高考數學選填題專項測試02（橢圓）第I卷（選擇題)一、單選題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．（·全國高三二模）若橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的一個焦點坐標為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的長軸長為（）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】利用交點坐標求得SKIPIF1<0的值，由此求得SKIPIF1<0的長軸長.【詳解】由于方程SKIPIF1<0為橢圓，且焦點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0軸上，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，長軸長為SKIPIF1<0.故選：D【點睛】本小題主要考查根據橢圓焦點坐標求參數，考查橢圓長軸長的求法，屬于基礎題.2．（·重慶一中高三月考）若拋物線SKIPIF1<0的焦點是橢圓SKIPIF1<0的一個焦點，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】由拋物線方程可得其焦點坐標為SKIPIF1<0，由橢圓的方程可得其焦點坐標為SKIPIF1<0，再列方程SKIPIF1<0求解即可.【詳解】由拋物線方程為SKIPIF1<0，則其焦點坐標為SKIPIF1<0，由橢圓的方程為SKIPIF1<0，則其焦點坐標為SKIPIF1<0，由已知有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故選：D.【點睛】本題考查了拋物線、橢圓的焦點坐標的求法，屬基礎題.3．（·河北高三）阿基米德（公元前287年～公元前212年）是偉大的古希臘哲學家、百科式科學家、數學家、物理學家、力學家，靜態力學和流體靜力學的奠基人，他研究了圓錐曲線許多性質，曾利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸與短半軸之積.若橢圓C的兩個焦點為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P為橢圓上一點，SKIPIF1<0的面積最大值為12，且橢圓離心率為SKIPIF1<0，則橢圓C的面積為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】根據SKIPIF1<0的最大值、離心率及橢圓中SKIPIF1<0關系，可列方程組求得SKIPIF1<0的值，結合題意即可確定橢圓C的面積.【詳解】設橢圓長半軸與短半軸分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積最大值為12，橢圓離心率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由題意可知SKIPIF1<0，所以橢圓C的面積為SKIPIF1<0，故選：A.【點睛】本題考查了圓錐曲線性質的簡單應用，借助古典文化考查理解能力，屬于基礎題.4．（·貴州貴陽一中高三月考）直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為原點）是面積為SKIPIF1<0的等腰直角三角形，則SKIPIF1<0等于（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】設點SKIPIF1<0為第一象限的點，求出點SKIPIF1<0的坐標，再將點SKIPIF1<0的坐標代入橢圓的方程可求得SKIPIF1<0的值.【詳解】不妨設點SKIPIF1<0為第一象限的點，則SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0為等腰直角三角形，則點SKIPIF1<0.SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，點SKIPIF1<0在橢圓上，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：B.【點睛】本題橢圓方程中參數的求解，涉及三角形面積的計算，解答的關鍵就是求出橢圓上一點的坐標，考查計算能力，屬于中等題.5．（·高密市第一中學高三月考）某顆人造地球衛星的運行軌道是以地球的中心SKIPIF1<0為一個焦點的橢圓，如圖所示，已知它的近地點SKIPIF1<0（離地面最近的點）距地面SKIPIF1<0千米，遠地點SKIPIF1<0（離地面最遠的點）距地面SKIPIF1<0千米，并且SKIPIF1<0三點在同一直線上，地球半徑約為SKIPIF1<0千米，設該橢圈的長軸長、短軸長、焦距分別為SKIPIF1<0，則下列中不正確的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】根據條件數形結合可知SKIPIF1<0，然后變形后，逐一分析選項，得到正確答案.【詳解】因為地球的中心是橢圓的一個焦點，并且根據圖象可得SKIPIF1<0，（*）SKIPIF1<0，故A正確；SKIPIF1<0，故B正確；（*）兩式相加SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故C不正確；由（*）可得SKIPIF1<0，兩式相乘可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故D正確.故選：ABD【點睛】本題考查圓錐曲線的實際應用問題，意在考查抽象，概括，化簡和計算能力，本題的關鍵是寫出近地點和遠地點的方程，然后變形化簡.6.（·江西南昌二中高三一模）斜率為1的直線l與橢圓SKIPIF1<0相交于A、B兩點，則SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】設出直線的方程，代入橢圓方程中消去y，根據判別式大于0求得t的范圍，進而利用弦長公式求得|AB|的表達式，利用t的范圍求得|AB|的最大值．【詳解】設直線l的方程為y＝x+t，代入SKIPIF1<0y2＝1，消去y得SKIPIF1<0x2+2tx+t2﹣1＝0，由題意得△＝（2t）2﹣5（t2﹣1）＞0，即t2＜5．弦長|AB|＝4SKIPIF1<0．故選：C．【點睛】本題主要考查了橢圓的應用，直線與橢圓的關系．常需要把直線與橢圓方程聯立，利用韋達定理，判別式找到解決問題的突破口．7．（·山東高三月考）蒙日圓涉及的是幾何學中的一個著名定理，該定理的內容為：橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，該圓稱為原橢圓的蒙日圓，若橢圓C：SKIPIF1<0(a>0)的蒙日圓SKIPIF1<0，a=（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】【分析】由題意可得橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，設特殊值法，求出兩條切線的交點坐標，代入蒙日圓的方程可得SKIPIF1<0的值．【詳解】因為橢圓上兩條互相垂直的切線的交點必在一個與橢圓同心的圓上，找兩個特殊點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則兩條切線分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，這兩條切線相互垂直，且兩條直線的交點為SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0在蒙日圓上，所以SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0.故選：A【點睛】本小題主要考查利用給定的定理進行計算，考查橢圓的切線方程，屬于基礎題.8．（·云南師大附中高三月考）已知橢圓SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0有公共焦點SKIPIF1<0橢圓SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0三點共線，則橢圓SKIPIF1<0的離心率為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】SKIPIF1<0，不妨設A在第一象限，則點A即可寫成SKIPIF1<0，也可寫成SKIPIF1<0，然后由SKIPIF1<0即可建立a，b，c的方程.【詳解】SKIPIF1<0為坐標原點，由題意知SKIPIF1<0，不妨設A在第一象限，則點SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0在橢圓上，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0.故選：A.【點睛】本題考查橢圓的離心率問題，求橢圓的離心率問題關鍵是建立起a，b，c，三者間的等式或不等關系，本題屬于基礎題.9．