PAGE《圖形的平移與旋轉》全章復習與鞏固（提高）鞏固練習【鞏固練習】一、選擇題1．軸對稱與平移、旋轉的關系不正確的是（）.A．經過兩次翻折（對稱軸平行）后的圖形可以看作是原圖形經過一次平移得到的B．經過兩次翻折（對稱軸不平行）后的圖形可以看作是原圖形經過一次平移得到的C．經過兩次翻折（對稱軸不平行）后的圖形可以看作是原圖形經過旋轉得到的D．經過幾次翻折（對稱軸有偶數條且平行）后的圖形可以看作是經過一次平移得到的2.在旋轉過程中，確定一個三角形旋轉的位置所需的條件是（）.①三角形原來的位置；②旋轉中心；③三角形的形狀；④旋轉角．A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④3.下列圖形中，既可以看作是軸對稱圖形，又可以看作是中心對稱圖形的為（）.

ABCD4.（2015?德州）如圖，在△ABC中，∠CAB=65°，將△ABC在平面內繞點A旋轉到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，則旋轉角的度數為（）A．35° B．40° C．50° D．65°5.如圖,把矩形紙條沿同時折疊，兩點恰好落在邊的點處，若，，，則矩形的邊長為（）.A.20B.22C.24D.30第4題第5題6．如圖,正方形硬紙片ABCD的邊長是4，點E、F分別是AB、BC的中點，若沿左圖中的虛線剪開，拼成如下圖的一座“小別墅”，則圖中陰影部分的面積是（）.A．2B．4C．8D．107.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=，將Rt△ABC繞A點按逆時針方向旋轉30°后得到Rt△ADE，點B經過的路徑為弧BD，則圖中陰影部分的面積是（）.A.B.C.D.18.如圖，在正方形ABCD外取一點E，連接AE，BE，DE.過點A作AE的垂線交DE于點P．若AE=AP=1，PB=．下列結論：①△APD≌△AEB；②點B到直線AE的距離為；③EB⊥ED；④S△APD+S△APB=1+；⑤S正方形ABCD=4+．其中正確結論的序號是（）．A．①③④B．①②⑤C．③④⑤D．①③⑤二、填空題9.如圖，圖B是圖A旋轉后得到的，旋轉中心是，旋轉了．10.在RtABC中，∠A<∠B，CM是斜邊AB上的中線，將ACM沿直線CM折疊，點A落在點D處，如果CD恰好與AB垂直，那么∠A等于度.第9題第10題第12題11.（2015?福州）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=，將△ABC繞點C逆時針旋轉60°，得到△MNC，連接BM，則BM的長是．12.如圖，正方形ABCD經過順時針旋轉后到正方形AEFG的位置，則旋轉中心是，旋轉角度是度．13.時鐘的時針不停地旋轉，從上午8：30到上午10：10，時針旋轉的旋轉角是.14.如圖所示，可以看作是一個基本圖形經過次旋轉得到的；每次旋轉了度．

15.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝，BC的中點為D，將△ABC繞點C順時針旋轉任意一個角度得到△FEC，EF的中點為G，連接DG．在旋轉過程中，DG的最大值是.16.如圖所示，按下列方法將數軸的正半軸繞在一個圓上（該圓周長為3個單位長，且在圓周的三等分點處分別標上了數字0、1、2）上：先讓原點與圓周上0所對應的點重合，再將正半軸按順時針方向繞在該圓周上，使數軸上1、2、3、4、…所對應的點分別與圓周上1、2、0、1、…所對應的點重合.這樣，正半軸上的整數就與圓周上的數字建立了一種對應關系.（1）圓周上數字a與數軸上的數5對應，則a＝_________；（2）數軸上的一個整數點剛剛繞過圓周n圈（n為正整數）后，并落在圓周上數字1所對應的位置，這個整數是_________（用含n的代數式表示）.三、解答題17.如圖，在正方形ABCD中，F是AD的中點，E是BA延長線上一點，且AE=AB．

①你認為可以通過平移、軸對稱、旋轉中的哪一種方法使△ABF變到△ADE的位置？若是旋轉，指出旋轉中心和旋轉角．

②線段BF和DE之間有何數量關系？并證明．18.閱讀：我們把邊長為1的等邊三角形PQR沿著邊長為整數的正n（n＞3）邊形的邊按照如圖1的方式連續轉動，當頂點P回到正n邊形的內部時，我們把這種狀態稱為它的“點回歸”；當△PQR回到原來的位置時，我們把這種狀態稱為它的“三角形回歸”．

