2012高教社杯全國大學生數學建模競賽承諾書我們仔細閱讀了中國大學生數學建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們授權全國大學生數學建模競賽組委會，可將我們的論文以任何形式進行公開展示（包括進行網上公示，在書籍、期刊和其他媒體進行正式或非正式發(fā)表等）。（隱去論文作者相關信息等）賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2012高教社杯全國大學生數學建模競賽編號專用頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：基于遞歸算法的建筑外表面光伏電池布局優(yōu)化分析與設計摘要本文主要研究的是設計太陽能小屋時，根據相關數據，一方面選擇光伏電池和逆變器、確定光伏電池組件分組陣列、另一方面選擇最優(yōu)傾斜角，確定最佳朝向，從而最大化發(fā)電總量，同時最小化單位發(fā)電量費用的問題。針對問題一：首先確定最優(yōu)化目標為總利潤。通過運用直散分離原理和Hay模型，得到小屋各個表面實際接收的光照強度；將各表面隔離分析，由題目所給數據可得北墻和東墻利潤為負，故予以排除；在此基礎上，進一步對電池板作優(yōu)先級排序，然后將原問題歸納為無約束二維剪切排樣問題，構造基于貪心原則的遞歸算法，運用C程序編程解決問題，得到電池板的原始鋪設方案。而針對存在障礙物（如窗戶、門）的表面，分別采用分割子區(qū)間和扣除重補的方法，得到最佳方案，計算得35年總發(fā)電量為46.3萬千瓦時，每單位發(fā)電量成本為0.405元/千瓦時，投資將在27.5年時回收。針對問題二：利用上文提到的Hay模型，得到以傾斜角s為自變量的斜面實際輻射強度的函數表達式，通過建立無約束最優(yōu)化問題的模型，用Matlab解出最優(yōu)傾斜角為31.6°，即為使斜面受到最大光照輻射的傾斜角度。通過對各時刻年均水平面總輻射強度進行三次樣條插值處理，找出大同市一天中輻射最強的峰值時刻，利用最佳朝向經驗公式，解出最佳朝向為正南偏西4°48′。然后，根據問題一的相關結論，得出最佳鋪排方案，求得總發(fā)電量為54.2萬千瓦時，每單位發(fā)電量成本為0.381元/千瓦時，投資回收年限為25.6年。針對問題三：根據附件7給出的建筑要求，并考慮前兩問的結論，設計出一個新的小屋，運用AutoCAD和SketchUp繪制出四立面圖和透視圖。采用問題一的程序鋪設電池板，得出最佳方案,其中總發(fā)電量為71.3萬千瓦時，每單位發(fā)電量成本為0.392元/千瓦時，回收期限為26.5年。關鍵詞：光伏組件Hay模型無約束二維剪切排樣遞歸算法無約束最優(yōu)化三次樣條插值

1.問題的重述與分析1.1問題的重述隨著人類科技和社會的逐漸發(fā)展，越來越多的人開始意識到清潔能源和可持續(xù)發(fā)展的重要性，因此，采用太陽能電池板自供電的小屋應運而生。這種太陽小屋不僅將太陽能轉化成電能供給家用電器，還能將多余的部分輸入電網；不僅具有一定的經濟意義，還能很大程度上解決電力資源稀缺的問題。在搭建這類小屋時，研究光伏電池在小屋外表面的優(yōu)化鋪設是很重要的問題，這也是問題一、二中的主要難點。因為每種型號的電池各自參數不同，而且，還需要逆變器將直流電轉換成220V的交流電才能供家庭使用。所以在實際中，我們需要考慮光伏電池搭配和逆變器選擇方案，使小屋的全年太陽能光伏發(fā)電總量盡可能大，單位發(fā)電量的費用盡可能小，并計算出小屋光伏電池35年壽命期內的發(fā)電總量、經濟效益和投資的回收年限。而在問題三中，還要根據附件7給出的小屋建筑要求，為大同市重新設計一個小屋，畫出小屋的外形圖，并為之優(yōu)化鋪設光伏電池，給出鋪設及分組連接方式，選配逆變器，計算相應結果。1.2問題的分析總的來說，光伏電池的優(yōu)化鋪設問題，就是考慮如何最大化總發(fā)電量，同時最小化每單位發(fā)電量的成本的二維矩形下料布局問題。針對問題一：在光能的利用方面，需要考慮諸多因素的影響，如太陽輻射強度、光線入射角、環(huán)境、建筑物所處的地理緯度、地區(qū)的氣候與氣象條件、安裝部位及方式（貼附或架空）等。另外家庭用電量的多少，逆變器是否裝在室外也是需要考慮的問題。而要解決這一問題，我們的思路是：提取相關氣象數據，轉化為光伏電池表面實際接收到的光能。確定目標變量。將小屋這個主體拆分成5個對象進行隔離篩選。根據各型號電池板的相關參數，進行優(yōu)先級排序。編寫C程序，采用遞歸算法求解電池板型號和數目。鋪設電池板，選擇逆變器，優(yōu)化結果針對問題二：需要考慮架空的含義；考慮東西南北四面墻上的電池板是否也要架空處理；以及屋頂上的電池板之間的距離、朝向。而且在這一題中，最佳朝向和最優(yōu)傾角是兩個必須首先解決的問題，只有清楚了這兩個關鍵，我們才能設計出架空處理情況下的最優(yōu)鋪設。我們的相應思路是：基于問題1的相關結果求出最優(yōu)傾角。根據相關資料，求出最佳朝向。分析架空含義，給出有效的鋪設結構運用問題1的相關結論，解出最優(yōu)鋪設方案。針對問題三：需要考慮附件7中的相關參數要求；需要考慮如何設計可以最有利與鋪設電池板；需要參考問題1和問題2中已有結論。