2022-2023學年河南省新鄉(xiāng)市凱杰學校高三數(shù)學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知，向量與垂直，則實數(shù)的值為（

）A．

B．3

C．

D．參考答案：C略2.設(shè)點是曲線上的動點，且滿足，則的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A考點：1、橢圓的定義；2、兩點間距離公式、直線方程及不等式的性質(zhì).3.已知集合,則A.{1,2}

B.{1}

C.{－1,2}

D.{－1,1,2}參考答案：D4.已知全集U=R，A={y|y=2x+1}，B={x|lnx＜0}，則（?UA）∩B=(

)A．? B．{x|＜x≤1} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}參考答案：D考點：補集及其運算；交集及其運算．專題：計算題．分析：本題求集合的交集，由題設(shè)條件知可先對兩個集合進行化簡，再進行交補的運算，集合A由求指數(shù)函數(shù)的值域進行化簡，集合B通過求集合的定義域進行化簡解答：解：由題意A={y|y=2x+1}={y|y＞1}，B={x|lnx＜0}={x|0＜x＜1}，故CUA={y|y≤1}∴（CUA）∩B={x|0＜x＜1}故選D點評：本題考查補集的運算，解題的關(guān)鍵是理解掌握集合的交的運算與補的運算，運用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的知識對兩個集合進行化簡，本題是近幾年高考中的常見題型，一般出現(xiàn)在選擇題第一題的位置考查進行集合運算的能力5.復數(shù)是實數(shù)，則實數(shù)等于（A）2

（B）1

（C）0

（D）-1 參考答案：D【考點】復數(shù)乘除和乘方【試題解析】若是實數(shù)，則6.設(shè)a，b是互不垂直的兩條異面直線，則下列命題成立的是（）A．存在唯一平面α，使得a?α，且b∥αB．存在唯一直線l，使得l∥a，且l⊥bC．存在唯一直線l，使得l⊥a，且l⊥bD．存在唯一平面α，使得a?α，且b⊥α參考答案：A【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)判斷，或舉出反例．【解答】解：對于A，在a上任取一點A，過A作b′∥b，設(shè)a，b′確定的平面為α，顯然α是唯一的，且a?α，且b∥α．故A正確．對于B，假設(shè)存在直線l使得l∥a，且l⊥b，則a⊥b，與已知矛盾，故B錯誤．對于C，設(shè)a，b的公垂線為AB，則所有與AB垂直的直線與a，b都垂直，故C錯誤．對于D，若存在平面α，使得a?α，且b⊥α，則b⊥a，與已知矛盾，故D錯誤．故選：A．7.已知集合，，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A8.若則下列結(jié)論中正確的是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A9.i為虛數(shù)單位，則i+i2+i3+i4=（）A．0 B．i C．2i D．﹣i參考答案：A【考點】A1：虛數(shù)單位i及其性質(zhì)．【分析】直接利用虛數(shù)單位i的性質(zhì)運算．【解答】解：由i2=﹣1可知，i+i2+i3+i4=i﹣1﹣i+1=0．故選：A．10.若集合則（）A.

B.

C.

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，當時，，則的值為_______參考答案：略12.（5分）（2015?泰州一模）若α、β是兩個相交平面，則在下列命題中，真命題的序號為．（寫出所有真命題的序號）①若直線m⊥α，則在平面β內(nèi)，一定不存在與直線m平行的直線．②若直線m⊥α，則在平面β內(nèi)，一定存在無數(shù)條直線與直線m垂直．③若直線mα，則在平面β內(nèi)，不一定存在與直線m垂直的直線．④若直線mα，則在平面β內(nèi)，一定存在與直線m垂直的直線．參考答案：②④【考點】：空間中直線與平面之間的位置關(guān)系．【專題】：空間位置關(guān)系與距離．【分析】：利用線面垂直的性質(zhì)定理對四個命題分別分析解答．解：對于①，若直線m⊥α，如果α，β互相垂直，則在平面β內(nèi)，存在與直線m平行的直線．故①錯誤；對于②，若直線m⊥α，則直線m垂直于平面α內(nèi)的所有直線，則在平面β內(nèi)，一定存在無數(shù)條直線與直線m垂直．故②正確；對于③，若直線m?α，則在平面β內(nèi)，一定存在與直線m垂直的直線．故③錯誤；對于④，若直線m?α，則在平面β內(nèi)，一定存在與直線m垂直的直線．故④正確；故答案為：②④．【點評】：本題考查了線面垂直的性質(zhì)定理的運用判斷直線的位置關(guān)系；關(guān)鍵是熟練運用定理，全面考慮．13.已知在定義域內(nèi)存在反函數(shù)，且，則__________.參考答案：