例如：如圖2，邊長為1的等邊三角形PQR的頂點P在邊長為1的正方形ABCD內，頂點Q與點A重合，頂點R與點B重合，△PQR沿著正方形ABCD的邊BC、CD、DA、AB…連續轉動，當△PQR連續轉動3次時，頂點P回到正方形ABCD內部，第一次出現P的“點回歸”；當△PQR連續轉動4次時△PQR回到原來的位置，出現第一次△PQR的“三角形回歸”．

操作：如圖3，

如果我們把邊長為1的等邊三角形PQR沿著邊長為1的正五邊形ABCDE的邊連續轉動，則連續轉動的次數k=時，第一次出現P的“點回歸”；連續轉動的次數k=時，第一次出現△PQR的“三角形回歸”．

猜想：

我們把邊長為1的等邊三角形PQR沿著邊長為1的正n（n＞3）邊形的邊連續轉動，

（1）連續轉動的次數k=時，第一次出現P的“點回歸”；

（2）連續轉動的次數k=時，第一次出現△PQR的“三角形回歸”；

（3）第一次同時出現P的“點回歸”與△PQR的“三角形回歸”時，寫出連續轉動的次數k與正多邊形的邊數n之間的關系．19.（2015春?涼山州期末）如圖，長方形ABCD在坐標平面內，點A的坐標是A（2，1），且邊AB、CD與x軸平行，邊AD、BC與x軸平行，點B、C的坐標分別為B（a，1），C（a，c），且a、c滿足關系式c=++3．（1）求B、C、D三點的坐標；（2）怎樣平移，才能使A點與原點重合？平移后點B、C、D的對應分別為B1C1D1，求四邊形OB1C1D1的面積；（3）平移后在x軸上是否存在點P，連接PD，使S△COP=S四邊形OBCD？若存在這樣的點P，求出點P的坐標；若不存在，試說明理由．20.如圖，P是等邊三角形ABC中的一點，PA＝2，PB＝，PC＝4，求BC邊得長是多少？【答案與解析】一．選擇題1．【答案】B.【解析】A、多次平移相當于一次平移，故正確；

B、必須是對稱軸有偶數條且平行時，才可以看作是原圖形經過一次平移得到的，故錯誤；

C、一個圖形圍繞一個定點旋轉一定的角度，得到另一個圖形，這種變換稱為旋轉變換，故正確；

D、對稱軸有偶數條且平行時，可以看作是原圖形經過一次平移得到的，故正確．

故選B．2．【答案】A.3．【答案】B.4．【答案】C.【解析】解：∵CC′∥AB，∴∠ACC′=∠CAB=65°，∵△ABC繞點A旋轉得到△AB′C′，∴AC=AC′，∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，∴∠CAC′=∠BAB′=50°．故選C．5．【答案】C.【解析】Rt△PHF中，有FH=10，則矩形ABCD的邊BC長為PF+FH+HC=8+10+6=24，故選C．6．【答案】B.【解析】陰影部分由一個等腰直角三角形和一個直角梯形組成，

由第一個圖形可知：陰影部分的兩部分可構成正方形的四分之一，

正方形的面積=4×4=16，

∴圖中陰影部分的面積是16÷4=4．

故選B．7.【答案】B.【解析】陰影部分的面積等于扇形DAB的面積，首先利用勾股定理即可求得AB的長，然后利用扇形的面積公式即可求得扇形的面積．8.【答案】D.【解析】①利用同角的余角相等，易得∠EAB=∠PAD，再結合已知條件利用SAS可證兩三角形全等；③利用①中的全等，可得∠APD=∠AEB，結合三角形的外角的性質，易得∠BEP=90°，即可證；②過B作BF⊥AE，交AE的延長線于F，利用③中的∠BEP=90°，利用勾股定理可求BE，結合△AEP是等腰直角三角形，可證△BEF是等腰直角三角形，再利用勾股定理可求EF、BF；⑤在Rt△ABF中，利用勾股定理可求AB2，即是正方形的面積；④S△APD+S△APB=S△APE+S△EPB＝．二．填空題9．【答案】X；180°.【解析】觀察圖形中Z點對應點的位置是圖A繞旋轉中心X按逆時針旋轉180°得到的．