問題3本質上來說是問題1和問題2結論結果的再利用、再檢驗。我們的思路如下：參考問題1、問題2中結論，根據附件7設計小屋結構。根據小屋結構，運用結論，最優(yōu)化鋪設。2.假設與符號說明2.1假設假設1：未來的35年間山西省大同市太陽輻射強度與附件4所給典型氣象年的逐時參數及個方向輻射強度情況相同。假設2：太陽小屋的周圍環(huán)境因素（如溫度、天氣）對光伏電池板的效率無影響。假設3：光伏電池自帶蓄電池，即輸入功率大于額定功率時，可將多余的太陽能儲存，在太陽輻射較小時放出，無能量浪費。假設4：逆變器安裝在室內，不占用外墻面積。而且不同表面的電池不能共用一臺逆變器。假設5：考量投資年限時，不考慮折現(xiàn)率。假設6：家庭用電很小可忽略不計，將所有太陽能發(fā)電量均視作流入電網。假設7：為了簡化起見，小屋東西南北四面外墻實際接收的太陽輻射均直接采用附件4中相應數據。假設8：在架空處理中，可以用支撐桿將光伏電池的四個角都架起來，即電池板的四個頂點可以不接觸小屋表面。2.2符號說明太陽赤緯角時角太陽高度角山西省大同市地理緯度太陽水平面總輻射強度太陽直射輻射強度太陽法向直射輻射強度太陽水平面散射輻射強度傾斜面上總輻射強度傾斜面上地面反射輻射強度傾斜面上散射輻射強度傾斜面上太陽直射輻射強度傾斜面上太陽直射輻射強度與法向直射輻射強度之比光伏電池板傾角地物表面反射率，取值8%太陽常數修正系數一年中的天數，從1月1日開始記序太陽常數，取值1367W/3.模型與求解3.1問題一根據問題分析中所述思路，展開問題一的建模與求解。3.1.1獲得有效光強數據光伏電池是將光能轉化為電能的元件，因此要計算最大發(fā)電量，必須先獲得小屋各個表面收到光照的強度數據。根據假設7，小屋的東西南北墻的光照強度直接采用附件4中相應的東南西北向總輻射強度數據。而屋頂作為一個斜面，附件中并沒有給出相應數據，因此需要我們自己進行一些處理。李榮玲在《個性化的平面太陽能接收器件最優(yōu)安裝角度研究》【1】中提到了一些有效地將水平面輻射強度轉化為傾斜面輻射強度的模型和公式，在下面的轉化工作中我們將多次引用。首先，根據附件6，我們可以得到一系列非常有用的變量，如太陽赤緯角、太陽高度角和時角。其次在水平面上，根據直散分離原理，總輻射等于直接輻射和散射輻射之和，并沒有地面反射輻射。而直接輻射等于法向直接輻射與該時刻的太陽高度角的正弦值之積。具體如下式：，（1）式中為太陽水平面總輻射強度，為太陽直射輻射強度，為法向直射輻射強度，為太陽高度角，為太陽水平面散射輻射強度。然而，到了傾斜面場合中，太陽輻射總量等于地面反射輻射強度、散射輻射強度和太陽直射輻射強度之和。因為此時地面的反射可以到達斜面上。（2）式中為太陽直射輻射強度為傾斜面上總輻射強度，為傾斜面上太陽直射輻射強度，為傾斜面上散射輻射強度，為傾斜面上地面反射輻射強度。下面是式中各部分的計算：1）傾斜面上太陽直射輻射強度引入參數，其所代表的意義為傾斜面上太陽直射輻射強度與水平面上直射輻射強度之比（3）（4）其中，s為屋頂的傾角，為太陽緯度角，為傾斜面上的日落時角，為水平面上的日落時角，為大同市的緯度。而傾斜面上的日落時角可用如下公式進行計算：（5）因此，由和水平面上直射輻射強度作積，即可得到傾斜面上太陽直射輻射強度。2）傾斜面上地面反射輻射強度其計算表達式為：（6）其中，為水平面上總輻射量，為地物表面反射率，這里我們取反射率為8%。3）傾斜面上散射輻射強度對于傾斜面上的直射強度和地面反射強度，大多數的模型的算法都是相同的，唯一不同的就在于散射輻射強度的計算。一般來說，有五種采用各向異性觀點的模型——Tamps-Coulson,Perez，Hay，Klucker和Bugler都能很好地解決這一問題.而Hay模型更適用于南面朝向的屋頂。因此我們使用的也是Hay模型來求解傾斜面上散射輻射強度。Hay模型認為傾斜面上散射輻射強度由太陽光盤的輻射量和天空中均勻分布的散射輻射量兩部分組成，具體公式如下：（7）其中為太陽直射輻射強度，為太陽水平面散射輻射強度，為大氣層外水平面上的輻射總量。（8）其中是太陽常數【2】，這里取值1367W/，為太陽常數修正系數。n為一年中天數、綜上所述，求傾斜面上的太陽輻射總量公式綜合為：（9）運用公式9，整理附件4中的第2至第4列數據，代入計算可得山西省大同市一年365天，每天24時刻的傾斜角為0.185rad的斜面的太陽輻射總量。全部結果請見【附件包】。這里僅摘取1月3日的作為例子呈現(xiàn)：表1：傾斜面太陽輻射總量處理結果舉例時刻（度）（W/）（W/）0-22.84-0.9311.4553740.720.0001-22.84-0.8611.4553740.720.0002-22.84-0.7491.4553740.720.0003-22.84-0.6031.4553740.720.0004-22.84-0.4321.4553740.720.0005-22.84-0.2501.4553740.720.0006-22.84-0.0681.4553740.720.0007-22.840.1021.4553740.720.0008-22.840.2481.4553740.728.2649-22.840.3601.4553740.72187.64310-22.840.4311.4553740.72405.92111-22.840.4551.4553740.72471.