（·海南高三）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如圖SKIPIF1<0是過SKIPIF1<0且垂直于長軸的弦，則SKIPIF1<0的內切圓方程是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】利用公式SKIPIF1<0計算出SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的周長，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0內切圓半徑，再利用圓心到直線AB的距離等于半徑可得到圓心坐標.【詳解】由已知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設內切圓的圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），所以SKIPIF1<0的內切圓方程為SKIPIF1<0【點睛】本題考查橢圓中三角形內切圓的方程問題，涉及到橢圓焦點三角形、橢圓的定義等知識，考查學生的運算能力，是一道中檔題.10.（·山西大同一中高三一模）已知橢圓SKIPIF1<0的左焦點為SKIPIF1<0，點SKIPIF1<0在橢圓上且在SKIPIF1<0軸的上方，若線段SKIPIF1<0的中點在以原點SKIPIF1<0為圓心，SKIPIF1<0為半徑的圓上，則直線SKIPIF1<0的斜率是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】結合圖形可以發現，利用三角形中位線定理，將線段長度用坐標表示成圓的方程，與橢圓方程聯立可進一步求解.利用焦半徑及三角形中位線定理，則更為簡潔.【詳解】方法1：由題意可知SKIPIF1<0，由中位線定理可得SKIPIF1<0，設SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，聯立方程SKIPIF1<0可解得SKIPIF1<0（舍），點SKIPIF1<0在橢圓上且在SKIPIF1<0軸的上方，求得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0方法2：焦半徑公式應用解析：由題意可知SKIPIF1<0，由中位線定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的幾何性質、直線與圓的位置關系，利用數形結合思想，是解答解析幾何問題的重要途徑.11.（·浙江高三開學考試）設橢圓SKIPIF1<0的標準方程為SKIPIF1<0，若斜率為1的直線與橢圓SKIPIF1<0相切同時亦與圓SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為橢圓的短半軸）相切，記橢圓的離心率為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】設切線方程為SKIPIF1<0，代入橢圓方程，由直線與橢圓相切可得SKIPIF1<0.直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，可求SKIPIF1<0.【詳解】設切線方程為SKIPIF1<0，代入橢圓方程可得：SKIPIF1<0.因為相切SKIPIF1<0，由直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0相切，可得：SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0（舍去）.則有SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以可得SKIPIF1<0.【點睛】本題考查直線和圓錐曲線的位置關系，考查橢圓的幾何性質，屬于基礎題.12．（·廣東高三）設過定點SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0交于不同的兩點SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若原點SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為直徑的圓的外部，則直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】設直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由原點SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為直徑的圓的外部，可得SKIPIF1<0，聯立直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0方程，結合韋達定理，即可求得答案.【詳解】顯然直線SKIPIF1<0不滿足條件，故可設直線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.故選：D.【點睛】本題解題關鍵是掌握橢圓的基礎知識和圓錐曲線與直線交點問題時，通常用直線和圓錐曲線聯立方程組，通過韋達定理建立起目標的關系式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題．第II卷（非選擇題)二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。把答案填在題中的橫線上。13.（·重慶巴蜀中學高三月考）求經過橢圓SKIPIF1<0的左右焦點SKIPIF1<0、SKIPIF1<0和上頂點SKIPIF1<0的圓的標準方程______.【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】根據橢圓的性質以及直角三角形的性質，確定圓心以及半徑，即可得出該圓的方程.【詳解】根據橢圓的性質得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0則SKIPIF1<0為直角三角形，即過SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的圓的圓心為SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0【點睛】本題主要考查了橢圓的基本性質以及求過三點的圓的方程，屬于中檔題.14．（·江西南昌二中高三一模）已知SKIPIF1<0為橢圓SKIPIF1<0內一定點，經過SKIPIF1<0引一條弦，使此弦被SKIPIF1<0點平分，則此弦所在的直線方程為________________．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】設弦所在的直線與橢圓相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，利用點差法可求得直線SKIPIF1<0的斜率，進而可求得直線的點斜式方程，化為一般式即可.【詳解】設弦所在的直線與橢圓相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點，由于點SKIPIF1<0為弦的中點，則SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由題意得SKIPIF1<0，兩式相減得SKIPIF1<0，所以，直線SKIPIF1<0的斜率為SKIPIF1<0，所以，弦所在的直線方程為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.【點睛】本題考查利用弦的中點求弦所在直線的方程，一般利用點差法，也可以利用韋達定理設而不求法來解答，考查計算能力，屬于中等題.15．（·吉林高三月考）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦點分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過SKIPIF1<0的直線交橢圓SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點，且SKIPIF1<0.圓SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的延長線，SKIPIF1<0的延長線，直線SKIPIF1<0都相切，則圓SKIPIF1<0的半徑為______.【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】根據題意，設SKIPIF1<0分別與直線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0延長線，SKIPIF1<0延長線切于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得出四邊形SKIPIF1<0是正方形，利用橢圓的定義，列式轉化即可求出圓SKIPIF1<0的半徑.【詳解】由題知，設SKIPIF1<0分別與直線SKIPIF1<0，S