故答案為：X；180°．10．【答案】30°.【解析】解法一、在Rt△ABC中，∠A＜∠B

∵CM是斜邊AB上的中線，

∴CM=AM，

∴∠A=∠ACM，

將△ACM沿直線CM折疊，點A落在點D處

設∠A=∠ACM=x度，

∴∠A+∠ACM=∠CMB，

∴∠CMB=2x，

如果CD恰好與AB垂直

在Rt△CMG中，

∠MCG+∠CMB=90°

即3x=90°

x=30°

則得到∠MCD=∠BCD=∠ACM=30°

根據CM=MD，

得到∠D=∠MCD=30°=∠A

∠A等于30°．

解法二、∵CM平分∠ACD，

∴∠ACM=∠MCD

∵∠A+∠B=∠B+∠BCD=90°

∴∠A=∠BCD

∴∠BCD=∠DCM=∠MCA=30°

∴∠A=30°11．【答案】1+．12．【答案】A，45.【解析】∵正方形ABCD經過順時針旋轉后得到正方形AEFG，

∴旋轉中心為點A，旋轉角為∠CAD，

∵AC是正方形ABCD的對角線，

∴∠CAD=45°，

∴旋轉角為45°．

故答案為：A，45．13.【答案】50°．【解析】從上午8：30到上午10：10，共1個小時40分鐘；時針旋轉了圓周，故旋轉角的度數是50度．故答案為：50°．14．【答案】3；90．【解析】如圖所示的圖形可以看作按照逆時針（或順時針）旋轉3次，且每次旋轉了90°而成的．故答案是：3；90．15．【答案】6．【解析】如圖，連接CG，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出CG＝4，再根據三角形的任意兩邊之和大于第三邊判斷出D、C、G三點共線時DG有最大值，再代入數據進行計算即可得解．16．【答案】（1）a=2，（2）3n+1．【解析】根據正半軸上的整數與圓周上的數字建立的這種對應關系可以發現：圓周上了數字0、1、2與正半軸上的整數每3個一組012；345；678…分別對應.三.解答題17．【解析】解：（1）可以通過旋轉使△ABF變到△ADE的位置，即把△ABF以A點為旋轉中心，逆時針旋轉90°可得到△ADE；

（2）線段BF和DE的數量關系是相等．理由如下：

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=AD，∠BAF=∠EAD，

∵F是AD的中點，AE=AB，

∴AE=AF，

∴△ABF以A點為旋轉中心，逆時針旋轉90°時，AB旋轉到AD，AF旋轉到AE，即F點與E點重合，B點與D點重合，

∴BF與DE為對應線段，

∴BF=DE．18.【解析】解：操作：3，5．

猜想：（1）第一次點回歸，連續轉動的次數都是3次，故填3；

（2）第一次出現△PQR的“三角形回歸”，連續轉動的次數就是多邊形的邊數，故填n；

（3）當n不是3的倍數時，k=3n，當n是3的倍數時，k=n．19.【解析】解：（1）由題意得，a﹣6≥0且6﹣a≥0，所以，a≥6且a≤6，所以，a=6，c=3，所以，點B（6，1），C（6，3），∵長方形ABCD的邊AB、CD與x軸平行，邊AD、BC與x軸平行，∴點D（2，3）；（2）∵平移后A點與原點重合，∴平移規律為向左2個單位，向下1個單位，∴B1（4，0），C1（4，2），D1（0，2）；（3）平移后點C到x軸的距離為2，∵S△COP=S四邊形OBCD，∴×OP×2=4×2，解得OP=8，若點P在點O的左邊，則點P的坐標為（﹣8，0），若點P在點O的右邊，則點P的坐標為（8，0）．綜上所述，存在點P（﹣8，0）或（8，0）．20.【解析】解：如圖，將△ABP繞點B逆時針旋轉60°得△BCQ，連接PQ．再過B作CQ的延長線的垂線BD，垂足為D，

∴BQ=PB=，∠PQB=60°，

∴△PBQ是等邊三角形，

∴PQ=PB=，∠QPC=60°.

在△PCQ中，∵CQ=PA＝2，，PQ=，PC=4，

∴CQ2+PQ2＝PC2，

∴∠PQC=90°，

∴∠CQB=∠PQB+∠PQC=150°，

∴∠BQD=30°.在Rt△BQD中，BD＝＝，QD＝3，則CD＝5.在Rt△BCD中，BC＝.