02612-22.840.4311.4553740.72361.16613-22.840.3601.4553740.72389.94914-22.840.2481.4553740.72233.49415-22.840.1021.4553740.72170.45316-22.84-0.0681.4553740.72-41.84517-22.84-0.2501.4553740.720.01718-22.84-0.4321.4553740.720.00019-22.84-0.6031.4553740.720.00020-22.84-0.7491.4553740.720.00021-22.84-0.8611.4553740.720.00022-22.84-0.9311.4553740.720.00023-22.84-0.9551.4553740.720.000（資料來源：附件4）正如上表所示，1月3日16時的值為負。這是因為在附件4所給數據中，水平面總輻射量中沒有給出天空散射的部分，因此在太陽低于地表面時，總輻射量為正，但法向直射輻射與散射輻射均為確定最優(yōu)化目標求最大化總發(fā)電量，同時最小化每單位發(fā)電量的成本的多目標規(guī)劃問題，有多種解決思路。我們這里采用將多目標規(guī)劃轉化為單目標規(guī)劃的方法。即分析兩者關系，得出一個同時關系著兩者的新的目標變量。于是根據總發(fā)電量和每單位發(fā)電量的費用，我們可以得到銷售電力的總收入以及總成本。具體過程見下式：，其中Y為總收入，TC為總成本，Q為總發(fā)電量，p為電價，AC為每單位發(fā)電量的費用。由此可得，總利潤R為：所以如果要同時最大化總發(fā)電量和最小化每單位的發(fā)電成本，則總利潤也將最大化。反過來說雖然不成立，但是總利潤最大化，也可以視作題目要求的“全年太陽能光伏發(fā)電總量盡可能大，而單位發(fā)電量的費用盡可能小”得到了滿足。因此我們可以選擇總利潤作為我們最終優(yōu)化的目標變量。3.1.3隔離篩選由于在小屋的不同表面上，所有型號的電池都不能進行串、并聯(lián)連接，即各表面的鋪設互相沒有影響；而且，我們的最終優(yōu)化目標是總利潤。顯然各表面之間的利潤無聯(lián)系。因此我們可以把小屋的5個表面分離開來進行單個分析。這樣一來，問題也將變得相對簡單。利用隔離分析法，我們可以首先排除安裝在北面墻壁的情況。因為，正如上文所說，要使得總利潤最大，那么必須滿足在每面墻上安裝的光伏電池都能至少盈利。而北向作為光照強度最小的一個面，所有型號的光伏電池如果在上面安裝的話，即使是未來35年的總發(fā)電收入都將小于它目前的成本價格。通過Excel計算相關數據得到下表:：表2：北面墻安裝各型號電池的利潤表型號價格（元）面積(m2)單位價格（元/）北面單位收益（元/）北面單位利潤（元/）A13203.501.282509.32350.11-2159.22A24842.501.942498.20345.95-2152.25A32980.001.282334.25388.77-1945.48A44023.001.642456.36343.04-2113.32A53650.501.642232.52311.44-1921.08A64395.501.942267.60314.14-1953.46B13312.501.642025.81337.01-1688.80B24000.001.942063.56340.75-1722.81B32625.001.471785.54332.23-1453.31B43000.001.631844.02307.69-1536.33B53500.001.941803.80332.23-1471.57B63687.501.941900.43316.01-1584.42B73125.001.671873.50311.64-1561.86C1480.001.43335.66267.72-67.94C2278.400.94296.41236.32-60.10C3480.001.58304.72243.21-61.51C4432.001.54280.52223.68-56.84C5480.001.54311.69248.57-63.11C619.200.11174.47139.03-35.43C719.200.11173.44139.03-34.41C838.400.22175.88140.18-35.70C957.600.33176.36140.18-36.18C1057.600.29198.35158.18-40.17C11240.001.17204.91163.55-41.37（資料來源：附件三）雖然上表中只考慮了光伏電池本身的成本（一塊電池板的價格為每峰瓦價格與組件功率之積），并未考慮逆變器的成本。而且未考慮附件3中提及的弱光照強度下，光伏電池效率的降低。不過盡管在成本已經縮小、收入已經擴大的情況下，各型號電池在北向的收入仍遠小于成本。由此說明北面光照強度太小，不適合安裝光伏電池。而東墻、西墻、南墻和屋頂均存在有利潤為正的電池型號。因此接下來只需考慮東墻、西墻、南墻和屋頂的電池鋪設布局。而進一步考慮了逆變器的成本以后，我們發(fā)現(xiàn)，東墻的成本也將超過收入。