答案：

14.已知1，x，9成等比數(shù)列，則實數(shù)x＝＿＿＿＿＿＿。參考答案：?3；15.某班級有50名學生，現(xiàn)要采取系統(tǒng)抽樣的方法在這50名學生中抽出10名學生，將這50名學生隨機編號1～50號，并分組，第一組1～5號，第二組6～10號，……，第十組46～50號，若在第三組中抽得號碼為12的學生，則在第八組中抽得號碼為

的學生。參考答案：37根據(jù)系統(tǒng)抽樣規(guī)則，所抽得號碼構(gòu)成，公差為5的等差數(shù)列，所以在第八組中抽得號碼為。16.已知拋物線，焦點為F，過F點的直線l交拋物線于A，B兩點，則的最小值為

．參考答案：F（，0），設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y=k（x﹣），（k≠0）．聯(lián)立，化為k2x2﹣（k2+2）x+k2=0．x1x2=．∴|AF|+2|BF|=x1++2（x2+）=x1+2x2+≥2+=，當且僅當x1=2x2=時取等號．當直線AB的斜率不存在時，|AF|+2|BF|=3p=3．綜上可得：|AF|+2|BF|的最小值為：．故答案為：．

17.已知函數(shù)，正項數(shù)列滿足，則=________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.斜率為的直線l與橢圓+=1（a＞b＞0）交于不同的兩點A、B．若點A、B在x軸上的射影恰好為橢圓的兩個焦點．（1）求橢圓的離心率；（2）P是橢圓上的動點，若△PAB面積最大值是4，求該橢圓的方程．參考答案：【考點】橢圓的簡單性質(zhì)；橢圓的標準方程．【分析】（1）畫出圖形，結(jié)合圖形，得出直線與橢圓兩交點坐標，根據(jù)兩點間的斜率公式，求出離心率e；（2）由（1）知，設(shè)出橢圓的標準方程+=1，求出|AB|的值，利用三角形的面積求出高h；再求點P到直線的最大距離d，由此求出c即可．【解答】解：（1）由題意知：直線與橢圓兩交點的橫坐標為﹣c，c，縱坐標分別為﹣，，∴由=轉(zhuǎn)化為：2b2=2（a2﹣c2）=ac即2e2+e﹣2=0，解得e=，e=﹣（負根舍去），∴橢圓的離心率為e=；（2）∵P是橢圓上的動點，當△PAB的面積最大值是4時，有|AB|h=4，∵e=，∴b=c，∴a=c；∴設(shè)橢圓的方程為+=1，則|AB|=c，∴三角形PAB的高為h=；又直線為y=x，即x﹣2y=0；則點P（ccosθ，csinθ）到直線的距離表示為d==≤，令=，解得c=2，∴橢圓的方程為+=1．19.（本小題滿分10分）已知函數(shù)（I）求的解集；（Ⅱ）若關(guān)于的不等式有解，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：