《圖形的平移與旋轉》全章復習與鞏固（提高）知識講解【學習目標】1.了解平移、旋轉、中心對稱，探索它們的基本性質；2.能夠按要求作出簡單平面圖形經過平移、旋轉后的圖形，能作出簡單平面圖形經過一次或兩次圖形變換后的圖形；3.利用平移、旋轉、中心對稱、軸對稱及其組合進行圖案設計；4.認識和欣賞軸對稱、平移、旋轉在現實生活中的應用.【知識網絡】【要點梳理】要點一、平移變換1.平移的概念：在平面內，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移，平移不改變圖形的形狀和大小．要點詮釋：（1）平移是運動的一種形式，是圖形變換的一種，本講的平移是指平面圖形在同一平面內的變換；（2）圖形的平移有兩個要素：一是圖形平移的方向，二是圖形平移的距離；（3）圖形的平移是指圖形整體的平移，經過平移后的圖形，與原圖形相比，只改變了位置，而不改變圖形的形狀和大小．2．平移的基本性質：一個圖形和它經過平移所得的圖形中，對應點所連的線段平行（或在一條直線上）且相等；對應線段平行（或在一條直線上）且相等，對應角相等．要點詮釋：（1）要注意正確找出“對應線段，對應角”，從而正確表達基本性質的特征；（2）“對應點所連的線段平行（或在一條直線上）且相等”，這個基本性質既可作為平移圖形之間的性質，又可作為平移作圖的依據．3.平移與坐標變換：(1)點的平移點的平移引起坐標的變化規律：在平面直角坐標中，將點(x，y)向右(或左)平移a個單位長度，可以得到對應點(x+a，y)(或(x-a，y))；將點(x，y)向上(或下)平移b個單位長度，可以得到對應點(x，y+b)(或(x，y-b))．要點詮釋：上述結論反之亦成立，即點的坐標的變化引起的點相應的平移變換．(2)圖形的平移平移是圖形的整體運動．在平面直角坐標系內，一個圖形進行了平移變化，則它上面的所有點的坐標都發生了同樣的變化，其變化規律遵循：“右加左減，縱不變；上加下減，橫不變”．要點詮釋：（1）上述結論反之亦成立，即如果把一個圖形各個點的橫坐標都加(或減去)一個正數a，相應的新圖形就是把原圖形向右(或向左)平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加(或減去)一個正數a，相應的新圖形就是把原圖形向上(或向下)平移a個單位長度．（2）一個圖形依次沿x軸方向、y軸方向平移后所得圖形，可以看成是由原來的圖形經過一次平移得到的．要點二、旋轉變換

1．旋轉概念：在平面內，將一個圖形繞一個定點按某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉.這個定點稱為旋轉中心，轉動的角稱為旋轉角.

要點詮釋：（1）旋轉后的圖形與原圖形的形狀、大小都相同，但形狀、大小都相同的兩個圖形不一定能通過旋轉得到.（2）旋轉的角度一般小于360°.（3）旋轉的三個要素：旋轉中心、旋轉角度和旋轉方向（即順時針或逆時針方向）２．旋轉變換的性質：

一個圖形和它經過旋轉所得的圖形中，對應點到旋轉中心的距離相等，任意一組對應點與旋轉中心的連線所成的角都等于旋轉角；對應線段相等，對應角相等.３．旋轉作圖步驟：

①分析題目要求，找出旋轉中心，確定旋轉角.

②分析所作圖形，找出構成圖形的關鍵點.

③沿一定的方向，按一定的角度、旋轉各頂點和旋轉中心所連線段,從而作出圖形中各關鍵點的對應點.

④按原圖形連結方式順次連結各對應點.

要點三、中心對稱與圖案設計1．中心對稱：把一個圖形繞著某一點旋轉180°，它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做它們的對稱中心，這兩個圖形稱為成中心對稱的．要點詮釋：中心對稱的性質：成中心對稱的兩個圖形中，對應點所連線段經過對稱中心，且被對稱中心平分．2.中心對稱圖形：

把一個圖形繞著某點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形就叫做中心對稱圖形，這個點叫做它的對稱中心.

要點詮釋：中心對稱作圖步驟：

①連結決定已知圖形的形狀、大小的各關鍵點與對稱中心，并且延長至2倍，得到各點的對稱點.