經計算，東墻的有效使用面積為24.23（包括上方三角形區(qū)域，去除下方門形區(qū)域），而在東墻擁有最大單位面積利潤的是C1型號電池板，為301.41元/。這樣一來，兩者之積即為東墻的最大可能利潤，約為7303元。由此，只能選擇型號為SN1、SN2、SN3、SN4、SN11、SN12的逆變器，才能保證東墻的總利潤為正。然后我們可以根據這六種逆變器的每單位功率的費用，與之前保持利潤為正的型號電池的每單位功率利潤相比較，若前者大于后者，即可判定東墻虧損。結果如下表所示：表3：各型號電池每單位功率利潤與逆變器每單位功率的費用比較電池型號每單位功率利潤（元/W）逆變器單位功率費用（元/W）SN1SN2SN3SN4SN11SN12C14.3107.2505.6255.6254.3135.6254.313C24.306C34.316C44.308C54.309C64.302C74.356C84.303C94.279C104.309C114.316（資料來源：附件三、附件五）由上表可得，SN1、SN2、SN3與SN11的單位功率費用遠超過電池的利潤，因此可以排除。而雖然C3、C7和C11還可以負擔SN4與SN12的費用，但是由于這里假設的是逆變器一直滿負荷運轉，所以實際情況的費用還將更高一些，因此也可以予以排除。綜上所述，由于成本大于收入，在之后的優(yōu)化布局的過程中，我們可以不予考慮東墻和北墻。3.1.4優(yōu)先級排序為了下一步編程的方便性與有效性，為了在設計鋪設的時候能夠確定優(yōu)先使用何種類型的電池板，我們在這一階段做了篩選排序的工作。因為優(yōu)化的最終目標是小屋的總利潤最大，而面積相對一定時，越大的單位面積利潤就可以導致更大的利潤。因此我們的排序依據就是每種類型的光伏電池的單位面積利潤。下表列出東面、西面、南面與屋頂的排序結果。各型號的具體單位面積利潤詳見【附錄】。表4：東面、西面、南面與屋頂的排序結果優(yōu)先級序號南面東面西面屋頂1C1C1C1A32C5C5C5B33B3C3C3B54C3C2C2B25B5C4C4B16C2C11C11B67C4C10C10B78A3C8C8B49B1C7C9A110B2C9C7A411B6C6C6A212B7B3B3C113B4B5B5C514C11B4B4A515C10B7B7A616C8B6B6C317C9B1B1C218C7B2A3C419C6A3B2C1120A1A5A5C1021A4A6A6C822A5A4A4C923A2A1A1C724A6A2A2C6（資料來源：附錄）有了這樣一個優(yōu)先級順序，我們算法的目標、步驟和標準就有了依據，編程的思路就更加清晰。這樣一來可以利用遞歸算法編寫C程序，利用計算機的力量解決這一問題。3.1.5算法與編程如果不考慮門窗等障礙物，就可以將光伏電池布局問題歸結為經典的矩形毛料無約束二維剪切排樣問題【3】：將L×W切成m種毛料，第i種毛料尺寸為li×wi，價值為fi，1≤i≤m。排樣目標為板材所含毛料總價值最大，其中每種毛料在板材中出現(xiàn)的次數無約束，并且所有剪切均與矩形的長或寬平行。排樣問題屬于一類組合優(yōu)化問題，由于備選排樣方式所形成的集合很大，具有極高的計算復雜度，精確搜索通常只適用于小規(guī)模排樣問題。因此采用基于貪心原則的遞歸算法求解該問題。設電池板方向固定，建立遞歸式。設Lmin=電池板的最小邊長，并以各自的長與寬x×y重新命名每種型號的電池板。記F(x,y)為給定墻面上x×y大小區(qū)域的的利潤。將電池板li×wi放在板塊的左下角，然后用一條剪切線沿其上邊界或右邊界，將板塊中的剩余區(qū)域分成2個小版塊。其中對電池板li×wi的枚舉順序基于貪心原則，即單位面積的利潤越大，越優(yōu)先枚舉，優(yōu)先排樣。并且對于每塊電池板li×wi，存在水平放置和豎直放置兩種狀態(tài)，同樣納入考慮。設兩種分割方式所得排樣方式的總利潤分別為FWi和FLi，則，因此有遞歸式：算法偽代碼如下：設遞歸函數RectFun(x,y)返回值為給定墻面上x×y大小區(qū)域的的利潤。Step1：令F(x,y)=0，若x<Lmin或y<Lmin，則轉Step6。Step2：若所有電池板嘗試已完成，則轉Step6。Step3：若x<正在枚舉的電池板的長或y<正在枚舉的電池板的寬，則轉Step5。Step4：令，，并且比較兩種切割方法，得，并轉Step6。Step5：基于貪心原則嘗試下一塊電池板，其中包括水平放置和豎直放置兩種形態(tài)，轉Step2。Step6：返回F(x,y)。詳細C語言代碼見【附錄】運行C程序，容易得出了西墻和屋頂的電池板原始的鋪設方案。然而，南墻上有一扇門與兩扇窗戶，而且其中一扇窗戶是呈圓形，直接鋪設勢必得不到可行解。因此我們需要采取分割子區(qū)域的方法，針對障礙物，對南墻進行分區(qū)，分成三塊子區(qū)域（含圓形窗戶的灰色矩形區(qū)、門上的綠色矩形區(qū)和含方形窗戶的藍色矩形區(qū)），再分別運用上述算法：圖1：南墻分區(qū)示意圖運行上述程序。最后得到包含型號與相對應的數量兩方面的結果。詳見下表：表5：屋頂、西墻和南墻原始方案表屋頂西墻南墻型號A3C8C10C1C2C6C8C10C1C2C6C7C10數量489288413283261（資料來源：附件包）3.1.6優(yōu)化、選擇與結果呈現(xiàn)由于西墻上無障礙物，因此原始方案即為最佳方案。