1)(x+2)2=2a-1(x+2)解得a≤12，但當(dāng)a=12時(shí)，f（x）=故a的范圍是（﹣∞，12故答案為：（﹣∞，12二．解答題（共6小題）17．已知f（x）是定義在（﹣2，2）上的減函數(shù)，并且f（m﹣1）﹣f（1﹣2m）＞0，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．【解答】解：∵f（x）在（﹣2，2）上是減函數(shù)∴由f（m﹣1）﹣f（1﹣2m）＞0，得f（m﹣1）＞f（1﹣2m）∴&-2＜m-1解得-1∴m的取值范圍是（﹣1218．已知函數(shù)f（x）=x+2x，判斷f（x）在（0，【解答】解：函數(shù)f（x）=x+2x在（0，下面證明這個(gè)判斷：證明：任取x1，x2∈（0，2），且x1＜x2f（x1）﹣f（x2）=x1+2x1﹣（x2+2x2）=（x1∵＜0x1＜x2＜2，∴x1﹣x2＜0，0＜x1x2＜2，∴x1x2﹣2＜0，∴(x1-∴f（x1）﹣f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，2）上是減函數(shù)．19．用單調(diào)性定義證明函數(shù)f（x）=x+2x-1在（1，+∞【解答】解：?1＜x1＜x2≤+∞，則f（x1）﹣f（x2）=x1+2x1-1∵1＜x1＜x2＜+∞，∴x1﹣1＞0，x2﹣1＞0，x1x2＞0，x2﹣x1＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0．∴f（x1）＞f（x2）．∴f（x）=在（1，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)．20．已知函數(shù)f(x)=8x-（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的最值．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)u=8x﹣x2，則y=u．由u=8x﹣x2≥0解得0≤x≤8，故函數(shù)的定義域?yàn)閇0，8]由于二次函數(shù)u=8x﹣x2=﹣（x﹣4）2+16的對(duì)稱軸為x=4，當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，u是x的增函數(shù)，故y是增函數(shù)．當(dāng)x∈[4，8]時(shí)，u是x的減函數(shù)，故y是減函數(shù)．故函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[0，4]，單調(diào)遞減區(qū)間是[4，8]．（Ⅱ）由8x﹣x2=0求得x=0，或x=8，所以，當(dāng)x=0，或x=8時(shí)，fmin（x）=0；當(dāng)x=4時(shí)，umax=16，這時(shí)fmax21．函數(shù)f（x）=﹣x2+2（a﹣3）x+4a﹣1在[1，+∞）上是減函數(shù)，求a的取值范圍．【解答】解：f（x）=﹣x2+2（a﹣3）x+4a﹣1=﹣[x﹣（a﹣3）]2+（a﹣3）2+4a﹣1，∵函數(shù)f（x）=﹣x2+2（a﹣3）x+4a﹣1在