②按原圖形的連結方式順次連結對稱點即得所作圖形.3.圖形變換與圖案設計的基本步驟

①確定圖案的設計主題及要求；

②分析設計圖案所給定的基本圖案；

③利用平移、旋轉、軸對稱對基本圖案進行變換，實現由基本圖案到各部分圖案的有機組合；

④對圖案進行修飾，完成圖案.4.平移、軸對稱、旋轉三種變換的關系：圖形經過平移、旋轉或軸對稱的變換后，雖然對應位置改變了，但大小和形狀沒有改變，即兩個圖形是全等的．【典型例題】類型一、平移變換1.閱讀理解題．

（1）兩條直線a，b相交于一點O，如圖①，有兩對不同的對頂角；

（2）三條直線a，b，c相交于點O，如圖②，則把直線平移成如圖③所示的圖形，可數出6對不同的對頂角；

（3）四條直線a，b，c，d相交于一點O，如圖④，用（2）的方法把直線c平移，可數出對不同的對頂角；

（4）n條直線相交于一點O，用同樣的方法把直線平移后，有對不同的對頂角；

（5）2013條直線相交于一點O，用同樣的方法把直線平移后，有對不同的對頂角．

【思路點撥】（3）畫出圖形，根據圖形得出即可；

（4）根據以上能得出規律，有n（n-1）對不同的對頂角；

（5）把n=2013代入求出即可．【答案與解析】解：（3）

如圖有12對不同的對頂角，

故答案為：12．

（4）有n（n-1）對不同的對頂角，

故答案為：n（n-1）；（5）把n=2013代入得：2013×（2013-1）=4050156，

故答案為：4050156．【總結升華】本題考查了平移與對頂角的應用，關鍵是能根據題意得出規律．舉一反三：【變式】如圖，將周長為8的△ABC沿BC方向平移1個單位得到△DEF，則四邊形ABFD的周長為（）．A．6B．8C．10D．12【答案】C2．（2015春?召陵區期中）如圖①，將線段A1A2向右平移1個單位到B1B2，得到封閉圖形A1A2B2B1（即陰影部分），在圖②中，將折線A1A2A3向右平移1個單位到B1B2B3，得到封閉圖形A1A2A3B3B2B1（即陰影部分）．（1）在圖③中，請你類似地畫一條有兩個折點的折線，同樣向右平移1個單位，從而得到一個封閉圖形，并用陰影表示；（2）請你分別寫出上述三個圖形中除去陰影部分后剩余部分的面積（設長方形水平方向長均為a，豎直方向長均為b）：S1=，S2=，S3=；（3）如圖④，在一塊長方形草地上，有一條彎曲的小路（小路任何地方的水平寬度都是2個單位），請你求出空白部分表示的草地面積是多少？（4）如圖⑤，若在（3）中的草地又有一條橫向的彎曲小路（小路任何地方的度都是1個單位），請你求出空白部分表示的草地的面積是多少？【思路點撥】（1）根據題意，直接畫圖即可，注意答案不唯一，只要畫一條有兩個折點的折線，得到一個封閉圖形即可．（2）結合圖形，根據平移的性質可知，①②③中陰影部分的面積都可看作是以a﹣1為長，b為寬的長方形的面積．（3）結合圖形，通過平移，陰影部分可平移為以a﹣2米為長，b米為寬的長方形，根據長方形的面積可得小路部分所占的面積．（4）結合圖形可知，小路部分所占的面積=a米為長，b米為寬的長方形的面積﹣a米為長，1米為寬的長方形的面積﹣2米為長，b米為寬的長方形的面積+2米為長，1米為寬的長方形的面積．【答案與解析】解：（1）畫圖如下：（2）S1=ab﹣b，S=ab﹣b，S2=ab﹣b，S3=ab﹣b猜想：依據前面的有關計算，可以猜想草地的面積仍然是ab﹣b方案：1、將“小路”沿著左右兩個邊界“剪去”；2、將左側的草地向右平移一個單位；3、得到一個新的矩形理由：在新得到的矩形中，其縱向寬仍然是b．其水平方向的長變成了a﹣1，所以草地的面積就是：b（a﹣1）=ab﹣b．（3）∵小路任何地方的水平寬度都是2個單位，∴空白部分表示的草地面積是（a﹣2）b；（4）∵小路任何地方的寬度都是1個單位，∴空白部分表示的草地面積是ab﹣a﹣2b+2．【總結升華】本題主要考查了利用平移設計圖案，用到的知識點是矩形的性質和平移的性質，能利用平移的性質把不規則的圖形拆分或拼湊為簡單圖形來計算草地的面積是解題的關鍵．舉一反三：【變式】如圖，面積為12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移距離是邊BC長的兩倍，則圖中四邊形ACED的面積為（）．A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．無法確定【答案】B.四邊形ABED是平行四邊形且S四邊形ABED=S四邊形ACFD，而S四邊形ACED=S四邊形ABED-S△ABC．類型二、旋轉變換3．正方形ABCD中對角線AC、BD相交于點O，E是AC上一點，F是OB上一點，且OE=OF，回答下列問題：