，根據電池型號和數量，不難得出西墻上光伏電池的鋪設方案，如下圖所示：而針對南墻考慮，原始方案只是得出沒有考慮逆變器時的最優(yōu)電池板安排。而考慮了逆變器以后，單位面積上的成本就會增加，而且某些型號由于功率過小，會導致逆變器的功率浪費，從而間接地增加成本，例如C6。因此，我們人工地分出對型號與數量進行了相對的調整，得出了相對最優(yōu)的最終方案：表6：南墻最終方案表南墻型號C1C2C10數量2810最后對于屋頂，采用扣除重補的方法，在原始方案的基礎上，除去覆蓋到天窗的那些電池板，然后再按優(yōu)先級使用面積小的電池板，充填剩余的空白區(qū)域，得到最優(yōu)解：表7：屋頂最終方案表屋頂型號A3C10數量438綜上所述，問題一中的電池板鋪設與逆變器選擇問題就得到了解決。然后就可以得出總發(fā)電量、每單位發(fā)電量費用、總成本和回收年限等經濟效應數據。其中，由于前10年、第11至25年、26至35年的轉化效率不一，因此在求回收年限時需分段判斷。本方案的相關數據見下表：表8：問題一最終經濟效益表平面器件型號數量成本（元）年收益（元）南立面C123763.2384.2C28C1010SN1114500西立面C186355.2550.12C28C64C81C103SN1216900SN112900屋頂A343128600.86410.6C108SN6230000SN314500總成本（元）187519.2總年收益（元）7344.9235年總收益（元）23136535年總利潤(元)43845.78總發(fā)電量（千瓦時）462729.96每單位發(fā)電量成本（元/千瓦時）0.405回收年限（年）27.53．2問題二問題2考慮的是在架空處理下的最優(yōu)化鋪設問題，此時我們需要先考慮最優(yōu)傾角和最佳朝向。然后根據這兩者來確定架空的模式與結構，最后得出最優(yōu)鋪設方案。3.2.1最優(yōu)傾角傾斜角的大小直接關系到光伏電池接收到的實際輻射強度的大小。而最優(yōu)傾角的定義，就是能使電池板接收到最大光照強度的角度。因此，我們的目標就是以傾斜角s作為自變量，最大化傾斜面總輻射強度，然后求出使之達到最大值時的s的值。首先，s與的關系可以用公式9來描述：即可以表示為關于s的一元簡單函數。那么接下來所處理的就是一個無約束最優(yōu)化問題，即求一元簡單函數最大值的問題，我們將利用Matlab中的fminbnd函數處理【4】。它的數學原理就是采用一維搜索的方法，解單變量的無約束最優(yōu)化問題。雖然這個函數是求最小值的，但是我們可以先將的表達式兩邊取負，則此時它的最小值就是的最大值。另外，在使用附件4的數據時，還要考慮附件3和附件1中提到的A、C組的太陽光輻照閥值的特殊情況。我們以最低輻射強度200W/為例。首先在matlab中創(chuàng)立一個M文件，將方程9輸入進去，具體代碼詳見【附件包】中“CUMCM_Q2_bestangle.m”。然后調用fminbnd函數：x=fminbnd(@CUMCM_Q2_bestangle,0,90)然后得到問題的解：x=31.6076最后即可得到三種情況的計算結果。如下表所示，在山西省大同市的最優(yōu)傾斜角為31.63°0.02°，大于太陽小屋自身屋頂的傾斜角度。表9：三種約束情況下的最佳傾角PV電池類型最低輻射強度限值（W/）最佳傾角（°）A單晶硅電池20031.6076B多晶硅電池8031.6522C薄膜電池3031.6536注：A單晶硅的最低輻射量限制綜合參考了附件1和附件3；B多晶硅電池、C薄膜電池的最低輻射量限制參考了附件1。（資料來源：附件四）3.2.2最佳朝向光伏電池方陣的朝向用方位角來描述，即方陣的垂直面與正南方向的夾角（偏東設定為負角度，偏西設定為正角度）。一般而言，朝向正南（即方陣垂直與正南的夾角為0°）時，光伏電池方陣發(fā)電量最大。然而，在晴朗的夏天，太陽輻射能量的最大時刻在中午稍后，因此光伏電池方陣的方位稍微向西偏一些時，在午后時刻可以獲得最大發(fā)電功率。影響朝向設置的制約因素很多，于此，我們希望通過已有數據，獲得最大發(fā)電功率時的朝向。道客巴巴在線文檔分享平臺的一份文檔提到【5】，若將方位角調整到一天中負荷的峰值時刻和發(fā)電峰值時刻一致時，可達到最大發(fā)電功率的目標，并可參考下述最佳朝向經驗公式，方位角=（一天中負荷的峰值時刻（24小時制）-12）×15°+（當地經度-116°）。就一年而言，每天負荷的峰值時刻不盡相同，因此由附件4統(tǒng)計t時刻年均水平面總輻射強度，統(tǒng)計結果如下表：表10：t時刻年均水平面總輻射強度表時刻t012345t時刻年均水平面總輻射強度（W/㎡）000000.24時刻t67891011t時刻年均水平面總輻射強度（W/㎡）16.5269.97171.24300.75424.14504.76時刻t121314151617t時刻年均水平面總輻射強度（W/㎡）544.96546.88493.02404.69293.68164.21時刻t181920212223t時刻年均水平面總輻射強度（W/㎡）67.1114.840.167000注意到部分時刻年均水平面總輻射強度為0，選取時刻5到時刻20的數據導入TableCurve2D自動曲線擬合與方程式估計系統(tǒng)，對數據進行三次樣條插值【6】，即對于一系列形值點，通過求解三彎矩方程組得出曲線函數組，從而形成一條光滑曲線。