2021屆《步步高》高考數學大一輪總復習（人教新課標文科）配套學案學案61古典概型導學目標：L理解古典概型及其概率計算公式2會計算一些隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率.自主梳理1.基本事件有如下特點：⑴任何兩個基本事件是的.⑵任何事件（除不可能事件）都可以表示成.2.一般地，一次試驗有下面兩個特征⑴有限性.試驗中所有可能出現的基本事件只有有限個；⑵等可能性.每個基本事件出現的可能性相同，稱這樣的概率模型為古典概型.判斷一個試驗是否是古典概型，在于該試驗是否具有古典概型的兩個特征：有限性和等可能性.3.如果一次試驗中可能出現的結果有n個，而且所有結果出現的可能性都相等，那么每一個基本事件的概率都是;如果某個事件A包括的結果有m個，那么事件A的概率P（A）=.自我檢測L（2021濱州模擬）若以連續擲兩次骰子分別得到的點數m、n作為點P的橫、縱坐標，則點P在直線x+y=5下方的概率為（）IlllA.BC.D641292.（2021臨沂高新區期末）一塊各面均涂有油漆的正方體被鋸成1OOO個大小相同的小正方體，若將這些小正方體均勻地攪混在一起，則任意取出一個，其兩面涂有油漆的概率是（）11312A.BC.必210251253.（2021遼寧）三張卡片上分別寫上字母￡,E,B,將三張卡片隨機地排成一行，恰好排成英文單詞BEE的概率為.4.有100張卡片（編號從1號到100號），從中任取工張，取到卡號是7的倍數的概率為.5.（2021大理模擬）在平面直角坐標系中，從五個點：A（0,0）,B（2,0）,C（l,l）,D（0,2）,E（2,2）中任取三個，這三點能構成三角形的概率是（用分數表示）.探究點一基本事件的概率例1投擲六個面分別記有1,2,2,3,3,3的兩顆骰子.⑴求所出現的點數均為2的概率；（2）求所出現的點數之和為4的概率.變式遷移工一只口袋內裝有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，從中一次摸出兩只球.問：⑴共有多少個基本事件？⑵摸出的兩只球都是白球的概率是多少？探究點二古典概型的概率計算例2班級聯歡時，主持人擬出了如下一些節目：跳雙人舞、獨唱、朗誦等，指定3個男生和2個女生來參與，把5個人分別編號為L234,5,其中1,2,3號是男生，4,5號是女生，將每個人的號分別寫在5張相同的卡片上，并放入一個箱子中充分混合，每次從中隨機地取出一張卡片，取出誰的編號誰就參與表演節目.（D為了選出2人來表演雙人舞，連續抽取2張卡片，求取出的2人不全是男生的概率；（2）為了選出2人分別表演獨唱和朗誦，抽取并觀察第一張卡片后，又放回箱子中，充分混合后再從中抽取第二張卡片，求獨唱和朗誦由同一個人表演的概率.變式遷移2同時拋擲兩枚骰子，求至少有一個5點或6點的概率.探究點三古典概型的綜合問題例3（202］山東）汽車廠生產A,B,C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月的產量如下表（單位：輛）：A類轎車10輛.⑴求Z的值；⑵用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本.將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；⑶用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經檢測它們的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2.把這8輛轎車的得分看成一個總體，從中任取一個數，求該數與樣本平均數之差的絕對值不超過0?5的概率.變式遷移3為了了解《中華人民共和國道路交通安全法》在學生中的普及情況,調查部門對某校6名學生進行問卷調查，6人得分情況如下：5,678,9二。.把這6名學生的得分看成一個總體.⑴求該總體的平均數；⑵用簡單隨機抽樣方法從這6名學生中抽取2名,他們的得分組成一個樣本.求該樣本平均數與總體平均數之差的絕對值不超過0.5的概率.分類討論思想的應用例(12分)甲、乙二人用4張撲克牌(分別是紅桃2、紅桃3、紅桃4、方片4)玩游戲，他們將撲克牌洗勻后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一張.