廣東省江門市陳經綸中學2022-2023學年高二數學理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知、為雙曲線C:的左、右焦點，點P在C上，∠=，則=（

）A．2

B．4

C．6

D．8參考答案：B略2.對有n(n≥4)個元素的總體進行抽樣，先將總體分成兩個子總體和(m是給定的正整數，且2≤m≤n-2),再從每個子總體中各隨機抽取2個元素組成樣本.用表示元素i和j同時出現在樣本中的概率，則=

;所有(1≤i＜j≤的和等于

.(

)A．,1

B．,6

C．,1

D．,6參考答案：B略3.已知A，B，P是雙曲線上的不同三點，且AB連線經過坐標原點，若直線PA，PB的斜率乘積，則該雙曲線的離心率e=（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】設出點的坐標，求出斜率，將點的坐標代入方程，兩式相減，再結合，即可求得結論．【解答】解：由題意，設A（x1，y1），P（x2，y2），則B（﹣x1，﹣y1）∴kPA?kPB=，A，B代入兩式相減可得=，∵，∴=，∴e2=1+=，∴e=．故選：B．4.入射光線沿直線射向直線：，被直線反射后的光線所在直線方程是（

）A、

B、

C、

D、參考答案：A5.已知離散型隨機變量服從二項分布～且，則與的值分別為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A試題分析：由二項分布的數學期望和方差公式可得,解之得,故應選A.考點：二項分布的數學期望和方差公式的運用.6.．用反證法證明：“至少有一個為0”，應假設A．沒有一個為0

B．只有一個為0

C．至多有一個為0

D．兩個都為0參考答案：A略7.如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱線長為1，線段B1D1上有兩個動點E，F，且EF=，則下列結論中錯誤的是（）A．AC⊥BEB．EF∥平面ABCDC．三棱錐A﹣BEF的體積為定值D．異面直線AE，BF所成的角為定值參考答案：D【考點】棱柱的結構特征．【分析】利用證線面垂直，可證AC⊥BE；判斷A正確；根據正方體中上下面平行，由面面平行的性質可證，線面平行，從而判斷B正確；根據三棱錐的底面面積與EF的位置無關，高也與EF的位置無關，可判斷C正確；例舉兩個特除位置的異面直線所成的角的大小，根據大小不同判斷D錯誤．【解答】解：∵在正方體中，AC⊥BD，∴AC⊥平面B1D1DB，BE?平面B1D1DB，∴AC⊥BE，故A正確；∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，EF?平面A1B1C1D1，∴EF∥平面ABCD，故B正確；∵EF=，∴△BEF的面積為定值×EF×1=，又AC⊥平面BDD1B1，∴AO為棱錐A﹣BEF的高，∴三棱錐A﹣BEF的體積為定值，故C正確；∵利用圖形設異面直線所成的角為α，當E與D1重合時sinα=，α=30°；當F與B1重合時tanα=，∴異面直線AE、BF所成的角不是定值，故D錯誤；故選D．8.若雙曲線=1與橢圓=1（m＞b＞0）的離心率之積等于1，則以a，b，m為邊長的三角形一定是（）A．等腰三角形 B．鈍角三角形 C．銳角三角形 D．直角三角形參考答案：D【考點】雙曲線的簡單性質；橢圓的簡單性質．【分析】求出橢圓與雙曲線的離心率，利用離心率互為倒數，推出a，b，m的關系，判斷三角形的形狀．【解答】解：∵雙曲線=1的離心率e1==，橢圓=1的離心率e2==，由e1?e2=1，即?=1，∴a2m2=（a2+b2）（m2﹣b2）∴a2+b2=m2故選D．9.經過函數y=﹣圖象上一點M引切線l與x軸、y軸分別交于點A和點B，O為坐標原點，記△OAB的面積為S，則S=（）A．8 B．4 C．2 D．1參考答案：B【考點】利用導數研究曲線上某點切線方程．【分析】利用導數可求得切線l的斜率及方程，從而可求得l與兩坐標軸交于A，B兩點的坐標，繼而可求△OAB的面積．【解答】解：設M（x0，y0）為曲線y=﹣上任一點，則y0=﹣．∵y=﹣，∴y′=，設過曲線y=﹣上一點M的切線l的斜率為k，則k=，∴切線l的方程為：y+=（x﹣x0），∴當x=0時，y=﹣，即B（0，﹣）；當y=0時，x=2x0，即A（2x0，0）；∴S△OAB=|OA|?|OB|=×|2x0|?|﹣|=4．故選：B．10.已知點、分別是雙曲線的左、右焦點，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于、兩點，若為銳角三角形，則該雙曲線的離心率的取值范圍是

A.

B.