具體插值結果如下圖：由插值后結果，將一天中負荷的峰值時刻=12.5代入上述公式，并結合附件6關于大同經度的數據，(12.5-12)×15°+(113°18′-116°)=4°48′，因此得到最佳朝向為正南偏西4°48′。3.2.3架空處理得到最優(yōu)傾斜角與最佳朝向之后，將其運用到最優(yōu)化鋪設中，因此需要對電池板進行架空處理。而屋頂的架空處理一般分為兩種，一種是對單塊電池板進行架空，要求每塊電池板至少有一個頂點接觸房屋表面；第二種是對多塊電池板一起架空，如下圖所示，即對每塊電池板四個角進行支撐，允許電池板四個頂點均脫離表面。考慮第一種架空方式，雖然可以使每塊電池板的傾斜角和朝向均達到最優(yōu)，但是隨著太陽從峰值位置逐漸下落，會產生電池板之間的相互遮擋問題，降低光能轉化效率。但是第二種方式就可以避免這種問題，所有的電池板可以鋪成一個平面，則在一天中的任何時候都不會有陰影產生，同時，這種架空方式也可以保證每塊板達到最優(yōu)傾角和最佳朝向，而且受光照面積也較大。最后，由于假設7，這里不考慮東西南北四面墻的架空處理。3.2.3結果呈現(xiàn)由上文得，問題二中東西南北四面墻的鋪設方案與問題一相同。由于最佳朝向為正南偏西4°48′，所以電池板陣列東面的支撐桿要稍長于西面的支撐桿，但是由于偏離的角度很小，因此屋頂仍可以看做是一個矩形，按問題一中的遞歸算法進行求解。得到以下結果：表11：問題二最終經濟效益表平面器件型號數量成本（元）年收益（元）南立面C123763.2384.2C28C1010SN1114500西立面C186355.2550.12C28C64C81C103SN1216900SN112900屋頂B335140309.47672A315C16C21C1010SN314500SN8115300SN15122000總成本（元）206527.8總年收益（元）8606.3235年總收益（元）271099.135年總利潤(元)64571.28總發(fā)電量（千瓦時）542198.2每單位發(fā)電量成本（元/千瓦時）0.381回收年限（年）25.63．3問題三問題三要解決的是設計一個新的小屋，并為這個小屋鋪設最優(yōu)的光伏電池的問題。因此我們首先要構建一個滿足建筑要求的小屋。3.3.1構建小屋小屋的設計有兩個關鍵因素，一是附件7中的建筑要求，二是上文中得出的結論。如何既滿足設計要求，又能有利于電池板最優(yōu)鋪設問題的求解，是十分值得考慮的問題。針對每面墻的各型號電池板優(yōu)先級列表，我們將小屋的每面墻設計成恰好能鋪設整數塊最優(yōu)電池板的大小。而屋頂的傾角也十分接近問題2中得出的最優(yōu)傾角。另外我們選擇全部采用貼附安裝的方式，使得電池板的傾斜角即為最優(yōu)傾角。具體信息如下：建筑屋頂最高點距地面高度為5.4m，滿足小于5.4m的建筑要求，而其傾斜角為30.6°；室內使用空間最低凈空高度距地面高度為2.976m，滿足大于2.8m的建筑要求；建筑總投影面積包括（挑檐、挑雨棚的投影面積）為14.6×4.1+2.6×1.2=62.98㎡，滿足小于74㎡的建筑要求；建筑平面體型長邊為14.6米，滿足小于15m，最短邊4.1m，滿足大于3m；窗地比和窗墻比數據如下表，滿足建筑要求：表12：小屋建筑信息表面積計算步驟開窗面積（）墻寬（m）墻高（m）窗墻比東立面1.9×1.4262.7094.12.9760.222南立面1.5×0.992×22.97614.62.9760.068西立面1.9×1.4262.7094.12.9760.222北立面3×0.9922.97614.62.9760.068屋頂1.65×1.62.640總開窗面積(）14.011房屋地板面積(）59.86窗地比0.234綜上所述，小屋的全部參數滿足附件7所給的全部要求。而下面分別是用AutoCAD制作的小屋的四立面圖和由SketchUp生成的小屋立體透視圖：圖2：小屋立體透視圖圖3：小屋的四立面圖3.3.2最優(yōu)化鋪設構建了新的小屋之后，運用問題一的相關結論，可以很方便地得出以下結果：表13：問題三最終經濟效益表平面器件型號數量成本（元）年收益（元）南立面B32258306.82447.87C22SN15122000西立面C162880241.6SN1114500屋頂A3521549608623.17SN6115000SN15122000總成本（元）279646.8總年收益（元）11312.6435年總收益（元）356348.235年總利潤(元)76701.36總發(fā)電量（千瓦時）712696.3每單位發(fā)電量成本（元/千瓦時）0.392回收年限（年）26.5而具體的光伏電池組件陣列圖和連接方式限于篇幅，不在此呈現(xiàn)，詳細請見【附錄】。4.模型優(yōu)化與改進4.1算法改進基于貪心原則的遞歸算法得到的都是局部最優(yōu)解，并非全局最優(yōu)解，但是時間開銷較小，在數據規(guī)模不太大的情況下是較為有效的方法。對于一般的矩形毛料無約束二維剪切排樣問題，若毛料的長寬存在適當的公約數，可以作為邊長對矩形板材進行網格化處理，從而減小數據規(guī)模。