(D設(i，j)分別表示甲、乙抽到的牌的牌面數字，寫出甲、乙二人抽到的牌的所有情況；(2)若甲抽到紅桃3,則乙抽到的牌面數字比3大的概率是多少？⑶甲、乙約定：若甲抽到的牌的牌面數字比乙大，貝IJ甲勝，反之，則乙勝.你認為此游戲是否公平，說明你的理由.多角度審題本題屬于求較復雜事件的概率，關鍵是理解題目的實際含義，把實際問題轉化為概率模型，聯想擲骰子試驗，把紅桃2、紅桃3、紅桃4和方片4分別用數字2344表示，抽象出基本事件，把復雜事件用基本事件表示，找出總體I包含的基本事件總數n及事m件A包含的基本事件個數m,用公式P(A)=求解.n【答題模板】解⑴甲、乙二人抽到的牌的所有情況(方片4用4,表示，其他用相應的數字表示)為(2,3),(2,4),(2√Γ),⑶2),⑶4),(3√Γ),(4,2),(4,3),(4√Γ),(4、2),(平，3),(4,,4),共12種不同情況.[6分](2)甲抽到紅桃3,乙抽到的牌的牌面數字只能是2,44，因此乙抽到的牌的牌面數字比32大的概率為?[9分]3(3)甲抽到的牌的牌面數字比乙大的情況有⑶2),(4,2),(4,3),(4,,2),(4,,3),共555種，故甲勝的概率Pl=,同理乙勝的概率P2=.因為P1=P2,所以此游戲公平.[12分]1212【突破思維障礙】⑴對一些較為簡單、基本事件個數不是太大的概率問題，計數時只需要用枚舉法即可計算一些隨機事件所含的基本事件數及事件發生的概率，但應特別注意:計算時要嚴防遺漏，絕不重復.(2)取球模型是古典概型計算中的一個典型問題，好多實際問題都可以歸結到取球模型上去，特別是產品的抽樣檢驗，解題時要分清〃有放回〃與〃無放回〃，〃有序〃與〃無序〃等條件的影響.【易錯點剖析】1.題目中〃紅桃4〃與〃方片4〃屬兩個不同的基本事件，應用不同的數字或字母標注.2.注意〃抽出的牌不放回〃對基本事件數目的影響.(滿分：75分)一、選擇題（每小題5分，共25分）L（2021浙江寧波十校聯考）將一枚骰子拋擲兩次，若先后出現的點數分別為b,c,則方2程x+bx+c=0有實根的概率為（）191517A.BC.D3629362.（2021福建）已知某運動員每次投籃命中的概率低于40%.現采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產生。到9之間取整數值的隨機數，指定L234表示命中，5,678,9,0表示不命中；再以每三個隨機數為一組，代表三次投籃的結果.經隨機模擬產生了如下20組隨機數：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989據此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為（）A.0.35B.0.25C.0.20D.0.153.（2021西南名校聯考）連擲兩次骰子分別得到點數m、n,則向量（m,n）與向量（一工,工）的夾角090的概率是（）5711A.BC.D1212324.設集合A={L2},B={l,2,3},分別從集合A和B中隨機取一個數a和b,確定平面上的一個點P（a,b）,記〃點P（a,b）落在直線x+y=n上〃為事件Cn（2≤n≤5,ntUN）,若事件Cn的概率最大，則n的所有可能值為（）A.3B.4C.2,5D.3,45.在一個袋子中裝有分別標注數字12345的五個小球，這些小球除標注的數字外完全相同.現從中隨機取出2個小球，則取出的小球標注的數字之和為3或6的概率是（）1113A.C.1210510??填空題（每小題4分，共12分）在一次教師聯歡會上，到會的女教師比男教師多工2人，從這些教師中隨機挑選一人9表演節目.若選到男教師的概率為人.20ΠH（2021上海十四校聯考）在集合僅∣x=n=123,,10｝中任取一個元素，所取元61素恰好滿足方程cosX=的概率是.2（2021江蘇）現有5根竹竿，它們的長度（單位：m）分別為2.5,2.6272829,若從中一次隨機抽取2根竹竿,則它們的長度恰好相差0.3m的概率為.三、解答題（共38分）9.（12分）（2021北京朝陽區模擬）袋子中裝有編號為a,b的2個黑球和編號為c,d,e的3個紅球，從中任意摸出2個球.