C.（1，2）

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知實數滿足，，則函數無極值的概率是

．參考答案：略12.球面上有十個圓，這十個圓可將球面至少分成

個區域，至多分成

個區域。參考答案：11，9213.已知數列{}的前項和，則其通項_____________；若它的第滿足，則_____________

參考答案：2n-10

;:

8略14.設是直線上的點，若對曲線上的任意一點恒有，則實數的取值范圍是

.參考答案：15.等比數列的前項和=，則=_______.參考答案：16.已知兩定點A（-2，0），B（1，0），如果動點P滿足|PA|=2|PB|，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于____________．參考答案：略17.黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規律拼成若干個圖案，則第2016個圖案中的白色地面磚有

參考答案：8066【考點】F1：歸納推理．【分析】通過觀察前幾個圖形中正六邊形地面磚的個數得，每一個圖形中的正六邊形地面磚個數都可以看成是一個等差數列的項，再利用等差數列的通項公式即可解決問題．【解答】解：第1個圖案中有白色地面磚6塊；第2個圖案中有白色地面磚10塊；第3個圖案中有白色地面磚14塊；…設第n個圖案中有白色地面磚n塊，用數列{an}表示，則a1=6，a2=10，a3=14，可知a2﹣a1=a3﹣a2=4，…可知數列{an}是以6為首項，4為公差的等差數列，∴an=6+4（n﹣1）=4n+2，n=2016時，a2016=8066．故答案為：8066．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）某高中有高級教師96人，中級教師144人，初級教師48人，為了進一步推進高中課程改革，邀請甲、乙、丙、丁四位專家到校指導。學校計劃從所有教師中采用分層抽樣辦法選取6名教師分別與專家一對一交流，選出的6名教師再由專家隨機抽取教師進行教學調研。（1）求應從高級教師、中級教師、初級教師中分別抽取幾人；（2）若甲專家選取了兩名教師，這兩名教師分別是高級教師和中級教師的概率；（3）若每位專家只抽一名教師，每位教師只與其中一位專家交流，求高級教師恰有一人被抽到的概率。參考答案：（1）從高級教師、中級教師、初級教師中分別抽數目之比為：96:144:48=2:3:1得：從高級教師、中級教師、初級教師中分別抽數目分別為2,3,1…………2分.（2）設抽取的6人中高級教師為，中級教師為，初級教師為；則甲抽取2兩名教師所有可能的結果為：，，，，，，，，，，，，，共種；其中甲抽取到一名高級教師和一名中級教師結果為：，，，，共6種所以甲抽取到一名高級教師和一名中級教師的概率為…………7分.（3）抽取4名教師所有可能的結果為,,,,,其中高級教師恰有一人被抽到的結果有8種，則高級教師恰有一人被抽到的概率是19.已知函數在取得極值。

（Ⅰ）確定的值并求函數的單調區間;（Ⅱ）若關于的方程至多有兩個零點，求實數的取值范圍。參考答案：解（Ⅰ）因為，所以因為函數在時有極值

，

所以，即

得

,經檢驗符合題意，所以

所以

令，

得，或當變化時，變化如下表：

單調遞增↗極大值單調遞減↘極小值單調遞增↗

所以的單調增區間為，；的單調減區間為。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當時，有極大值，并且極大值為；當時，有極小值，并且極小值為；結合函數的圖象，要使關于的方程至多有兩個零點，則的取值范圍為略20.近年來，我國大力發展新能源汽車工業，新能源汽車（含電動汽車）銷量已躍居全球首位.某電動汽車廠新開發了一款電動汽車，并對該電動汽車的電池使用情況進行了測試，其中剩余電量y與行駛時間x（單位：小時）的測試數據如下：x12345678910y2.7721.921.361.121.090.740.680.530.45

如果剩余電量不足0.7，則電池就需要充電.（1）從10組數據中選出9組作回歸分析，設X表示需要充電的數據組數，求X的分布列及數學期望；（2）根據電池放電的特點，剩余電量y與時間x工滿足經驗關系式：，通過散點圖可以發現x與y之間具有相關性.設，利用表格中的前9組數據求相關系數r，并判斷是否有99%的把握認為x與之間具有線性相關關系.（當相關系數r滿足時，則認為99%的把握認為兩個變量具有線性相關關系）；（3）利用x與的相關性及前9組數據求出y與工的回歸方程.（結果保留兩位小數）附錄：相關數據：，，，.前9組數據的一些相關量：合計4512.211.55604.382.43－15.55－11.98

相關公式：對于樣本.其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，，相關系數.參考答案：（1）見解析；（2）有的把握認為與之間具有線性相關關系；（3）.【分析】（1）根據題知隨機變量的可能取值為、，利用古典概型概率公式計算出和時的概率，可列出隨機變量的分布列，由數學期望公式可計算出；（2）根據相關系數公式計算出相關系數的值，結合題中條件說明由的把握認為變量與變量有線性相關關系；（3）對兩邊取自然對數得出，設，由，可得出，利用最小二乘法計算出關于的回歸直線方程，進而得出關于的回歸方程.【詳解】（1）組數據中需要充電的數據組數為組.的所有可能取值為、.，.的分布列如下：

；（2）由題意知，，有的把握認為與之間具有線性相關關系；（3）對兩邊取對數得，設，又，則，，易知，.，，所求的回歸方程為，即.【點睛】本題考查隨機變量分布列與數學期望、相關系數的計算、非線性回歸方程的求解，解題時要理解最小二乘法公式及其應用，考查計算能力，屬于中等題.21.（16分）如圖，一個圓環O直徑為4m，通過鐵絲CA1，CA2，CA3，BC（A1，A2，A3是圓上三等分點）懸掛在B處，圓環呈水平狀態，并距天花板2m，記四段鐵絲總長為y（m）．（1）按下列要求建立函數關系：（?。┰O∠CA1O=θ（rad），將y表示為θ的函數，并寫出函數定義域；（ⅱ）設BC=x（m），將y表示為x的函數，并寫出函數定義域；（2）請你選用（1）中的一個函數關系，求鐵絲總長y的最小值．（精確到0.1m，取=1.4）參考答案：22.（本小題滿分12分）設.

（1）求的單調區間；（2）求在的最