當問題數據規(guī)模較小時，可以考慮精確搜索各種組合優(yōu)化的情況，從而得到最優(yōu)解；當問題數據規(guī)模較大時，由于這是一個NP-hard問題，精確搜索的運算量過于大，多采用基于某種原則的近似算法，比如我們采用的基于貪心原則的遞歸算法，也可采用最優(yōu)化理論的三大非經典算法，模擬退火、神經網絡以及遺傳算法【7】進行改進，從而有效降低運算量。然而實際生活中，理想的矩形毛料無約束二維剪切排樣問題較少，經常出現(xiàn)一些障礙物。本篇對障礙物多采用人工分區(qū)局部優(yōu)化的辦法，因為在遞歸算法中，障礙物相對板材的位置隨著不斷的切割，一直在發(fā)生變化，甚至可能出現(xiàn)障礙物被切分的情況，因此難于有效滿足障礙物的約束。因此，可引進人工智能的思想，使計算機程序可根據板材上障礙物的性質模擬人工分區(qū)實時更新策略，盡可能滿足障礙物的約束。4.1投資折現(xiàn)率在考慮上文中的投資回報期限時，我們假設折現(xiàn)率為零，因此未來每年的現(xiàn)金流入的價值就等于其現(xiàn)值。但是在實際生活中，由于銀行利息以及通貨膨脹等因素的影響，要求投資者考慮對其未來的收入進行一個折現(xiàn)，這樣才能真正體現(xiàn)其未來收入的現(xiàn)時價值。因此，我們在模型的改進中進入內部收益率概念，以此來衡量該投資決策的匯報速度。內部收益率指的是使未來的現(xiàn)金流入的現(xiàn)值等于目前現(xiàn)金流出的折現(xiàn)率，若內部收益率大于現(xiàn)行銀行存款利率，則說明該投資的回收期限較短，反之，則說明該投資回收較慢，收益率甚至不如銀行存款。為了求出內部收益率r，我們根據年金公式列出方程，如下：其中，調用Matlab中主要用于求解代數方程的solve函數求解，具體調用格式如下：solve('7344.9/x*(1-1/((1+x)^10))+6610.4/x*((1/((1+x)^10))-(1/((1+x)^25)))+5876/x*((1/((1+x)^25))-(1/((1+x)^35)))-187519.2')得到多個解，其中只有一組實數解，為1.28%，因此在問題一的情況下，該投資的內部收益率為1.28%，小于一年期存款利率3.3%，因此，可以說該投資的回收期限較長。5.參考文獻【1】李榮玲，個性化的平面太陽能接收器件最優(yōu)安裝角度研究[D]，東華大學，2009，14頁-21頁【2】禹秉熙，方偉，姚海順等，神舟3號飛船上太陽輻射測量[J]，空間科學學報，24（2）：123-191.2004.【3】崔耀東，黃健民，張顯全，矩形毛料無約束二維剪切排樣的遞歸算法[J]，計算機輔助設計與圖形學學報，07:948-951,2006【4】蘇金明，劉波，張蓮花等，Matlab工具箱應用[M]，北京：電子工業(yè)出版社，2004，199頁-201頁【5】道客巴巴，太陽能板的安裝角度計算方式，/p-291945520472.html，2012-09-09【6】百度百科，三次樣條插值，/view/2326225.htm，2012-9-9【7】百度文庫，數學建模競賽中應當掌握的十類算法，/view/4b9a5ceef8c75fbfc77db283.html，2012-09-10【8】DavidG.Luenberger,InvestmentScience[M]，北京，中國人民大學出版社，2005，29頁-31頁附錄附錄一：各型號電池板單位面積利潤型號單位價格（元）南面利潤（元/）北面利潤（元/）東面利潤（元/）西面利潤（元/）屋頂利潤（元/）A12509.32163.41-2159.22-1123.76-441.361306.39A22498.20142.78-2152.25-1129.10-454.801272.19A32334.25633.68-1945.48-795.66-37.891902.90A42456.36162.41-2113.32-1098.77-430.151282.31A52232.52145.00-1921.08-999.99-392.971161.74A62267.60130.56-1953.46-1024.38-412.081156.12B12025.81546.93-1688.80-692.08-35.211647.15B22063.56537.74-1722.81-715.03-50.861650.18B31785.54750.69-1453.31-470.74176.811835.30B41844.02504.93-1536.33-626.31-26.581509.45B51803.80732.44-1471.57-489.00158.551817.05B61900.43512.01-1584.42-649.80-33.861543.68B71873.50505.61-1561.86-640.16-32.721523.02C1335.66813.04-67.94301.41608.061270.90C2296.41717.54-60.10265.93536.601121.69C3304.72738.81-61.51274.02552.591154.75C4280.52679.20-56.84251.74507.941061.74C5311.69754.85-63.11279.82564.531179.96C6174.47422.07-35.43156.38315.62659.85