（D寫出所有不同的結果；⑵求恰好摸出1個黑球和1個紅球的概率；⑶求至少摸出1個黑球的概率.10.（12分）（202］天津濱海新區五校聯考）某商場舉行抽獎活動，從裝有編號0二23四個小球的抽獎箱中，每次取出后放回，連續取兩次，取出的兩個小球號碼相加之和等于5中一等獎，等于4中二等獎，等于3中三等獎.⑴求中三等獎的概率；⑵求中獎的概率.工L(14分)(2021廣州模擬)已知實數a,btU{—2,-1,1,2).⑴求直線y=ax+b不經過第四象限的概率；⑵求直線y=ax+b與圓x2+y2=l有公共點的概率.學案61古典概型自主梳理ImL⑴互斥⑵基本事件的和nn自我檢測14A2,D4.0.145.35課堂活動區例1解題導引確定古典概型的基本事件有兩條：一、每個事件發生的可能性相等；二、事件空間。中的任一個事件都可以表示為這些基本事件的和，基本事件的確定有一定的相對性，并非一成不變的.解因為擲骰子出現123的概率不一樣，所以，記6個面為La,b,x,y,z,其中a,b都表示2,x,y,z都表示3,則投擲兩顆骰子，基本事件為(LD，(工，a),(1,b),(1,x),(1,y),(1,z),(a,l),(a,a),(a,b),(a,x),(a,y),(a,z), ,(z,l),(z,a),(z,b),(z,x),(z,y),(z,Z)共36種結果.⑴擲兩顆骰子出現點數均為2的基本事件有(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)共4種，回概41JPl==.369(2)出現點數之和為4,說明有兩種情況，即1+3或2+2,基本事件有(Lχ),(Ly),(1,z),(x,l),(y,l),(z,l),(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)共1O種，105回概率為P2==?3618變式遷移工解⑴分別記白球為123號，黑球為A,B號，從中摸出2只球,有如下基本事件：(1,2)，(1,3),(1,A),(1,B),(2,3),(2,A),(2,B),(3,A),(3,B),(A,B),因此，共有1O個基本事件.⑵上述10個基本事件發生的可能性相同，且只有3個基本事件是摸到兩只白球(記為事3件A),BP(U),(1,3),(2,3),故P(A)=.10m例2解題導引古典概型的概率計算公式是P(A)=.由此可知，利用列舉法算出所有n基本事件的個數n以及事件A包含的基本事件數m是解題關鍵.必要時可以采用畫樹狀圖或列表法輔助列舉基本事件.解（D利用樹形圖我們可以列出連續抽取2張卡片的所有可能結果（如下圖所示）.由上圖可以看出，試驗的所有可能結果數為20,因為每次都隨機抽取，因此這20種結果出現的可能性是相同的，試驗屬于古典概型.用Al表示事件〃連續抽取2人一男一女〃,A2表示事件〃連續抽取2人都是女生〃,則A1與A2互斥，并且A篦A2表示事件〃連續抽取2張卡片，取出的2人不全是男生〃，由列出的所有可能結果可以看出，A1的結果有12種，A2的結果有2種，由互斥事件的概率加法公式，可得P（A1回A2）=P（AI）+P（A2）1227==0.7,202110即連續抽取2張卡片，取出的2人不全是男生的概率為0.7.⑵有放回地連續抽取2張卡片，需注意同一張卡片可再次被取出，并且它被取出的可能性和其他卡片相等，我們用一個有序實數對表示抽取的結果，例如〃第一次取出2號，第二型.用A表示事件〃獨唱和朗誦由同一個人表演〃，由上表可以看出，A的結果共有5種，5因此獨唱和朗誦由同一個人表演的概率P(A)0.2.25變式遷移2解共有3620,所以至少有205一個5點或6點的概率為P==369方法二利用對立事件求概率.〃至少有一個5點或6點〃的對立事件是〃沒有5點或6164點〃，如上表，〃沒有5點或6點〃包含16個基本事件，沒有5點或6點的概率為P=.回36945至少有一個5點或6點的概率為1.99例3解題導引本題主要考查抽樣的方法及古典概型概率的求法，考查用概率知識解決實際問題的能力.解⑴設該廠這個月共生產轎車n輛，5010n=2000.nIOO+300貝IJz=2000—(100+300)—(150+450)—600=400.(2)設所抽樣本中有a輛舒適型轎車，400a由題意得，即a=2.10005因此抽取的容量為5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標準型轎車.