湖南省湘潭市留田中學高一數學文聯考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.某班共有人參加數學、物理、化學興趣小組，其中參加數學興趣小組的有人，參加化學興趣小組的有人，參加物理興趣小組的有人，同時參加數學、物理興趣小組的有人，參加數學、化學興趣小組的有人，三個興趣小組都參加的有人。問同時參加化學、物理興趣小組的有幾人？

（

）A.3

B.4

C.5

D.6參考答案：A2.已知等差數列{an}的前n項和Sn滿足且，則下列結論錯誤的是（）A.和均為Sn的最大值B.C.公差D.參考答案：D試題分析：由可得,故,且,所以且和均為的最大值,故應選D.考點：等差數列的前項和的性質及運用.3.如圖，水平放置的三棱柱的側棱長和底邊長均為2，且側棱，正視圖是邊長為2的正方形，該三棱柱的側視圖面積為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B4.設集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}滿足A?B，則實數a的取值范圍是（）A．[2，+∞） B．（﹣∞，1] C．[1，+∞） D．（﹣∞，2]參考答案：A【考點】集合的包含關系判斷及應用．【分析】根據真子集的定義、以及A、B兩個集合的范圍，求出實數a的取值范圍．【解答】解：由于集合A={x|1＜x＜2}，B={x|x＜a}，且滿足A?B，∴a≥2，故選A．5.已知三棱錐中，底面為邊長等于2的等邊三角形，垂直于底面，=1，那么直線與平面所成角的正弦值為

A.

B.

C.

D.參考答案：A略6.數列{an}定義為：a1=cosθ，an+an+1=nsinθ+cosθ，n≥1，則S2n+1等于（

）（A）ncosθ+n(n+1)sinθ

（B）(n+1)cosθ+n(n+1)sinθ（C）(n+1)cosθ+(n2+n–1)sinθ

（D）ncosθ+(n2+n–1)sinθ參考答案：B7.在區間上隨機取一個數，使的值介于到1之間的概率為A.

B.

C.

D.參考答案：B略8.若點為圓的弦AB的中點，則弦AB所在直線的方程為(

)A. B.C. D.參考答案：B【分析】根據圓心和弦的中點的連線與弦所在的直線垂直,求出弦所在直線的斜率,再代入點斜式化為一般式.【詳解】化為標準方程為.∵為圓的弦的中點,∴圓心與點確定的直線斜率為,∴弦AB所在直線的斜率為1，∴弦AB所在直線的方程為,即.故選:B.【點睛】本題考查了圓心和弦的中點的連線與弦所在的直線垂直,以及直線的點斜式,屬于基礎題,難度較易.9.如圖，一個幾何體的三視圖是三個直角三角形，則該幾何體的最長的棱長等于（）A．2 B．3 C．3 D．9參考答案：B【考點】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖知該幾何體是一個三棱錐，由三視圖求出幾何元素的長度、判斷出線面的位置關系，由圖判斷出幾何體的最長棱，由勾股定理求出即可．【解答】解：由三視圖知幾何體是一個三棱錐P﹣ABC，直觀圖如圖所示：PC⊥平面ABC，PC=1，且AB=BC=2，AB⊥BC，∴AC=，∴該幾何體的最長的棱是PA，且PA==3，故選：B．10.設α是第三象限角，化簡：=（）A．1 B．0 C．﹣1 D．2參考答案：C【考點】三角函數的化簡求值．【分析】原式利用單項式乘以多項式法則計算，再利用同角三角函數間基本關系化簡，結合角的范圍即可得到結果．【解答】解：∵α是第三象限角，可得：cosα＜0，∴=﹣，∵cos2α+cos2αtan2α=cos2α+cos2α?=cos2α+sin2α=1．∴=﹣1．故選：C．【點評】此題考查了同角三角函數基本關系的運用，熟練掌握基本關系是解本題的關鍵，屬于基礎題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數y＝的定義域為

．參考答案：12.在等差數列中,，則=_________.參考答案：13.已知向量集合={|=（1，2）+（3，4），∈R}，={|=（-2，-2）+（4，5），∈R}，則=__________。參考答案：（-2，-2）略14.設全集U=R，A=，則A∩（?UB）=．參考答案：{x|2＜x≤4}【考點】交、并、補集的混合運算．【分析】解不等式求出集合A、B，根據補集與交集的定義寫出A∩（?UB）．【解答】解：全集U=R，A={x|＜1}={x||x﹣1|＞1}={x|x＜0或x＞2}；B={x|x2﹣5x+4＞0}={x|x＜1或x＞4}，∴?UB={x|1≤x≤4}，∴A∩（?UB）={x|2＜x≤4}．故答案為：{x|2＜x≤4}．15.已知△ABC的內角B＝60°，且AB＝1，BC＝4，則邊BC上的中線AD的長為________。參考答案： 16.計算__________．參考答案：．17.已知函數圖象的對稱中心與函數圖象的對稱中心完全相同，且當時，函數取得最大值，則函數的解析式是