C7173.44423.10-34.41157.40316.65660.87C8175.88425.58-35.70157.69318.25665.32C9176.36425.11-36.18157.21317.78664.85C10198.35480.35-40.17178.06359.24750.88C11204.91496.80-41.37184.26371.58776.50附錄三：問題3的結果基于C8051F單片機直流電動機反饋控制系統(tǒng)的設計與研究基于單片機的嵌入式Web服務器的研究MOTOROLA單片機MC68HC（8）05PV8/A內嵌EEPROM的工藝和制程方法及對良率的影響研究基于模糊控制的電阻釬焊單片機溫度控制系統(tǒng)的研制基于MCS-51系列單片機的通用控制模塊的研究基于單片機實現(xiàn)的供暖系統(tǒng)最佳啟停自校正（STR）調節(jié)器單片機控制的二級倒立擺系統(tǒng)的研究基于增強型51系列單片機的TCP/IP協(xié)議棧的實現(xiàn)基于單片機的蓄電池自動監(jiān)測系統(tǒng)基于32位嵌入式單片機系統(tǒng)的圖像采集與處理技術的研究基于單片機的作物營養(yǎng)診斷專家系統(tǒng)的研究基于單片機的交流伺服電機運動控制系統(tǒng)研究與開發(fā)基于單片機的泵管內壁硬度測試儀的研制基于單片機的自動找平控制系統(tǒng)研究基于C8051F040單片機的嵌入式系統(tǒng)開發(fā)基于單片機的液壓動力系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)測儀開發(fā)模糊Smith智能控制方法的研究及其單片機實現(xiàn)一種基于單片機的軸快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制基于雙單片機沖床數控系統(tǒng)的研究基于CYGNAL單片機的在線間歇式濁度儀的研制基于單片機的噴油泵試驗臺控制器的研制基于單片機的軟起動器的研究和設計基于單片機控制的高速快走絲電火花線切割機床短循環(huán)走絲方式研究基于單片機的機電產品控制系統(tǒng)開發(fā)基于PIC單片機的智能手機充電器基于單片機的實時內核設計及其應用研究基于單片機的遠程抄表系統(tǒng)的設計與研究基于單片機的煙氣二氧化硫濃度檢測儀的研制基于微型光譜儀的單片機系統(tǒng)單片機系統(tǒng)軟件構件開發(fā)的技術研究基于單片機的液體點滴速度自動檢測儀的研制基于單片機系統(tǒng)的多功能溫度測量儀的研制基于PIC單片機的電能采集終端的設計和應用基于單片機的光纖光柵解調儀的研制氣壓式線性摩擦焊機單片機控制系統(tǒng)的研制基于單片機的數字磁通門傳感器基于單片機的旋轉變壓器-數字轉換器的研究基于單片機的光纖Bragg光柵解調系統(tǒng)的研究單片機控制的便攜式多功能乳腺治療儀的研制基于C8051F020單片機的多生理信號檢測儀基于單片機的電機運動控制系統(tǒng)設計Pico專用單片機核的可測性設計研究基于MCS-51單片機的熱量計基于雙單片機的智能遙測微型氣象站MCS-51單片機構建機器人的實踐研究基于單片機的輪軌力檢測基于單片機的GPS定位儀的研究與實現(xiàn)基于單片機的電液伺服控制系統(tǒng)用于單片機系統(tǒng)的MMC卡文件系統(tǒng)研制基于單片機的時控和計數系統(tǒng)性能優(yōu)化的研究基于單片機和CPLD的粗光柵位移測量系統(tǒng)研究單片機控制的后備式方波UPS提升高職學生單片機應用能力的探究基于單片機控制的自動低頻減載裝置研究基于單片機控制的水下焊接電源的研究基于單片機的多通道數據采集系統(tǒng)基于uPSD3234單片機的氚表面污染測量儀的研制基于單片機的紅外測油儀的研究96系列單片機仿真器研究與設計基于單片機的單晶金剛石刀具刃磨設備的數控改造基于單片機的溫度智能控制系統(tǒng)的設計與實現(xiàn)基于MSP430單片機的電梯門機控制器的研制基于單片機的氣體測漏儀的研究基于三菱M16C/6N系列單片機的CAN/USB協(xié)議轉換器基于單片機和DSP的變壓器油色譜在線監(jiān)測技術研究基于單片機的膛壁溫度報警系統(tǒng)設計基于AVR單片機的低壓無功補償控制器的設計基于單片機船舶電力推進電機監(jiān)測系統(tǒng)基于單片機網絡的振動信號的采集系統(tǒng)基于單片機的大容量數據存儲技術的應用研究基于單片機的疊圖機研究與教學方法實踐基于單片機嵌入式Web服務器技術的研究及實現(xiàn)基于AT89S52單片機的通用數據采集系統(tǒng)基于單片機的多道脈沖幅度分析儀研究機器人旋轉電弧傳感角焊縫跟蹤單片機控制系統(tǒng)基于單片機的控制系統(tǒng)在PLC虛擬教學實驗中的應用研究基于單片機系統(tǒng)的網絡通信研究與應用基于PIC16F877單片機的莫爾斯碼自動譯碼系統(tǒng)設計與研究基于單片機的模糊控制器在工業(yè)電阻爐上的應用研究基于雙單片機沖床數控系統(tǒng)的研究與開發(fā)基于Cygnal單片機的μC/OS-Ⅱ的研究基于單片機的一體化智能差示掃描量熱儀系統(tǒng)研究HYPERLINK"/detail.htm?36731