用ALA2表示2輛舒適型轎車，用BLB2,B3表示3輛標準型轎車.用E表示事件〃在該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車〃，則基本事件空間包含的基本事件有：(ALA2),(ALBl),(Al,B2),(ALB3),(A2,Bl),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(Bl,B3),(B2,B3)共10個.事件E包含的基本事件有：(ALA2),(ALBl),(Al,B2),(ALB3),(A2,Bl),(A2,B2),(A2,B3)共7個.77故P(E)=,即所求概率為.10101⑶樣本平均數x=(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.8設D表示事件〃從樣本中任取一數,該數與樣本平均數之差的絕對值不超過0.5〃,則基本事件空間中有8個基本事件,事件D包括的基本事件有:9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0,共6個，633所以P(D)=,即所求概率為.8441變式遷移3解(1)(5+6+7+8+9+10)=7.5.6⑵設A表示事件〃樣本平均數與總體平均數之差的絕對值不超過0.5〃.從總體中抽取2個個體全部可能的基本結果有：(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5」0),(6,7),(6,8),(6,9),(6,10),(7,8),(7,9),(7,10),(8,9),(8,10),(9,10),共15個基本結果.事件A包括的基本結果有：(5,9),(5」0),(6,8),(6,9),(6」0),億8),億9),共有7個基本結果.7所以所求的概率為P(A)=.15課后練習區1.AB［由題意知在20組隨機數中表示三次投籃恰有兩次命中的有：［9工、271、932、812、51393,共5組隨機數，故所求概率為==0?25?］204A[由題意知，(m,n)(-LD=—m+nθ,回ITm.基本事件總共有66=36(個)，符合要求的有⑵[)，⑶[)，⑶2),(4二)，(4,2),(4,3),(5,1),,(5,4),(6,1), ,(6,5),共工+2+3+4+5=15(個).155回P==361212D[落在直線x+y=2上的概率P(C2)x+y=3上的概率P(C3)=；落6621在直線x+y=4上的概率P(C4)；落在直線x+y=5上的概率P(C5)n為3和466時，事件Cn的概率最大.]D[由袋中隨機取出2個小球的基本事件總數為10,取出小球標注數字和為3的事件為12取出小球標注數字和為6的事件為1,5或2,4.回取出的小球標注的數字之和為3或6的概率為1+23P==10106.120解析設男教師有n人，則女教師有(n+12)人.由已知從這些教師中選一人,選到男教師的概率n9P=,得n=54,2n+1220故參加聯歡會的教師共有120人.17.5h5h1解析cos=cos，共2個.33221X總體共有10個，所以概率為=.1058.0.2解析從5根竹竿中一次隨機抽取2根竹竿共有10(種)抽取方法，而抽取的兩根竹竿長度恰好相差0.3m的情況是2.5和2.826和2.9兩種，2回概率P=0.2.109.解(l)ab,ac,ad,ae,be,bd,be,cd,ce,de.共10種不同結果.(2分)(2)記〃恰好摸出1個黑球和1個紅球〃為事件A,則事件A包含的基本事件為ac,ad,6ae,be,bd,be,共6個基本事件.所以P(A)0.6.10所以恰好摸出1個黑球和1個紅球的概率為0.6.(7分)(3)記〃至少摸出1個黑球〃為事件B,則事件B包含的基本事件為ab,ac,ad,ae,be,bd,be,共7個基本事件，所以P(B)=0.7.10所以至少摸出1個黑球的概率為0.7.(12分).解設〃中三等獎〃的事件為A,〃中獎〃的事件為B,從四個小球中有放回的取兩個共有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),⑶0),⑶[)，⑶2),⑶3)16種不同的方法.(2分)(D