1.3正方形的性質與判定第一章特殊平行四邊形第二課時正方形的判定學習目標1）探索并證明正方形的判定，并了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯系和區(qū)別。2）能根據正方形的判定條件進行有關論證和計算。重點探索并證明正方形的判定，并了解平行四邊形、矩形、菱形之間的聯系和區(qū)別。難點能根據正方形的判定條件進行有關論證和計算。【提問】什么是正方形？正方形有哪些性質？正方形概念：有一組鄰邊相等，并且有一個角是直角的平行四邊形.正方形性質：①四個角都是直角;

②四條邊都相等; ③對角線相等且互相垂直平分；④既是中心對稱圖形也是軸對稱圖形.【提問】結合之前所學，如何判斷四邊形是平行四邊形、矩形、菱形？平行四邊形矩形菱形四邊形三個角是直角四條邊相等定義四個判定定理定義對角線相等定義對角線垂直思考

怎樣判定一個四邊形是正方形呢？根據正方形的定義,可得正方形的第一個判定的方法：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫正方形。【思考】還有其它的判定方法嗎？ABCD【思考】矩形怎樣變化后就成了正方形呢？你有什么發(fā)現？正方形【思考】菱形怎樣變化后就成了正方形呢？你有什么發(fā)現？鄰邊相等一個角是直角有一組鄰邊相等的矩形是正方形。有一個角是直角的菱形是正方形。如何判定一個四邊形是正方形呢？判定一個四邊形為正方形的主要依據是定義，途徑有兩條：1）先證它是矩形，再證它有一組鄰邊相等。2）先證它是菱形，再證它有一個角為直角。如圖，將一張矩形紙片對折兩次，然后剪下一個角，打開。怎樣才能剪出一個正方形？滿足什么條件的矩形是正方形？滿足什么條件的菱形是正方形？請證明你的結論。平行四邊形矩形正方形菱形一個角是直角一組鄰邊相等有一組鄰邊相等有一個角是直角對角線相等對角線相互垂直有一組鄰邊相等且有一個角是直角正方形判定方法2：有一組鄰邊相等的矩形是正方形。已知：四邊形ABCD是矩形，且AB=BC，證明：四邊形ABCD是正方形。證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=∠A=∠A=∠A=90°，AB=CD，AD=BC又∵AB=BC，∴AB=BC=CD=AD∴ABCD是正方形正方形判定方法3：有一個角是直角的菱形是正方形。已知：四邊形ABCD是菱形，∠A=90°，證明：四邊形ABCD是正方形.證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴四邊形ABCD是平行四邊形，AB=AD又∵∠A=90°，∴四邊形ABCD是正方形。正方形判定方法4：對角線互相垂直的矩形是正方形。已知：四邊形ABCD是矩形，AC⊥DB。求證：四邊形ABCD是正方形。ABCDO證明：∵四邊形ABCD是矩形,∴四邊形ABCD是平行四邊形，∠ADC=90°∵AC⊥DB,∴四邊形ABCD是菱形,而∠ADC=90°∴四邊形ABCD是正方形已知：四邊形ABCD是菱形，AC=BD，證明：四邊形ABCD是正方形。證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴

四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BC又∵AC=BD，∴四邊形ABCD是矩形,而AB=BC∴四邊形ABCD是正方形正方形判定方法5：對角線相等的菱形是正方形。正方形判定的幾條途徑：正方形正方形++先判定菱形先判定矩形矩形條件菱形條件一個直角，一組鄰邊相等，對角線相等對角線垂直平行四邊形正方形一組鄰邊相等且有一個角是直角==例1在正方形ABCD中，點E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．四邊形EFMN是正方形嗎?為什么?證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA，∠A=∠B=∠C=∠D=90°.∵AE=BF=CM=DN，∴AN=BE=CF=DM.在△AEN、△BFE、△CMF、△DNM中，

AE=BF=CM=DN,∠A=∠B=∠C=∠D,

AN=BE=CF=DM,∴△AEN≌△BFE≌△CMF≌△DNM,例1在正方形ABCD中，點E、F、M、N分別在各邊上，且AE=BF=CM=DN．四邊形EFMN是正方形嗎?為什么?∴EN=FE=MF=NM，∠ANE=∠BEF,∴四邊形EFMN是菱形，

∠NEF=180°－（∠AEN+∠BEF）=180°－（∠AEN+∠ANE）

=180°－90°=90°.∴四邊形EFMN是正方形.例2如圖,在矩形ABCD中,

BE平分∠ABC,CE平分∠DCB,BF∥CE,CF∥BE.求證：四邊形BECF是正方形.證明:∵BF∥CE,CF∥BE，

∴四邊形BECF是平行四邊形.∵四邊形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,

∠DCB=90°,

∵BE平分∠ABC,

CE平分∠DCB,∴∠EBC=45°,

∠ECB=45°,

∴∠EBC=∠

ECB.∴EB=EC

∴四邊形BECF是菱形.在△EBC中∵∠EBC=45°,∠ECB=45°∴∠BEC=90°∴菱形BECF是正方形

3.如圖，四邊形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，請?zhí)砑右粋€條件____________________，可得出該四邊形是正方形．AB=BC(答案不唯一)ABCDO4.已知四邊形ABCD是平行四邊形，再從①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四個條件中，選兩個作為補充條件后，使得四邊形ABCD是正方形，其中錯誤的是_________________（只填寫序號）．②③或①④證明：∵四邊形ABCD為正方形,∴OB=OC,∠ABO=∠BCO=45°,∠BOC=90°=∠COH+∠BOH.∵EG⊥FH,∴∠BOE+∠BOH=90°,∴∠COH=∠BOE,∴△CHO≌△BEO,∴OE=OH.同理可證：OE=OF=OG,BACDOEHGF5.如圖，EG,FH過正方形ABCD的對角線的交點O,且EG⊥FH.求證：四邊形EFGH是正方形.BACDOEHGF5.如圖，EG,FH過正方形ABCD的對角線的交點O,且EG⊥FH.求證：四邊形EFGH是正方形.∴OE=OF=OG=OH.又∵EG⊥FH,∴四邊形EFGH為菱形.∵EO+GO=FO+HO

,即EG=HF,∴四邊形EFGH為正方形.6.如圖，△ABC中，D是BC上任意一點，DE∥AC，DF∥AB．①試說明四邊形AEDF的形狀，并說明理由．②連接AD，當AD滿足什么條件時，四邊形AEDF為菱形，為什么？解：①∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF為平行四邊形.②∵四邊形AEDF為菱形，∴AD平分∠BAC，則AD平分∠BAC時，四邊形AEDF為菱形.6.如圖，△ABC中，D是BC上任意一點，DE∥AC，DF∥AB．③在②