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知f（x）是定義在[﹣1，1]上的奇函數，且f（1）=1，若a，b∈[﹣1，1]，a+b≠0時，有成立．（Ⅰ）判斷f（x）在[﹣1，1]上的單調性，并證明；（Ⅱ）解不等式：f（2x﹣1）＜f（1﹣3x）；（Ⅲ）若f（x）≤m2﹣2am+1對所有的a∈[﹣1，1]恒成立，求實數m的取值范圍．參考答案：見解析【考點】函數恒成立問題．【專題】計算題；規律型；函數思想；轉化思想；函數的性質及應用．【分析】（Ⅰ）任取x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，利用函數的單調性的定義證明f（x）在[﹣1，1]上單調遞增．（Ⅱ）利用f（x）在[﹣1，1]上單調遞增，列出不等式組，即可求出不等式的解集．（Ⅲ）問題轉化為m2﹣2am≥0，對a∈[﹣1，1]恒成立，通過①若m=0，②若m≠0，分類討論，判斷求解即可．【解答】解：（Ⅰ）任取x1，x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，則﹣x2∈[﹣1，1]，∵f（x）為奇函數，∴f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）=?（x1﹣x2），…由已知得＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．∴f（x）在[﹣1，1]上單調遞增．…（Ⅱ）∵f（x）在[﹣1，1]上單調遞增，∴…∴不等式的解集為．…（Ⅲ）∵f（1）=1，f（x）在[﹣1，1]上單調遞增．∴在[﹣1，1]上，f（x）≤1．問題轉化為m2﹣2am+1≥1，即m2﹣2am≥0，對a∈[﹣1，1]恒成立．…下面來求m的取值范圍．設g（a）=﹣2m?a+m2≥0．①若m=0，則g（a）=0≥0，對a∈[﹣1，1]恒成立．②若m≠0，則g（a）為a的一次函數，若g（a）≥0，對a∈[﹣1，1]恒成立，必須g（﹣1）≥0且g（1）≥0，∴m≤﹣2或m≥2．綜上，m=0或m≤﹣2或m≥2…【點評】本題考查函數的單調性的判斷與應用，函數恒成立的應用，考查計算能力．19.（本小題滿分13分）已知A、B、C為△ABC的三內角，且其對邊分別為a、b、c.若,，且.⑴求角A的大小；

⑵若a＝2，三角形面積S＝，求b+c的值.參考答案：解：⑴

∵，，且·＝，∴－cos2＋sin2＝，即－cosA＝，

又A∈(0，?)，∴A＝??

⑵

S△ABC＝bc·sinA＝b·c·sin?＝，∴bc＝4,

又由余弦定理得：a2=b2+c2－2bc·cos120°＝b2+c2+bc,

∴16＝(b+c)2，故b+c＝4.

略20.如圖，在三棱錐S﹣ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS=AB，點E、F、G分別是棱SA、SB、SC的中點．求證：（1）平面EFG∥平面ABC；（2）BC⊥平面SAB．參考答案：【考點】平面與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）證明EF∥平面ABC，EG∥平面ABC，即可證明平面EFG∥平面ABC；（2）證明AF⊥平面SBC，可得AF⊥BC．又因為AB⊥BC，即可證明BC⊥平面SAB．【解答】證明：（1）因為F是SB的中點．又因為E是SA的中點，所以EF∥AB．因為EF?平面ABC，AB?平面ABC，所以EF∥平面ABC．同理EG∥平面ABC．又EF∩EG=E，所以平面EFG∥平面ABC．…（2）因為F是SB的中點，AS=AB，所以AF⊥SB…因為平面SAB⊥平面SBC，且交線為SB，又AF?平面SAB，所以AF⊥平面SBC．又因為BC?平面SBC，所以AF⊥BC．又因為AB⊥BC，AF∩AB=A，AF，AB?平面SAB，所以BC⊥平面SAB．…21.已知，，，且，其中.(1)若與的夾角為60°，求k的值；(2)記，是否存在實數k，使得對任意的恒成立?若存在，求出實數k的取值范圍；若不存在，請說明理由.參考答案：(1)；(2)．【分析】(1)由兩邊平方得，，展開即可求出k的值；(2)根據，可求出，再將變形為，設，然后解不等式組，即可求出實數k的取值范圍．【詳解】(1)由得，，因為，所以，即，解得．(2)由(1)可知，，所以，變形為，設，所以對任意的恒成立，即有，，解得．【點睛】本題主要考查數量積的運算以及不等式恒成立問題的解法，意在考查學生的轉化能力和數學運算能力，屬于中檔題．22.設y1=loga（3x+1），y2=loga（﹣3x），其中a＞0且a≠1．（Ⅰ）若y1=y2，求x的值；

（Ⅱ）若y1＞y2，求x的取值范圍．參考答案：【考點】對數函數圖象與性質的綜合應用．【專題】函數的性質及應用．【分析】（1）由y1=y2，即loga（3x+1）=loga（﹣3x），可得3x+1=﹣3x，由此求得x的值，檢驗可得結論．（2）分當0＜a＜1時、和當a＞1時兩種情況，分別利用對數函數的定義域及單調性，化為與之等價的不等式組，從而求得原不等式的