（1）在圖中1，可以通過平移、旋轉、翻折中的哪一種方法，使△OAF變到△OBE的位置．請說出其變化過程．

（2）指出圖（1）中AF和BE之間的關系，并證明你的結論．

（3）若點E、F分別運動到OB、OC的延長線上，且OE=OF（如圖2），則（2）中的結論仍然成立嗎？若成立，請證明你的結論；若不成立，請說明你的理由．

【思路點撥】（1）根據圖形特點即可得到答案；

（2）延長AF交BE于M，根據正方形性質求出AB=BC，∠AOB=∠BOC，證△AOF≌△BOE，推出AF=BE，∠FAO=∠EBO，根據三角形內角和定理證出即可；

（3）延長EB交AF于N，根據正方形性質推出∠ABD=∠ACB=45°，AB=BC，得到∠ABF=∠BCE，同法可證△ABF≌△BCE，推出AF=BE，∠F=∠E，∠FAB=∠EBC，得到∠E+∠FAB+∠BAO=90°即可．【答案與解析】解：（1）旋轉，以點O為旋轉中心，逆時針旋轉90度．

（2）圖（1）中AF和BE之間的關系：AF=BE；AF⊥BE．

證明：延長AF交BE于M，

∵正方形ABCD，

∴AC⊥BD，OA=OB，

∴∠AOB=∠BOC=90°，

在△AOF和△BOE中

∴△AOF≌△BOE（SAS），

∴AF=BE，∠FAO=∠EBO，

∵∠EBO+∠OEB=90°，

∴∠FAO+∠OEB=90°，

∴∠AME=90°，

∴AF⊥BE，

即AF=BE，AF⊥BE．

（3）成立；

證明：延長EB交AF于N，

∵正方形ABCD，

∴∠ABD=∠ACB=45°，AB=BC，

∵∠ABF+∠ABD=180°，∠BCE+∠ACB=180°，

∴∠ABF=∠BCE，

∵AB=BC，BF=CE，

∴△ABF≌△BCE，

∴AF=BE，∠F=∠E，∠FAB=∠EBC，

∵∠F+∠FAB=∠ABD=45°，

∴∠E+∠FAB=45°，

∴∠E+∠FAB+∠BAO=45°+45°=90°，

∴∠ANE=180°-90°=90°，

∴AF⊥BE，

即AF=BE，AF⊥BE．【總結升華】本題主要考查對正方形的性質，全等三角形的性質和判定，三角形的內角和定理，旋轉的性質等知識點的連接和掌握，綜合運用這些性質進行推理是解此題的關鍵．4.如圖1，O為正方形ABCD的中心，分別延長OA、OD到點F、E，使OF＝2OA，OE＝2OD，連接EF．將△EOF繞點O逆時針旋轉角得到△E1OF1(如圖2)．(1)探究AE1與BF1的數量關系，并給予證明；(2)當＝30°時，求證：△AOE1為直角三角形．【思路點撥】(1)要證AE1＝BF1，就要首先考慮它們是全等三角形的對應邊；(2)要證△AOE1為直角三角形，就要考慮證∠E1AO＝90°.【答案與解析】解：(1)AE1＝BF1，證明如下：∵O為正方形ABCD的中心，∴OA＝OB＝OD.∴OE＝OF.∵△E1OF1是△EOF繞點O逆時針旋轉角得到，∴OE1＝OF1.∵∠AOB＝∠EOF＝900，∴∠E1OA＝900－∠F1OA＝∠F1OB.在△E1OA和