關于線性代數行列式的概念和性質第1頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三§3.1行列式的概念和性質§3.2行列式值的計算§3.3

若干應用(逆陣公式、克拉默法則等)本章的主要內容重點內容行列式的計算第2頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三1、概念2、性質§3.1行列式的概念和性質第3頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三一、概念

對任一n階矩陣用式子或用大寫字母

D

表示,常把上述表達式稱為

A的行列式

(determinant),記作detA

表示一個與

A相聯系的數，而把相聯系的那個數稱為行列式的值.今后，稱上述具有n

行n

列的表達式為n

階行列式.第4頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三定義把刪去第i行及第j列后所得的(n–1)階子矩陣稱為對應于元aij

的余子矩陣，并以Sij

記之.

對一n階矩陣對

n=2,3,…,用以下公式遞歸地定義

n階行列式之值：def定義一階矩陣

[a11

]的行列式之值定義為數a11

，即det[a11

]defa11第5頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三例設def，計算該行列式的值解

因有

S11=[a22],S12=[a21],

故—+第6頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三例設,計算

detA

的值.解def第7頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三若寫出計算3階行列式值的公式為第8頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三以下表的形式記3階行列式值的計算公式

說明

三階行列式包括3!項,每一項都是位于不同行,不同列的三個元素的乘積,其中三項為正,三項為負.

結論

n階行列式的值是

n！個不同項的代數和，其中的每一項都是處于行列式不同行又不同列的n個元之乘積.第9頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三定義

對

n階行列式

detA，稱detSij

為元

aij的余子式

,稱為元

aij的代數余子式.例如第10頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三根據該定義，可重新表達行列式的值def其中

A1k

是元

a1k對A或detA

的代數余子式.相當于把行列式按第一行展開注行列式的每個元素都分別對應一個余子式和一個代數余子式.第11頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三性質1

行列式與它的轉置行列式相等.說明

行列式中行與列具有同等的地位,因此行列式的性質凡是對行成立的對列也同樣成立.2、性質定理

對n階矩陣

A，有

行列式的值也可按第1列展開計算.第12頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三例如推論

若行列式有兩行(列)完全相同，則此行列式為零.性質2

互換行列式的兩行(列),行列式值反號.

性質3

行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一數k,

等于用數

k

乘此行列式.第13頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三請問若給n階行列式的每一個元素都乘以同一數k，等于用乘以此行列式.思考推論

對

n階矩陣A

，有

推論

行列式中若有兩行(列)元素成比例,則此行列式為零．證第14頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三推論一行(或列)元素全為0的行列式值等于零．性質4

若行列式的某一列(行)的元素都是兩數之和則D等于下列兩個行列式之和例如第15頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三性質5把行列式的某一列(行)元素的k倍加到另一列(行)對應的元素上去，行列式的值不變．例如

行列式等值變形法則第16頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三定理

行列式等于它的任一行(列)的各元素與其對應的代數余子式乘積之和,即或表達為若行列式按列展開，有定理

行列式任一行(列)的元素與另一行(列)的對應元素的代數余子式乘積之和等于零,即行列式的展開定理第17頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三證將行列式按第i行展開,有如果將行列式中的aij換成akj，那么自然有第18頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三行列式含有兩個相同的行,值為0.綜上所述,得公式第19頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三注

在計算數字行列式時,直接應用行列式展開公式并不一定簡化計算,因為把一個n階行列式換成n個(n－1)階行列式的計算并不減少計算量,只是在行列式中某一行或某一列含有較多的零時,應用展開定理才有意義，但展開定理在理論上是重要的．

利用行列式按行按列展開定理,并結合行列式性質,可簡化行列式計算：方法

計算行列式時,可先用行列式的性質將某一行(列)化為僅含1個非零元素,再按此行(列)展開,變為低一階的行列式,如此繼續下去,直到化為三階或二階行列式.第20頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三例

計算行列式解第21頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三定理

設

L是有如下分塊形式的

(n+p)階矩陣其中

A是

n階矩陣，

B是

p階矩陣，則有在A、B是方陣時也成立定理

若A、B是兩個同階矩陣，則注意

公式中C的元之具體值對結果無影響.第22頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三例設

證明

第23頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三證明對作運算，把化為下三角形行列式設為對作運算，把化為下三角形行列式設為第24頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三證明：對作運算，把化為下三角形行列式對D

的前k行作運算，則第25頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三對作運算，把化為下三角形行列式對D

的后n列作運算，則第26頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三對D

的前k行作運算，再對后n

列作運算，把D

化為下三角形行列式故第27頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三例：設

,D的(i,j)元的余子式和代數余子式依次記作

Mij

和Aij

，求分析：利用及第28頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三解：第29頁，講稿共32頁，2023年5月2日，星期三例：設