20.如圖1，在菱形ABCD中，，，M是AD的中點，以BM為折痕，將折起，使點A到達點A1的位置，且平面A1BM⊥平面BCDM，如圖2.（1）求證：；（2）若K為A1C的中點，求四面體MA1BK的體積.參考答案：(1)見證明；(2)【分析】（1）在圖1中證明BM⊥AD，在圖2中根據(jù)面面垂直的性質(zhì)即可得出A1M⊥平面BCDM，故而得證（2）計算V，則VVVV．【詳解】（1）證明：在圖1中，∵四邊形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，M是AD的中點，∴AD⊥BM，故在圖2中，BM⊥A1M，∵平面A1BM⊥平面BCDM，平面A1BM∩平面BCDM＝BM，∴A1M⊥平面BCDM，又BD?平面BCDM，∴A1M⊥BD．（2）解：在圖1中，∵ABCD是菱形，AD⊥BM，AD∥BC，∴BM⊥BC，且BM，在圖2中，連接CM，則VS△BCM?A1M，∵K是A1C的中點，∴VVVV．【點睛】本題考查線面垂直得性質(zhì)，面面垂直的性質(zhì)，棱錐體積的計算，考查基本定理的運用，是中檔題21.（12分）如圖，三棱錐P﹣ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠ABC=，點D、E在線段AC上，且AD=DE=EC=1，PD=PC=2，點F在線段AB上，且EF∥BC．（1）證明：AB⊥平面PFE；（2）若BC=，求四棱錐P﹣DFBC的體積．參考答案：【考點】棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定．【分析】（1）由已知可得△PDE≌△PCE，得PE⊥DC，又平面PAC⊥平面ABC，可得PE⊥平面ABC，則PE⊥AB，再由AB⊥BC，EF∥BC，結(jié)合線面垂直的判定可得AB⊥平面PEF；（2）求解直角三角形可得三角形ABC的面積，再由比例關(guān)系求得四邊形BCEF的面積及三角形DEF的面積，可得四邊形DFBC的面積，代入棱錐體積公式求得四棱錐P﹣DFBC的體積．【解答】（1）證明：在△PDE與△PCE中，∵PD=PC，DE=EC，PE=PE，∴△PDE≌△PCE，則PE⊥DC，∵平面PAC⊥平面ABC，且平面PAC∩平面ABC=AC，∴PE⊥平面ABC，則PE⊥AB，∵AB⊥BC，EF∥BC，∴AB⊥EF，又PE∩EF=E，∴AB⊥平面PEF；（2）解：∵AC=3，BC=，且∠ABC=，∴，∴，∵AE：AC=2：3，∴S△AEF：S△ABC=4：9，則，∴，，∴．∴．【點評】本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．22.已知函數(shù)f（x）=exsinx﹣cosx，g（x）=xcosx﹣ex，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．（1）判斷函數(shù)y=f（x）在（0，）內(nèi)的零點的個數(shù)，并說明理由；（2）?x1∈[0，]，?x2∈[0，]，使得f（x1）+g（x2）≥m成立，試求實數(shù)m的取值范圍；（3）若x＞﹣1，求證：f（x）﹣g（x）＞0．參考答案：【考點】利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)零點的判定定理；導數(shù)的運算．【分析】（1）利用導數(shù)得到函數(shù)y=f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，f（0）=﹣1＜0，f（）＞0，根據(jù)函數(shù)零點存在性定理得函數(shù)y=f（x）在（0，）內(nèi)的零點的個數(shù)為1；（2）確定函數(shù)f（x）在[0，]上單調(diào)遞增，可得f（x）min=f（0）=﹣1；函數(shù)g（x）在[0，]上單調(diào)遞減，可得g（x）max=g（0）=﹣，即可求出實數(shù)m的范圍；（3）先利用分析要證原不等式成立，轉(zhuǎn)化為只要證＞，令h（x）=，x＞﹣1，利用導數(shù)求出h（x）min=h（0）=1，再令k=，其可看作點A（sinx，cosx）與點B（﹣，0）連線的斜率，根據(jù)其幾何意義求出k的最大值，即可證明．【解答】解：（1）函數(shù)y=f（x）在（0，）內(nèi)的零點的個數(shù)為1，理由如下：∵f（x）=exsinx﹣cosx，∴f′（x）=ex（sinx+cosx）+sinx，∵x∈（0，），∴f′（x）＞0，∴函數(shù)y=f（x）在（0，）上單調(diào)遞增，∵f（0）=﹣1＜0，f（）＞0，根據(jù)函數(shù)零點存在性定理得函數(shù)y=f（x）在（0，）內(nèi)的零點的個數(shù)為1．（2）∵f（x1）+g（x2）≥m，∴f（x1）≥m﹣g（x2），∴f（x1）min≥[m﹣g（x2）]min，∴f（x1）min≥m﹣g（x2）max，當x∈[0，]時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在[0，]上單調(diào)遞增，∴f（x）min≥f（0）=﹣1，∵g（x）=xcosx﹣ex，∴g′（x）=cosx﹣xsinx﹣ex，∵x∈[0，]，∴0≤cosx≤1，xsinx≥0，ex≥，∴g′（x）≤0，∴函數(shù)g（x）在[0，]上單調(diào)遞減，∴g（x）max≥g（0）=，∴﹣1≥m+，∴m≤﹣1﹣，∴實數(shù)m的取值范圍為（﹣∞，﹣1﹣]；（3）x＞﹣1，要證：f（x）﹣g（x）＞0，只要證f（x）＞g（x），只要證exsinx﹣cosx＞xcosx﹣ex，只要證ex（sinx+）＞（x+1）cosx，由于sinx+＞0，x+1＞0，只要證＞，下面證明x